Programa

Análise Matemática

Licenciatura Bolonha em Engenharia do Ambiente

Licenciatura Bolonha em Engenharia Florestal e dos Recursos Naturais

Licenciatura Bolonha em Engenharia Zootécnica

Licenciatura Bolonha em Engenharia Alimentar

Licenciatura Bolonha em Biologia

Licenciatura Bolonha em Engenharia Agronómica

Programa

Parte A - Cálculo diferencial, primitivas e cálculo integral de funções de uma variável. 1. Complementos sobre derivadas. 1.1. Revisões de funções reais de variável real: definição e significado geométrico de derivada. Regras de derivação. Funções trigonométricas inversas: arccos, arcsin, arctan. 1.2. Regra de Cauchy para indeterminações no cálculo de limites. Justificação dos “casos notáveis” já conhecidos. 1.3. Fórmula de Taylor para aproximação de funções por polinómios. Quantificação do erro da aproximação através do resto de Lagrange. 2. Primitivação de funções contínuas. 2.1. Definição. Existência de primitivas e família de primitivas de uma função. 2.2. Primitivas imediatas e regras operatórias da primitivação. 2.3. Primitivação por partes e por substituição. 2.4. Decomposição de funções racionais próprias em somas de frações simples. 3. Cálculo Integral. 3.1. Integral definido motivado pelo cálculo de áreas. Definição intuitiva com recursos às somas de Riemann. Propriedades e convenções. Teorema da média. Fórmula fundamental do cálculo integral. 3.1.1. Integração por substituição. 3.1.2. Cálculo das áreas de regiões definidas pelos gráficos de duas funções. 3.2. Integral indefinido. Definição e propriedades. 3.3. Integral impróprio. Definição. Estudo da natureza por definição. Parte B – Introdução às equações diferenciais. 1. Equações diferenciais ordinárias. Motivação: modelos de decaimento radioativo, de von Bertalanffy e Malthusiano. 2. Resolução de equações diferenciais lineares de 1ª ordem pelo método do fator integrante. 3. Resolução de equações diferenciais de 1º ordem com variáveis separáveis. 4. O modelo logístico. Interpretação da solução. Parte C – Cálculo diferencial e extremos de funções de várias variáveis. Integral duplo. 1. Funções reais de várias variáveis. 1.1. Domínio, conjunto de nível, contradomínio e gráfico de funções de 2 e 3 variáveis. Breve revisão das cónicas e breve introdução às superfícies quádricas. 1.2. Derivadas parciais de 1ª ordem e plano tangente. Vetor gradiente e matriz Jacobiana. Derivadas parciais de ordem superior. Matriz Hessiana. 1.3. Extremos locais (livres, i.e. não condicionados) de funções de 2 variáveis. Pontos críticos e critério da Hessiana para determinação da sua natureza. 2. Integrais duplos. 2.1. Integral duplo sobre domínios retangulares. Definição e propriedades. 2.2. Integral duplo sobre domínios elementares. Inversão da ordem de integração. 2.3. Aplicação do integral duplo ao cálculo de volumes e de áreas. 2.4. Sistema de coordenadas polares. Mudança de variável no integral duplo para coordenadas polares. Nota: O cumprimento integral deste Programa pressupõe que o semestre compreenda cerca de 14 semanas de aulas. Em cada ano letivo a matéria efetivamente lecionada consta dos sumários de cada turma.