Testes de hipóteses. Exerc 3.22 (cont) b) ii); 3.32c); 3.33c).

Intervalos de confiança e testes de hipóteses: cálculo manual e interpretação de outputs. Exercícios 3.22, 3.25, 3.34 e 3.32.

Introdução aos Testes de Hipóteses. Revisão dos conceitos. O teste de normalidade de Shapiro-Wilk. Algumas considerações relativamente à resolução do exercício 6. do exame de 12.01.2015. Notas sobre a resolução de alguns exercícios do caderno de práticas. Comentários finais -- análise de outputs do R.

Intervalos de confiança e testes de hipóteses: cálculo manual e interpretação de outputs. Exercícios 3.22, 3.25, 3.34 e 3.32.

Intervalos de confiança e testes de hipóteses: cálculo manual e interpretação de outputs. Exercícios 3.22, 3.25, 3.34 e 3.32.

Aula leccionada conjuntamente com a aula da T6.

Introdução aos Testes de Hipóteses. Revisão dos conceitos. O teste de normalidade de Shapiro-Wilk. Conclusão da resolução do exercício 6. do exame de 12.01.2015.  Comentários finais -- análise de outputs do R.

Testes de hipóteses. Exerc 3.22 (cont) b) ii); 3.32c); 3.33c).

Aula leccionada em conjunto com T8.

Testes de hipóteses. Exerc 3.22 (cont) b) ii); 3.32c); 3.33c).

Exercícios 3.24 e 3.27

Exercícios 3.24 e 3.27

Exercícios 3.24 e 3.27

Exercícios 3.24 e 3.27 (aula leccionada em conjunto com a Turma 10.)

Introdução aos Testes de Hipóteses. Revisão dos conceitos. O teste de normalidade de Shapiro-Wilk. Conclusão da resolução do exercício 6. do exame de 12.01.2015, resolução do exercício 3.38. Comentários finais -- análise de outputs do R.

Exercício 3.22 (conclusão)

Intervalos de confiança e Testes de hipóteses. Exerc 3.18; 3.24 e 3.27.

TPC. Exer 3.22 e 3.25

Exercício 3.22 (conclusão)

Introdução aos Testes de Hipóteses. Os testes paramétricos:  a hipótese nula e a hipótese alternativa. Testes de hipóteses bilaterais e unilaterais. O nível de significância de um teste. Passos a seguir na construção de um teste de hipóteses. O conceito de p-value. Resolução do exercício do slide 165.  Breve referência ao teste de normalidade. Início de resolução do exercício 6. do exame de 12.01.2015.

Introdução à inferência estatística. Distribuições de amostragem e estimadores. Intervalos de confiança. Testes de hipóteses. Exerc 3.17; 3.24; 3.22.

Intervalos de confiança e testes de hipóteses. Exercícios 3.27, 3.21 e 3.29. TPC: exerc. 3.22 e 3.25.

Exercícios 3.18, 3.22 e 3.24

Introdução à inferência estatística. Distribuições de amostragem e estimadores. Intervalos de confiança. Testes de hipóteses. Exerc 3.17; 3.24; 3.22.

Aula leccionada em conjunto com T8.

Introdução à inferência estatística. Distribuições de amostragem e estimadores. Intervalos de confiança. Testes de hipóteses. Exerc 3.17; 3.24; 3.22.

Introdução aos Testes de Hipóteses. Os testes paramétricos:  a hipótese nula e a hipótese alternativa. Testes de hipóteses bilaterais e unilaterais. O nível de significância de um teste. Passos a seguir na construção de um teste de hipóteses. O conceito de p-value. Resolução do exercício do slide 165.  Breve referência ao teste de normalidade. Início de resolução do exercício 6. do exame de 12.01.2015.

Introdução aos Testes de Hipóteses. Os testes paramétricos:  a hipótese nula e a hipótese alternativa. Testes de hipóteses bilaterais e unilaterais. O nível de significância de um teste. Passos a seguir na construção de um teste de hipóteses. O conceito de p-value. Resolução do exercício do slide 165.  Breve referência ao teste de normalidade. Início de resolução do exercício 6. do exame de 12.01.2015.

Intervalos de confiança e testes de hipóteses. Exercícios 3.27, 3.21 e 3.29. TPC: exerc. 3.22 e 3.25.

Intervalos de confiança e testes de hipóteses. Exercícios 3.27, 3.21 e 3.29. TPC: exerc. 3.22 e 3.25.

Aula leccionada conjuntamente com a aula da T6.

Intervalos de confiança. Exercícios 3.13, 3.15 a) b). Resolução do 2º questionário.

Intervalos de confiança. Exercícios 3.17 a) ii) e b), 3.18 e 3.24. Realização do 2º Questionário.

Intervalos de confiança para a diferença de valores médios em amostras independentes retiradas de populações normais com: variâncias conhecidas (revisão); variâncias desconhecidas mas supostas iguais e ainda para o caso de populações quaisquer e amostars de dimensão "grande". Intervalo de confiança para o quociente de 2 variâncias no caso de populações normais. Intervalos de confiança para o valor médio da diferença numa amostra emparelhada - conclusão do estudo de intervalos de confiança.
Testes de hipóteses-- breve introdução com um exemplo. Formulação da hipótese nula e hipótese alternativa. Indicação das etapas a seguir na realização de um teste de hipóteses.
TPC: Exerc  3.17, 3.18, 3.27 e 3.22

Intervalos de confiança. Exercícios 3.13, 3.15 a) b). Resolução do 2º questionário.

Intervalos de confiança. Exercícios 3.17 a) ii) e b), 3.18 e 3.24. Realização do 2º Questionário.

Intervalos de confiança para a diferença de valores médios em amostras independentes retiradas de populações normais com: variâncias conhecidas (revisão); variâncias desconhecidas mas supostas iguais e ainda para o caso de populações quaisquer e amostars de dimensão "grande". Intervalo de confiança para o quociente de 2 variâncias no caso de populações normais. Intervalos de confiança para o valor médio da diferença numa amostra emparelhada - conclusão do estudo de intervalos de confiança.
Testes de hipóteses-- breve introdução com um exemplo. Formulação da hipótese nula e hipótese alternativa. Indicação das etapas a seguir na realização de um teste de hipóteses.
TPC: Exerc  3.17, 3.18, 3.27 e 3.22

Intervalos de confiança. Exercícios 3.13, 3.15 a) b). Resolução do 2º questionário.

Aula leccionada em conjunto com T8.

Intervalos de confiança. Exercícios 3.13, 3.15 a) b). Resolução do 2º questionário.

Exercícios 3.13, 3.15 e 3.17

Exercícios 3.18 e 3.22

Intervalos de confiança: exercícios 3.13, 3.14. 3.15 e 3.18 (início). Realização do 2º Questionário.

Exercícios 3.18 e 3.22

Revisão dos intervalos de confiança para o valor médio, variância e proporção. Intervalos de confiança para a diferença de valores médios em amostras independentes retiradas de populações normais com variâncias conhecidas, variâncias desconhecidas mas supostas iguais e ainda para o caso de populações quaisquer e amostars de dimensão "grande". Intervalo de confiança para o quociente de 2 variâncias no caso de populações normais. Intervalos de confiança para o valor médio da diferença numa amostra emparelhada - conclusão do estudo de intervalos de confiança.

TPC: Exerc  3.17, 3.18, 3.27 e 3.22

Exercícios 3.13, 3.15 e 3.17

Nota: Como dia 8 foi feriado esta aula foi leccionada no dia 7.12 às 14h30

Inferência Estatística. Estudo de estimadores centrados.

Resolução dos exercícios 3.2, 3.3 e 3.4.

Exercícios 3.13, 3.15 e 3.17

Feriado nacional - parte desta aula será leccionada no dia 15.12

Introdução à inferência estatística. Exercícios de distribuições de amostragem e estimadores: 3.2, 3.3, 3.4.

Introdução à inferência estatística e intervalos de confiança. Exercícios 3.3, 3.5, 3.13, 3.15, 3.17 a).

Introdução à inferência estatística e intervalos de confiança. Exercícios 3.3, 3.5, 3.13, 3.15, 3.17 a).

A distribuição t-Student (revisão). Continuação do estudo de intervalos de confiança: intervalo de confiança para o valor médio  no caso de uma população normal com variância desconhecida. Intervalos de confiança para o valor médio para populações não normais. Intervalo de confiança para uma proporção. Intervalo de confiança para a diferença de dois valores médios, populações normais, variâncias conhecidas, amostras independentes.

TPC: Exerc 3.16, 3.17, 3.18 e 3.24

Introdução à inferência estatística. Exercícios de distribuições de amostragem e estimadores: 3.2, 3.3, 3.4.

Aula leccionada em conjunto com T8.

Introdução à inferência estatística. Exercícios de distribuições de amostragem e estimadores: 3.2, 3.3, 3.4.

Continuação do estudo de intervalos de confiança: intervalo de confiança para o valor médio  no caso de uma população normal com variância desconhecida. Intervalos de confiança para o valor médio para populações não normais. Intervalo de confiança para uma proporção. Intervalo de confiança para a diferença de dois valores médios, populações normais, variâncias conhecidas, , amostras independentes.

TPC: Exerc 3.16, 3.17, 3.18 e 3.24

Introdução à inferência estatística e intervalos de confiança. Exercícios 3.3, 3.5, 3.13, 3.15, 3.17 a).

Introdução à inferência estatística e intervalos de confiança. Exercícios 3.3, 3.5, 3.13, 3.15, 3.17 a).

Distribuição normal. Distribuição exponencial.  Teorema do limite central. Exerc 2.72. R2.28. Introdução à inferênci estatística.

Exerc. 2.83b), R2.29. Introdução à inferência estatística. Exerc. 3.2 e 3.4. TPC: exerc. 3.3, 3.5.

Revisão da construção do intervalo de confiança para o valor médio numa população normal com variância conhecida. Os  conceitos de confiança e precisão.  Conclusão da resolução do exercício do slide 142.

Operações entre variáveis aleatórias independentes: a distribuição qui-quadrado e a distribuição t-Student - definição. Intervalo de confiança para a variância populacional  no caso de uma população normal -dedução.

TPC: Exerc. 3.14 e 3.15

Correcção por continuidade: exerc.2.72.d); 2.74.c).

Distribuição exponencial: exerc. 2.83.

Cap-3- Inferência Estatística-população, amostra aleatória e amostra observada: exerc. 3.1.

Exerc. 2.83b), R2.29. Introdução à inferência estatística. Exerc. 3.2 e 3.4. TPC: exerc. 3.3, 3.5.

Revisão da construção do intervalo de confiança para o valor médio numa população normal com variância conhecida. Os  conceitos de confiança e precisão.  Conclusão da resolução do exercício do slide 142.

Operações entre variáveis aleatórias independentes: a distribuição qui-quadrado e a distribuição t-Student - definição. Intervalo de confiança para a variância populacional  no caso de uma população normal -dedução.

TPC: Exerc. 3.14 e 3.15

Correcção por continuidade: exerc.2.72.d); 2.74.c).

Distribuição exponencial: exerc. 2.83.

Cap-3- Inferência Estatística-população, amostra aleatória e amostra observada: exerc. 3.1.

Distribuição normal. Distribuição exponencial.  Teorema do limite central. Exerc 2.72. R2.28. Introdução à inferênci estatística.

Inferência Estatística. Estimação de parâmetros. Exercícios 3.3, 3.4 e 3.5 (preparação do exercício 3.13)

Inferência Estatística. Estimação de parâmetros. Exercícios 3.3, 3.4 e 3.5 (preparação do exercício 3.13)

Correcção por continuidade: exerc.2.72.d); 2.74.c).

Distribuição exponencial: exerc. 2.83.

Cap-3- Inferência Estatística-população, amostra aleatória e amostra observada: exerc. 3.1.

Inferência Estatística. Estimação de parâmetros. Exercícios 3.3, 3.4 e 3.5 (preparação do exercício 3.13)

Revisão da construção do intervalo de confiança para o valor médio numa população normal com variância conhecida. Os  conceitos de confiança e precisão.  Conclusão da resolução do exercício do slide 142.

Operações entre variáveis aleatórias independentes: a distribuição qui-quadrado, a distribuição t-Student e a distribuição F-Snedecor - definição. Intervalo de confiança para a variância populacional  no caso de uma população normal -dedução. Intervalo de confiança para a média populacional no caso de uma população normal com variância desconhecida.

TPC: Exerc. 3.14 e 3.15

Soma de Normais. Teorema Limite Central. Exercícios 2.74, 2.75

Distribuição exponencial. Função de distribuição de uma v.a. exponencial. Exercício 2.83

Revisão de propriedades da distribuição normal. Exerc.: 2.72.

Revisão da relação entre distribuição de Poisson e a distribuição exponencial.

Soma de Normais. Teorema Limite Central. Exercícios 2.74, 2.75

Distribuição exponencial. Função de distribuição de uma v.a. exponencial. Exercício 2.83

Estimador e estimativa; propriedades dos estimadores (revisão).  Estimação pontual e estimação intervalar. Intervalos de confiança, definição. Etapas necessárias à construção de intervalos de confiança. Construção de um intervalo de confiança para o valor médio numa população normal com variância conhecida. Interpretação do intervalo de confiança. Início de resolução do exercício do slide 142.

TPC: exercícios  3.3, 3.4, 3.5 e 3.13

Soma de Normais. Teorema Limite Central. Exercícios 2.74, 2.75

Distribuição exponencial. Função de distribuição de uma v.a. exponencial. Exercício 2.83

Função geradora de momentos. Distribuição normal. Exerc 2.71. Teorema do limite central. Exerc 2.77. Distribuição exponencial. Exerc 2.83, 2.84 a)b).

Principais distribuições contínuas: soma de v.a. com distribuição Normal; teorema limite central. Distroibuição exponencial. Exercícios 2.75, 2.76, 2.77, 2.80 e 2.83 a).  TPC: 2.83 b), R2.29.

Revisão de propriedades da distribuição normal. Exerc.: 2.72.

Revisão da relação entre distribuição de Poisson e a distribuição exponencial.

Estimador e estimativa; propriedades dos estimadores (revisão).  Estimação pontual e estimação intervalar. Intervalos de confiança, definição. Etapas necessárias à construção de intervalos de confiança. Construção de um intervalo de confiança para o valor médio numa população normal com variância conhecida. Interpretação do intervalo de confiança. Início da resolução do exercício do slide 142.

TPC: exercícios  3.3, 3.4, 3.5 e 3.13

Função geradora de momentos. Distribuição normal. Exerc 2.71. Teorema do limite central. Exerc 2.77. Distribuição exponencial. Exerc 2.83, 2.84 a)b).

Estimador e estimativa; propriedades dos estimadores (revisão).  Estimação pontual e estimação intervalar. Intervalos de confiança, definição. Etapas necessárias à construção de intervalos de confiança. Construção de um intervalo de confiança para o valor médio numa população normal com variância conhecida. Interpretação do intervalo de confiança. Início da resolução do exercício do slide 142.

TPC: exercícios  3.3, 3.4, 3.5 e 3.13

Revisão de propriedades da distribuição normal. Exerc.: 2.72.

Revisão da relação entre distribuição de Poisson e a distribuição exponencial.

Principais distribuições contínuas: soma de v.a. com distribuição Normal; teorema limite central. Distroibuição exponencial. Exercícios 2.75, 2.76, 2.77, 2.80 e 2.83 a).  TPC: 2.83 b), R2.29.

Distribuição normal. Exerc 2.70, 2.73, 2.74c).

Principais distribuições contínuas: somas e combinação linear de v.a. com distribuição Normal. Aproximação de distribuições discretas a contínuas: aproximação da Binomial e da Poisson à Normal, correcção de continuidade. Exercícios: 2.70, 2.73, 2.74.TPC: exerc. 2.75, 2.77.

Conclusão do estudo da distribuição exponencial: estudo de duas propriedades - 1. a propriedade da falta de memória; 2. a relação entre a contagem de sucessos em intervalos de tempo (processo de Poisson) e o tempo de ocorrência entre 2 sucessos consecutivos (modelo exponencial).

Introdução à Inferência Estatística e à Amostragem. A Probabilidade e a Inferência Estatística. Objectivos e conceitos fundamentais. Definição de amostra aleatória e de amostra observada.  Referência  aos principais parâmetros a estudar e respectivos estimadores. Definição de estimador e de estimativa de um parâmetro.

Exerc.: 2.73; 2.75; 2.85.

Principais distribuições contínuas: somas e combinação linear de v.a. com distribuição Normal. Aproximação de distribuições discretas a contínuas: aproximação da Binomial e da Poisson à Normal, correcção de continuidade. Exercícios: 2.70, 2.73, 2.74.TPC: exerc. 2.75, 2.77.

Conclusão do estudo da distribuição exponencial: estudo de duas propriedades - 1. a propriedade da falta de memória; 2. a relação entre a contagem de sucessos em intervalos de tempo (processo de Poisson) e o tempo de ocorrência entre 2 sucessos consecutivos (modelo exponencial).

Introdução à Inferência Estatística e à Amostragem. A Probabilidade e a Inferência Estatística. Objectivos e conceitos fundamentais. Definição de amostra aleatória e de amostra observada.  Referência  aos principais parâmetros a estudar e respectivos estimadores. Definição de estimador e de estimativa de um parâmetro. Propriedades dos estimadores: Estimadores centrados.

TPC: mostrar que a média e a variância amostrais são estimadores centrados do valor médio e da variância da população, respectivamente.

Distribuição normal. Exerc 2.70, 2.73, 2.74c).

Exerc.: 2.75; 2.85; 2.87.

Dist. Normal. Exercícios 2.68 e 2.70

Dist. Normal. Exercícios 2.68 e 2.70

Dist. Normal. Exercícios 2.68 e 2.70

Exerc.: 2.73; 2.75; 2.87.

Conclusão do estudo da distribuição exponencial: estudo de duas propriedades - 1. a propriedade da falta de memória; 2. a relação entre a contagem de sucessos em intervalos de tempo (processo de Poisson) e o tempo de ocorrência entre 2 sucessos consecutivos (modelo exponencial).

Introdução à Inferência Estatística e à Amostragem. A Probabilidade e a Inferência Estatística. Objectivos e conceitos fundamentais. Definição de amostra aleatória e de amostra observada.  Referência  aos principais parâmetros a estudar e respectivos estimadores. Definição de estimador e de estimativa de um parâmetro. Propriedades dos estimadores: Estimadores centrados.

TPC: mostrar que a média e a variância amostrais são estimadores centrados do valor médio e da variância da população, respectivamente.

Distribuição Normal. Exercícios 2.66 e 2.67

Correção do TPC da aula teórica

Principais distribuições contínuas: exerc. 2.67; 2.68.

Distribuição Normal. Exercícios 2.66, 2.67

Correção do TPC da aula teórica

Conclusão do estudo da distribuição normal -- O Teorema Limite Central (ilustração com apoio do R). A aproximação da lei binomial pela normal (Teorema de De Moivre) e a aproximação da lei de Poisson pela lei normal. Regras práticas de convergência daquelas distribuições.   A correcção por continuidade. Exercício. A distribuição exponencial: a função densidade, a função distribuição cumulativa, o valor médio, a variância e a função geradora de momentos. A propriedade da falta de memória da distribuição exponencial.

TPC: Obter a função distribuição cumulativa. Provar a  propriedade da falta de memória da distribuição exponencial.

Distribuição normal. Exerc 2.66, 2.67, 2.68, 2.69.

Dist. Normal. Exercícios 2.66 e 2.67

Correção TPC aula teórica

Principais distribuições contínuas: média e soma de v.a. normais. Exercícios 2.66, 2.67, 2.68 e 2.69. TPC: exerc 2.70.

Conclusão do estudo da distribuição normal -- O Teorema Limite Central (ilustração com apoio do R). A aproximação da lei binomial pela normal (Teorema de De Moivre) e a aproximação da lei de Poisson pela lei normal. Regras práticas de convergência daquelas distribuições.   A correcção por continuidade. Exercício. A distribuição exponencial: a função densidade, a função distribuição cumulativa, o valor médio, a variância e a função geradora de momentos. A propriedade da falta de memória da distribuição exponencial.

TPC: Obter a função distribuição cumulativa. Provar a  propriedade da falta de memória da distribuição exponencial.

Distribuição normal. Exerc 2.66, 2.67, 2.68, 2.69.

Principais distribuições contínuas: exerc. 2.67; 2.68.

Conclusão do estudo da distribuição normal -- O Teorema Limite Central (ilustração com apoio do R). A aproximação da lei binomial pela normal (Teorema de De Moivre) e a aproximação da lei de Poisson pela lei normal. Regras práticas de convergência daquelas distribuições.   A correcção por continuidade. Exercício. A distribuição exponencial: a função densidade, a função distribuição cumulativa, o valor médio, a variância e a função geradora de momentos. A propriedade da falta de memória da distribuição exponencial.

TPC: Obter a função distribuição cumulativa. Provar a  propriedade da falta de memória da distribuição exponencial.

Principais distribuições contínuas: exerc. 2.67; 2.68.

Principais distribuições contínuas: média e soma de v.a. normais. Exercícios 2.66, 2.67, 2.68 e 2.69. TPC: exerc 2.70.

Distribuição de Poisson. Aproximação da distribuição binomial pela distribuição de Poisson. Exerc 2.62, 2.63.

Distribuição Uniforme contínua. Exerc 2.64. Distribuição normal. Exerc 2.65.

Aproximações das distribuições discretas. Exerc. 2.63 b) e c). Principais distribuições contínuas: distribuição uniforme contínua e normal. Exerc. 2.64 (Uniforme contínua), 2.65 (Normal). TPC: exerc. 2.66.

Continuação do estudo da distribuição normal:  estandardização de uma variável com distribuição normal. Resolução de exercícios. A consulta de tabelas. O teorema da estabilidade da soma de normais independentes. A distribuição da soma e da média de n variáveis aleatórias normais independentes e semelhantes. Resolução de exercícios. O teorema limite central (introdução).

TPC: Sendo X um v.a. normal com valor médio mu e variância sigma, calcular: P[mu-sigma<X<mu+sigma];  P[mu-2sigma<X<mu+2sigma] e P[mu-3sigma<X<mu+3sigma]

Principais distribuições discretas: exerc. 2.61e)f)g); 2.62.

Principais distribuições contínuas: exerc. 2.64; 2.65.

Aproximações das distribuições discretas. Exerc. 2.63 b) e c). Principais distribuições contínuas: distribuição uniforme contínua e normal. Exerc. 2.64 (Uniforme contínua), 2.65 (Normal). TPC: exerc. 2.66.

Continuação do estudo da distribuição normal:  estandardização de uma variável com distribuição normal. Resolução de exercícios. A consulta de tabelas. O teorema da estabilidade da soma de normais independentes. A distribuição da soma e da média de n variáveis aleatórias normais independentes e semelhantes. Resolução de exercícios. O teorema limite central (introdução).

TPC: Sendo X um v.a. normal com valor médio mu e variância sigma, calcular: P[mu-sigma<X<mu+sigma];  P[mu-2sigma<X<mu+2sigma] e P[mu-3sigma<X<mu+3sigma]

Distribuição de Poisson. Aproximação da distribuição binomial pela distribuição de Poisson. Exerc 2.62, 2.63.

Distribuição Uniforme contínua. Exerc 2.64. Distribuição normal. Exerc 2.65.

Principais distribuições discretas: exerc. 2.61f)g); 2.62.

Principais distribuições contínuas: exerc. 2.64; 2.65.

Dist. Poisson. Distribuições Uniforme Contínua e Normal. Exercícios 2.62, 2.64 e 2.65

Conclusão da Dist. Poisson. Exercício 2.62.

Distribuições contínuas uniforme e Normal. Exercicios 2.64 e 2.65

Principais distribuições discretas: exerc. 2.61f)g); 2.62.

Principais distribuições contínuas: exerc. 2.64; 2.65; 2.66.

Conclusão da Dist. Poisson. Exercício 2.62.

Distribuições contínuas uniforme e Normal. Exercicios 2.64 e 2.65

Continuação do estudo da distribuição normal:  estandardização de uma variável com distribuição normal. Resolução de exercícios. A consulta de tabelas. O teorema da estabilidade da soma de normais independentes. A distribuição da soma e da média de n variáveis aleatórias normais independentes e semelhantes. Resolução de exercícios. O teorema limite central (introdução).

TPC: Sendo X um v.a. normal com valor médio mu e variância sigma, calcular: P[mu-sigma<X<mu+sigma];  P[mu-2sigma<X<mu+2sigma] e P[mu-3sigma<X<mu+3sigma]

Distribuições Geométrica, Hipergeométrica e Poisson. Exercícios 2.60, 2.61

Principais distribuições discretas: exerc.: 2.61b; 2.59; 2.61a)-e).

Distribuições Geométrica, Hipergeométrica e Poisson. Exercícios 2.60, 2.61

Os modelos contínuos: o modelo uniforme contínuo: definição, função densidade e função distribuição cumulativa . O modelo normal ou de Gauss - a função densidade; propriedades e interpretação. O valor médio, a variância e a função geradora de momentos. A normal reduzida. transformação afim de uma variável aleatória normal.  Redução de uma variável com distribuição normal. Início de resolução de um exercício.

TPC: Exerc. 2.64, 2.65 e 2.66

Principais distribuições discretas: resolução dos exerc.: 2.59 e 2.61.

Comandos do R para o cáculo da função massa de probabilidade e da função distribuição cumulativa. Exemplos com a hipergeométrica e com a binomial.

Revisão da aproximação da lei hipergeométrica pela binomial.

TPC: 2.62, 2.64 e 2.65

Principais distribuições discretas. Distribuição hipergeométrica. Aproximação da hipergeométrica pela binomial. Exerc 2.59, 2.60. Distribuição de Poisson. Exerc 2.61.

Principais distribuições discretas (aproximação da Hipergeométrica à Binomial e da Binomial à Poisson): exerc. 2.60 b) i) e ii), 2.61, 2.62 e 2.63 a). TPC: exerc. 2.63 b) e c), 2.64.

Os modelos contínuos: o modelo uniforme contínuo: definição, função densidade e função distribuição cumulativa . O modelo normal ou de Gauss - a função densidade; propriedades e interpretação. O valor médio, a variância e a função geradora de momentos. A normal reduzida. transformação afim de uma variável aleatória normal.  Redução de uma variável com distribuição normal. Início de resolução de um exercício.

TPC: Exerc. 2.64, 2.65 e 2.66

Principais distribuições discretas. Distribuição hipergeométrica. Aproximação da hipergeométrica pela binomial. Exerc 2.59, 2.60. Distribuição de Poisson. Exerc 2.61.

Principais distribuições discretas: exerc.: 2.61b.ii); 2.59; 2.61a)-e).

Os modelos contínuos: o modelo uniforme contínuo: definição, função densidade e função distribuição cumulativa . O modelo normal ou de Gauss - a função densidade; propriedades e interpretação. O valor médio, a variância e a função geradora de momentos. A normal reduzida. transformação afim de uma variável aleatória normal.  Redução de uma variável com distribuição normal. Início de resolução de um exercício.

TPC: Exerc. 2.64, 2.65 e 2.66

Principais distribuições discretas: exerc.: 2.61b.ii); 2.59; 2.61a)-d).

Principais distribuições discretas (aproximação da Hipergeométrica à Binomial e da Binomial à Poisson): exerc. 2.60 b) i) e ii), 2.61, 2.62 e 2.63 a). TPC: exerc. 2.63 b) e c), 2.64.

Distribuição geométrica. Exerc 2.55, 2.56. Função geradora de momentos. Exerc 2.54, 2.57.

Principais distribuições discretas: dist. binomial, geométrica e hipergeométrica. Exerc. 2.54, 2.55, 2.56, 2.57, 2.58 e 2.60 a). TPC: 2.60 b) e c).

Modelos discretos (continuação): A distribuição hipergeométrica e a aproximação pela binomial.
O modelo de Poisson -- caracterização, cálculo da função geradora de momentos e do valor médio.  O Teorema da estabilidade da soma  de v. a. independentes com distribuição de Poisson. Aproximação da binomial pela Poisson.  

TPC: Resolução de um exercício enunciado na aula.  Estudo de uma v.a. contínua com função densidade constante num intervalo ]a,b[, a<b reais: determinação da constante e da função de distribuição cumulativa. Exercício 2.60, 2.59 e 2.61.

Principais distribuições discretas: exerc.: 2.55; 2.56; 2.60a). 

Demonstração da estabilidade da soma de distribuições de v.a.s independentes: i) binomial (exerc. 2.57a); ii) Poisson.

Demonstração da não estabilidade da soma de distribuições de v.a.s independentes: geométrica (exerc. 2.57b). 

Principais distribuições discretas: dist. binomial, geométrica e hipergeométrica. Exerc. 2.54, 2.55, 2.56, 2.57, 2.58 e 2.60 a). TPC: 2.60 b) e c).

Modelos discretos (continuação): A distribuição hipergeométrica e a aproximação pela binomial.
O modelo de Poisson -- caracterização, cálculo da função geradora de momentos e do valor médio.  O Teorema da estabilidade da soma  de v. a. independentes com distribuição de Poisson. Aproximação da binomial pela Poisson.  

TPC: Resolução de um exercício enunciado na aula.  Estudo de uma v.a. contínua com função densidade constante num intervalo ]a,b[, a<b reais: determinação da constante e da função de distribuição cumulativa. Exercício 2.60, 2.59 e 2.61.

Principais distribuições discretas: exerc.: 2.55; 2.56; 2.60a). 

Demonstração da estabilidade da soma de distribuições de v.a.s independentes: i) binomial (exerc. 2.57a); ii) Poisson.

Demonstração da não estabilidade da soma de distribuições de v.a.s independentes: geométrica (exerc. 2.57b). 

Distribuição geométrica. Exerc 2.55, 2.56. Função geradora de momentos. Exerc 2.54, 2.57.

A propriedade da soma de v.a.s independentes com distribuição:  binomial com a mesma probabilidade de sucesso,p,  (exerc. 2.57a),  geométrica  e Poisson.

Principais distribuições discretas: resolução dos exerc.: 2.55; 2.56; 2.60a). 

TPC: 2.60 (concluir); 2.59 a)

Distribuições Binomial, Hipergeométrica e Geométrica. Estabilidade de Somas (Bionomial e Poisson)

Exercícios 2.56, 2.57 e 2.59

Principais distribuições discretas: exerc.: 2.55; 2.56; 2.60a). 

Demonstração da estabilidade da soma de distribuições de v.a.s independentes: i) binomial (exerc. 2.57a); ii) Poisson.

Demonstração da não estabilidade da soma de distribuições de v.a.s independentes: geométrica (exerc. 2.57b). 

Distribuições Binomial, Hipergeométrica e Geométrica. Estabilidade de Somas (Bionomial e Poisson).

Exerc´cios 2.56, 2.57 e 2.59

Modelos discretos (continuação): A distribuição hipergeométrica e a aproximação pela binomial.
O modelo de Poisson -- caracterização, cálculo da função geradora de momentos e do valor médio.  O Teorema da estabilidade da soma  de v. a. independentes com distribuição de Poisson. Aproximação da binomial pela Poisson.  

TPC: Resolução de um exercício enunciado na aula.  Estudo de uma v.a. contínua com função densidade constante num intervalo ]a,b[, a<b reais: determinação da constante e da função de distribuição cumulativa. Exercício 2.60, 2.59 e 2.61.

Continuação. Distribuição Geométrica. Exercícios 2.54 e 2.55

Revisão: exercícios de testes de anos letivos anteriores.

Esclarecimento de dúvidas.

Continuação. Distribuição Geométrica. Exercícios 2.54 e 2.55

Conclusão do estudo do modelo geométrico (contagem de provas necessárias até ocorrer o 1º sucesso em provas de Bernoulli independentes) - a função geradora de momentos e a determinação do valor médio. A propriedade da falta de memória da distribuição geométrica. Dedução e interpretação.

Caracterização da  distribuição hipergeométrica. A função massa de probabilidade, valor médio e variância. A aproximação da hipergeométrica pela binomial. Resolução de um exercício

Exercícios a preparar:  2.55, 2.56 e 2.57

Principais distribuições discretas: resolução dos exercícios 2.49 (conclusão), 2.50, 2.51 e 2.54

Distribuição binomial. Exercícos 2.49, 2.52 a)b)c), 2.53.

Principais distribuições discretas: o modelo binomial (cálculo de probabilidade, utilização da tabela, valor médio e variância). Exercícios 2.49, 2.50, 2.53, 2.51 e 2.52.

Conclusão do estudo do modelo geométrico (contagem de provas necessárias até ocorrer o 1º sucesso em provas de Bernoulli independentes) - a função geradora de momentos e a determinação do valor médio. A propriedade da falta de memória da distribuição geométrica. Dedução e interpretação.

Caracterização da  distribuição hipergeométrica. A função massa de probabilidade, valor médio e variância. A aproximação da hipergeométrica pela binomial. Resolução de um exercício

Exercícios a preparar:  2.55, 2.56 e 2.57

Revisão: exercícios de testes de anos letivos anteriores.

Esclarecimento de dúvidas.

Distribuição binomial. Exercícos 2.49, 2.52 a)b)c), 2.53.

Conclusão do estudo do modelo geométrico (contagem de provas necessárias até ocorrer o 1º sucesso em provas de Bernoulli independentes) - a função geradora de momentos e a determinação do valor médio. A propriedade da falta de memória da distribuição geométrica. Dedução e interpretação.

Caracterização da  distribuição hipergeométrica. A função massa de probabilidade, valor médio e variância. A aproximação da hipergeométrica pela binomial. Resolução de um exercício

Exercícios a preparar:  2.55, 2.56 e 2.57

Revisão: exercícios de testes de anos letivos anteriores.

Esclarecimento de dúvidas.

Principais distribuições discretas: o modelo binomial (cálculo de probabilidade, utilização da tabela, valor médio e variância). Exercícios 2.49, 2.50, 2.53, 2.51 e 2.52.

Pares aleatórios contínuos. Exerc 2.43. Principais distribuições discretas. Exerc 2.50.

Pares aleatórios contínuos (densidade marginal, densidade condicional, domínio da função densidade, variância e covariância ): Exerc. 2.45, 2.36. Principais distribuições discretas: o modelo binomial. Exerc. 2.49 a) e b). TPC: 2.49 (conclusão), 2.50, 2.53.

A distribuição binomial (revisão). Valor médio e variância (determinação) e função geradora de momentos.  Exemplo de utilização no cálculo do valor médio.
Consulta de tabelas e resolução de um exercício.
A distribuição do nº de insucessos em n provas de Bernoulli independentes.
O modelo geométrico (contagem de provas necessárias até ocorrer o 1º sucesso em provas de Bernoulli independentes). Caracterização e referência à soma dos termos de uma série geométrica de razão <1. Determinação da função geradora de momentos da variável geométrica.

TPC: Aplicação da f.g.m no cálculo do valor médio e variância da distribuição geométrica. Exerc. 2.54 e 2.55.

Pares aleatórios contínuos: Exerc. 2.48h).

Principais distribuições discretas: Exerc. 2.52; 2.50a).

Pares aleatórios contínuos (densidade marginal, densidade condicional, domínio da função densidade, variância e covariância ): Exerc. 2.45, 2.36. Principais distribuições discretas: o modelo binomial. Exerc. 2.49 a) e b). TPC: 2.49 (conclusão), 2.50, 2.53.

A distribuição binomial (revisão). Valor médio e variância (determinação) e função geradora de momentos.  Exemplo de utilização no cálculo do valor médio.
Consulta de tabelas e resolução de um exercício.
A distribuição do nº de insucessos em n provas de Bernoulli independentes.
O modelo geométrico (contagem de provas necessárias até ocorrer o 1º sucesso em provas de Bernoulli independentes). Caracterização e referência à soma dos termos de uma série geométrica de razão <1. Determinação da função geradora de momentos da variável geométrica.

TPC: Aplicação da f.g.m no cálculo do valor médio e variância da distribuição geométrica. Exerc. 2.54 e 2.55.

Pares aleatórios contínuos: Exerc. 2.48h).

Principais distribuições discretas: Exerc. 2.52; 2.50a).

Pares aleatórios contínuos. Exerc 2.43. Principais distribuições discretas. Exerc 2.50.

Pares aleatórios contínuos: Exerc. 2.48 conclusão. Correcção de alguns exercícios

Principais distribuições discretas: Exerc. 2.49 (leitura de tabelas e distribuição do nº de insucessos em n provas de Bernoulli independentes).

TPC: Exerc 2.50, 2.51, 2.52, 2.,53 e 2.54

Exercícios 2.46 e 2.52

Pares aleatórios contínuos: Exerc. 2.48h).

Principais distribuições discretas: Exerc. 2.52; 2.50a).

Exercícios 2.46 e 2.52

A distribuição binomial (revisão). Valor médio e variância (determinação) e função geradora de momentos.  Exemplo de utilização no cálculo do valor médio.
Consulta de tabelas e resolução de um exercício.
A distribuição do nº de insucessos em n provas de Bernoulli independentes.
O modelo geométrico (contagem de provas necessárias até ocorrer o 1º sucesso em provas de Bernoulli independentes). Caracterização e referência à soma dos termos de uma série geométrica de razão <1. Determinação da função geradora de momentos da variável geométrica.

TPC: Aplicação da f.g.m no cálculo do valor médio e variância da distribuição geométrica. Exerc. 2.54 e 2.55.

Uniforme discreta. Valor médio e variância. Distribuição Binomial. Exercício 2.49, 2.53

Exercícios 2.36, c) e d) e 3.37

Pares aleatórios contínuos: Exerc. 2.43; 2.48a)b)c)d)e)f)g).

Uniforme discreta. Valor médio e variância. Distribuição Binomial. Exercício 2.49, 2.53

Exercícios 2.36, c) e d) e 3.37

Os principais modelos (distribuições) discretos: o modelo uniforme discreto, caso geral e caso padrão. Cálculo da função distribuição cumulativa (representação gráfica), valor médio e variância.

Provas de Bernoulli e o modelo de Bernoulli: caracterização; função massa de probabilidade e função de  distribuiçãio cumulativa.  Valor médio,  variância e determinação da função geradora de momentos.  Experiêncais binomiais (caracterização). O modelo Binomial. Ilustração com o exercício 2.24. Caracterização. 

Exercícios a preparar:  2.50; 2.49 e 2.53

Pares aleatórios contínuos. Exerc 2.45  e  2.48 a)-d)

TPC: concluir o exerc 2.48. Exerc: 2.50, 2.49, 2.51.

Pares aleatórios contínuos. Exerc 2.45 a)b)c), 2.48d)e)h).

Pares aleatórios contínuos:  conclusão do exercício 2.42, 2.48 e apresentação do domínio do exerc. 2.45. TPC: conclusão do exerc. 2.45.

Os principais modelos (distribuições) discretos: o modelo uniforme discreto, caso geral e caso padrão. Cálculo da função distribuição cumulativa (representação gráfica), valor médio e variância.

Provas de Bernoulli e o modelo de Bernoulli: caracterização; função massa de probabilidade e função de  distribuiçãio cumulativa.  Valor médio,  variância e determinação da função geradora de momentos.  Experiêncais binomiais (caracterização). O modelo Binomial. Ilustração com o exercício 2.24 Caracterização e cálculo do valor médio e variância.

Exercícios a preparar:  2.50; 2.49 e 2.53

Pares aleatórios contínuos. Exerc 2.45 a)b)c), 2.48d)e)h).

Pares aleatórios contínuos: Exerc. 2.43; 2.48a)b)c)d)e)f)g).

Os principais modelos (distribuições) discretos: o modelo uniforme discreto, caso geral e caso padrão. Cálculo da função distribuição cumulativa (representação gráfica), valor médio e variância.

Provas de Bernoulli e o modelo de Bernoulli: caracterização; função massa de probabilidade e função de  distribuiçãio cumulativa.  Valor médio,  variância e determinação da função geradora de momentos.  Experiêncais binomiais (caracterização). O modelo Binomial. Ilustração com o exercício 2.24 Caracterização e cálculo do valor médio e variância.

Exercícios a preparar:  2.50; 2.49 e 2.53

Pares aleatórios contínuos: Exerc. 2.43; 2.48a)b)c)d)e).

Pares aleatórios contínuos:  conclusão do exercício 2.42, 2.48 e apresentação do domínio do exerc. 2.45. TPC: conclusão do exerc. 2.45.

Pares aleatórios contínuos. Exerc 2.42. Correcção do 1º questionário.

Pares aleatórios discretos e contínuos (noção de distribuição de probabilidade conjunta, distribuições de probabilidade marginais, de probabilidade condicional e de independência e  propriedades do valor esperado): exerc. 2.38, 2.40 e 2.42 a), b), apresentação da c). TPC. Conclusão do exerc. 2.42 e exerc. 2.48.

O par aleatório (X,Y). Definição de covariância e de coeficiente de correlação de duas variáveis aleatórias: propriedades. A covariância no caso de v.a.'s independentes e a consequência na variância da soma/diferença das componentes do par aleatório. 
A função geradora de momentos: definição e propriedades.
Exemplo de aplicação à variável uniforme discreta, X, com valores (0,1).
Determinação da função distribuição cumulativa, da função geradora de momentos de X. Estudo da soma de 2 v.a's independentes e semelhantes a X.
 
TPC. Procurar a expressão da soma dos n primeiros número naturais e da soma dos quadrados dos n primeiros naturais.

Pares aleatórios contínuos: Exerc. 2.42.

Pares aleatórios discretos e contínuos (noção de distribuição de probabilidade conjunta, distribuições de probabilidade marginais, de probabilidade condicional e de independência e  propriedades do valor esperado): exerc. 2.38, 2.40 e 2.42 a), b), apresentação da c). TPC. Conclusão do exerc. 2.42 e exerc. 2.48.

Pares aleatórios. Independência das componentes de um par aleatório: revisão.  Estudo de parâmetros para um par aleatório.  O valor médio de uma função do par. Propriedades: valor médio da soma (dedução) e valor médio do produto quando há independência. Resolução do exercício do slide 91. A variância da soma das componentes do par aleatório (dedução).

Definição de covariância e de coeficiente de correlação de duas variáveis aleatórias: propriedades. A covariância no caso de v.a.'s independentes e a consequência na variância da soma/diferença das componentes do par aleatório. 
A função geradora de momentos: definição e propriedades.
Exemplo de aplicação à variável uniforme discreta, X, com valores (0,1).
Determinação da função geradora de momentos de X. Estudo da soma de 2 v.a's independentes e semelhantes a X.
 
TPC. Exer. 2.48. Procurar a expressão da soma dos n primeiros número naturais e da soma dos quadrados dos n primeiros naturais.

Nota: Esta aula teve uma duração aproximada de 2horas para compensar a aula não leccionada no dia 23.10

Pares aleatórios contínuos: Exerc. 2.42.

Pares aleatórios contínuos. Exerc 2.42. Correcção do 1º questionário.

Pares aleatórios contínuos: exerc. 2.42. Comentários sobre o questionário.

TPC: Exerc.  2.45 e 2.48

Exercícios 2.37 e 2.48

Pares aleatórios contínuos: Exerc. 2.42.

Exercícios 2.37 e 2.48

O par aleatório (X,Y). Definição de covariância e de coeficiente de correlação de duas variáveis aleatórias: propriedades. A covariância no caso de v.a.'s independentes e a consequência na variância da soma/diferença das componentes do par aleatório. 
A função geradora de momentos: definição e propriedades.
Exemplo de aplicação à variável uniforme discreta, X, com valores (0,1).
Determinação da função distribuição cumulativa, da função geradora de momentos de X. Estudo da soma de 2 v.a's independentes e semelhantes a X.
 
Início do estudo dos principais modelos (distribuições) discretos: o modelo uniforme discreto, caso geral e caso padrão.

TPC. Procurar a expressão da soma dos n primeiros número naturais e da soma dos quadrados dos n primeiros naturais. Aplicar ao cálculo do valor médio e variância da uniforme discreta padrão.

Pares aleatórios. Exercícios 2.38 e 2.42

Variáveis aleatórias contínuas: Exerc. 2.33 (conclusão).

Pares aleatórios discretos: Exerc. 2.38.

Pares aleatórios. Exercícios 2.38 e 2.42

Pares aleatórios. Independência das componentes de um par aleatório: revisão.  Resolução dos exercícios 2.38 a).

Estudo de parâmetros para um par aleatório.  O valor médio de uma função do par. Propriedades: valor médio da soma (dedução) e valor médio do produto quando há independência. Resolução do exercício do slide 91. A variância da soma das componentes do par aleatório (dedução): definição de covariância.  

TPC. Exer. 2.48.

Variável aleatória contínua: exerc. 2.34

Pares aleatórios discretos: exerc. 2.38.

TPC: Exerc. 2.42 e 2.45

Pares aleatórios discretos. Exerc 2.28.

Variáveis aleatórias contínuas: exerc. 2.34 c) e d) i), ii), exerc. 2.37. TPC: exerc. 2.38 e 2.42.

Pares aleatórios contínuos. Definição das funções densidade marginais e das funções densidade condicionais.  Exercício R2.9: determinação das densidades marginais e de uma densidade condicional.  Independência das componentes de um par aleatório: definição.  Resolução dos exercícios 2.39 b) e R2.9 b) c).

TPC: Exercícios para corrigir na prática: 2.38 e 2.42.

Variáveis aleatórias contínuas: Exerc. 2.33 (conclusão).

Pares aleatórios discretos: Exerc. 2.38.

Pares aleatórios discretos. Exerc 2.28.

Pares aleatórios. Independência das componentes de um par aleatório: definição.  Resolução dos exercícios 2.39 b) e R2.9 b).

Estudo de parâmetros para um par aleatório.  O valor médio de um função do par. Propriedades: valor médio da soma (dedução) e valor médio do produto quando há independência. Resolução do exercício do slide 91. A variância da soma das componentes do par aleatório (dedução): definição de covariância e fórmula de cálculo. A covariância no caso de v.a.'s independentes e a consequência na variância da soma e da diferença. 

TPC. Exer. 2.48.

Variáveis aleatórias contínuas: Exerc. 2.33 (conclusão).

Pares aleatórios discretos: Exerc. 2.38.

Variáveis aleatórias contínuas: exerc. 2.34 c) e d) i), ii), exerc. 2.37. TPC: exerc. 2.38 e 2.42.

Variável aletória contínua. Exercícios 2.33 c) d); 2.32, 2.37a).

Variáveis aleatórias contínuas: Exerc. 2.32 (conclusão), 2.33 e 2.34 a) e b). TPC: conclusão do exerc. 2.34 e 2.38.

Pares aleatórios contínuos. Funções densidade marginais e funções densidade condicionais.  Exercício R2.9: Determinação das densidades marginais e de uma densidade condicional. Cálculo de probabilidades condicionais. Resolução R2.9c).

Variáveis aleatórias contínuas. Exerc. 2.28b)c)d)e); 2.33.

Variáveis aleatórias contínuas: Exerc. 2.32 (conclusão), 2.33 e 2.34 a) e b). TPC: conclusão do exerc. 2.34 e 2.38.

Esta aula será leccionada na próxima sexta-feira, dia 30.10, como combinado com os alunos

Variáveis aleatórias contínuas. Exerc. 2.28b)c)d)e); 2.33.

Variável aletória contínua. Exercícios 2.33 c) d); 2.32.

Função densidade de probabilidade e função de distribuição. Valor médio e quantil de probabilidade p.

Exercícios 2.33 e 2.35

V.a. contínuas. Exercícios 2.31, 2.33 e 2.35

Variáveis aleatórias contínuas. Exerc. 2.28b)c)d)e); 2.33.

V.a. contínuas. Exercícios 2.31, 2.33 e 2.35

Esta aula foi leccionada no dia 20.10 (ver nota no sumário dessa aula)

V.a. discretas. Função massa de probabilidade e função de distribuição. Exercícios 2.27, 2.28

Variáveis aleatórias discretas e contínuas.

Exerc. : 2.28; 2.27; 2.32a).

V.a. discretas. Função massa de probabilidade e função de distribuição. Exercícios 2.27, 2.28

Conclusão da resolução do exercício 2.30.

O par aleatório (X,Y): - O par discreto, formalização: a função massa de probabilidade conjunta, propriedades. Probabilidades marginais e  probabilidades condicionais. Resolução do exercício 2.39 a) e d).
- O par contínuo: função densidade de probabilidade conjunta, propriedades. Funções densidade margimais e funções densidade condicionais.  Resolução do exercício R2.9 a). Determinação das densidades marginais e de uma densidade condicional neste exercício.

Independência de variáveis aleatórias. Definição. Resolução do Ex. 2.39 a) b) e R2.9 a) b)

TPC: Exercícios para corrigir na prática: 2.38 e 2.42.

 Nota: Esta aula decorreu das 8h15 às 10h15, teve portanto a a duração de 2h, para compensar a aula teórica do próximo dia 22.10.

Variáveis aleatórias discretas: exerc. 2.28 (conclusão)

Variáveis aleatórias contínuas: exerc. 2.30 (conclusão) e 2.32

TPC: Ex. 2.27, 2.33, 2.34 e 2.38

Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Exercício 2.21. Variável aleatória discreta. Exercício 2.27. Variável aleatória contínua. Exercício 2.33 a) b).

Variáveis aleatórias discretas: exerc. 2.28 c). Variáveis aleatórias contínuas: Exerc. 2.37 e 2.32 até e) i). TPC: Exerc. 2.33.

Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Exercício 2.21. Variável aleatória discreta. Exercício 2.27. Variável aleatória contínua. Exercício 2.33 a) b).

Conclusão da resolução do exercício 2.30.

O par aleatório (X,Y): - o par discreto, formalização: a função massa de probabilidade conjunta, probabilidades marginais e  probabilidades condicionais. Resolução do exercício 2.39 a) e d).
- o par contínuo: função densidade de probabilidade conjunta. Resolução do exercício R 2.9 a).

TPC: Exercícios para corrigir na prática: 2.38 e 2.42 a) e) f).

Variáveis aleatórias discretas e contínuas.

Exerc. : 2.28; 2.27; 2.32a).

Conclusão da resolução do exercício 2.30.

O par aleatório (X,Y): - o par discreto, formalização: a massa de probabilidade conjunta, probabilidades marginais e  probabilidades condicionais. Resolução do exercício 2.39 a) e d).
- o par contínuo: função densidade de probabilidade conjunta. Resolução do exercício R 2.9 a).

TPC: Exercícios para corrigir na prática: 2.38 e 2.42 a) e) f).

Variáveis aleatórias discretas e contínuas.

Exerc. : 2.28; 2.27; 2.32a).

Variáveis aleatórias discretas: exerc. 2.28 c). Variáveis aleatórias contínuas: Exerc. 2.37 e 2.32 até e) i). TPC: Exerc. 2.33.

Introdução à teoria da probabilidade. Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Exercícios 2.14 e 2.20. Variável aleatória discreta. Exercício 2.28.

Resolução da versão A do 1º Questionário. Conclusão da revisão de Probabilidade de acontecimentos. Exercícios 2.17 e 2.18. Variáveis aleatórias discretas (conceitos de massa de probabilidade e função distribuição cumulativa, cálculo de probabilidades, valor esperado e variância e suas propriedades): exerc. 2.28 a) e b). TPC 2.28 c), 2.32 e 2.37.

Variáveis aleatórias discretas e contínuas. Cálculo da função densidade dada a função de distribuição de um v.a. contínua. Breve revisão dos parâmetros de uma variável aleatória. Propriedades da variância.
Definição de quantil no caso de uma v.a. contínua e de uma v.a. discreta. Exemplos.
Resolução do exercício 2.26
TPC: exercícios 2.30, com cálculo do valor médio e variância e (2.27 e 2.32 a resolver nas práticas).

Introdução à Teoria da Probabilidade.

Exerc. 2.14; 2.18; 2.20.

Variáveis aleatórias. Exerc. 2.28a).

Resolução da versão A do 1º Questionário. Conclusão da revisão de Probabilidade de acontecimentos. Exercícios 2.17 e 2.18. Variáveis aleatórias discretas (conceitos de massa de probabilidade e função distribuição cumulativa, cálculo de probabilidades, valor esperado e variância e suas propriedades): exerc. 2.28 a) e b). TPC 2.28 c), 2.32 e 2.37.

Revisão da v.a. discreta. Variável aleatória contínua. Definição. A função densidade e a função de distribuição cumulatica. Propriedades.
Representação gráfica da função densidade e da função de distribuição cumulativa.
Referência ao cálculo do valor médio e da variância de uma v.a. contínua. Resolução dos exercícios 2.26 e 2.30 (início)

TPC: Resolução do exercício 3 do slide 73 e calcular valor médio e variância da v.a. do exercício 2.30

Nota: Esta aula teve início às 9h, como combinado com os alunos, para compensar a aula de dia 9.10

Introdução à teoria da probabilidade. Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Exercícios 2.14 e 2.20. Variável aleatória discreta. Exercício 2.28.

Introdução à Teoria da Probabilidade.

Exerc. 2.14; 2.18; 2.20.

Variáveis aleatórias. Exerc. 2.28a).

O Teorema da probabilidade total (revisão) e o Teorema de Bayes.

Resolução dos exercícios  2.14; 2.18; 2.20.

Variáveis aleatórias. Exerc. 2.28 a) e b)

TPC: Ex. 2.27, 2.32 e umas questões do 1º Teste de 13/14

Teorema Probabilidade Total e Teorema de Bayes. Exercícios2.17, 2.18, 2.19 e 2.20

Introdução à Teoria da Probabilidade.

Exerc. 2.14; 2.18; 2.20.

Variáveis aleatórias. Exerc. 2.28a).

Teorema Probabilidade Total e Teorema de Bayes. Exercícios2.17, 2.18, 2.19 e 2.20

Breve revisão dos parâmetros de uma variável aleatória. Propriedades da variância.
Definição de quantil no caso de uma v.a. contínua e de uma v.a. discreta.
Resolução dos exercícios 2.26 e 2.30.
TPC: exercícios 2.27 e 2.32 a resolver nas práticas.

Probabilidades. Acontecimentos independentes e probabilidade condicional. Exercícios 2.11, 2.12 e 2.13

Cap. 2. Introdução à Teoria da Probabilidade.

Exerc. 2.4; 2.5; 2.10; 2.13.

Realização de um pequeno questionário.

Probabilidades. Acontecimentos independentes e probabilidade condicional. Exercícios 2.11, 2.12 e 2.13

Revisão da v.a. discreta. Variável aleatória contínua. Definição. A função densidade e a função de distribuição cumulatica. Propriedades.
Representação gráfica da função densidade e da função de distribuição cumulativa.
Referência ao cálculo do valor médio de uma v.a. contínua.
Resolução do exercício 3 do slide 73.
TPC: Exercício 2.26 e 2.30.

Introdução à teoria da probabilidade. Teorema da probabilidade total. Teorema de Bayes. Exercícios 2.11 e 2.13. Realização do 1º questionário.

Revisão dos seguintes conceitos da Teoria da Probabilidade: independência de 2 e de 3 acontecimentos. Consequências da independência de 2 acontecimentos. Relação entre independência e exclusividade mútua. Definição de partição do espaço de resultados e teorema da probabilidade total (aplicação à partição constituída por A e A^c).

Resolução dos exercícios 2.10, 213 e 2.14.  Realização do 1º Questionário.

TPC: Concluir 2.14;  2.18 e 2.20

Revisões de Probabilidade de acontecimentos: probabilidade condicional, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Exercícios 2.10 b) ii) e iii), 2.13, 2.14 e 2.20. Breve apresentação do exerc. 2.17. Resolução do primeiro Questionário. TPC: Exerc. 2.17 e 2.18.

Introdução à teoria da probabilidade. Teorema da probabilidade total. Teorema de Bayes. Exercícios 2.11 e 2.13. Realização do 1º questionário.

Revisão do conceito de variável aleatória. Variáveis aleatórias discretas. Propriedades da função distribuição cumulativa.
Parâmetros de uma variável aleatória: o valor médio - definição  e  propriedades.O valor médio de uma função de uma variável aleatória. Definição de variância e desvio padrão.

Resolução do Exercício 2 - slide 73 a), slide 79 a).

Nota: No dia 16.10 a aula teórica desta turma terá início às 8h45 para compensar a aula de dia 9.10, não leccionada.

Cap. 2. Introdução à Teoria da Probabilidade.

Exerc. 2.4; 2.5; 2.10; 2.13.

Realização de um pequeno questionário.

Revisãoda v.a. discreta. Variável aleatória contínua. Definição. A função densidade e a função de distribuição cumulatica. Propriedades.
Representação gráfica da função densidade e da função de distribuição cumulativa.
Referência ao cálculo do valor médio de uma v.a. contínua.
Resolução do exercício 3 do slide 73.
TPC: Exercício 2.26 e 2.30.

Cap. 2. Introdução à Teoria da Probabilidade.

Exerc. 2.4; 2.5; 2.10; 2.13.

Realização de um pequeno questionário.

Revisões de Probabilidade de acontecimentos: probabilidade condicional, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Exercícios 2.10 b) ii) e iii), 2.13, 2.14 e 2.20. Breve apresentação do exerc. 2.17. Resolução do primeiro Questionário. TPC: Exerc. 2.17 e 2.18.

Regressão linear simples no R. Exercícios 1.30, 1.35. Introdução à teoria da probabilidade. Exercício 2.10.

Estatística descritiva a duas dimensões: exercício 1.30. Revisões gerais de Probabilidade de acontecimentos: álgebra dos acontecimentos e leis básicas da probabilidade; independência e incompatibilidade de acontecimentos. Exerc. 2.1 (conclusão), 2.3 e 2.7 e 2.10 a). b)i). TPC:  conclusão exerc. 2.10, 2.13 e 2.14.

Variáveis aleatórias discretas. Propriedades da função distribuição cumulativa.
Parâmetros de uma variável aleatória: o valor médio - definição  e  propriedades. O valor médio de uma
função de uma variável aleatória. Definição de variância e desvio padrão. Exercício 2 - slide 73 a), slide 79 a).

Resolução do Exerc. 1.30, com apoio do software R.

Estatística descritiva a duas dimensões: exercício 1.30. Revisões gerais de Probabilidade de acontecimentos: álgebra dos acontecimentos e leis básicas da probabilidade; independência e incompatibilidade de acontecimentos. Exerc. 2.1 (conclusão), 2.3 e 2.7 e 2.10 a). b)i). TPC:  conclusão exerc. 2.10, 2.13 e 2.14.

Esta aula será leccionada no dia  16.10  às 8h45.

Regressão linear simples no R. Exercício 1.30. Introdução à teoria da probabilidade. Exercícios 2.7 e 2.10.

Resolução do Exerc. 1.30, com apoio do software R.

Resolução do Exerc. 1.30 com apoio do R.

Estatística descritiva a duas dimensões: exercício 1.30. Revisões gerais de Probabilidade de acontecimentos: álgebra dos acontecimentos e leis básicas da probabilidade; independência e incompatibilidade de acontecimentos. Exerc. 2.10, 2.13.

Resolução do Exerc. 1.30, com apoio do software R.

Resolução do Exerc. 1.30, com apoio do R.

Obs.: Aula dada em conjunto com a Turma 9.

Variáveis aleatórias discretas. Propriedades da função distribuição cumulativa.
Parâmetros de uma variável aleatória: o valor médio - definição  e  propriedades. O valor médio de uma
função de uma variável aleatória. Definição de variância e desvio padrão. Exercício 2 - slide 73 a), slide 79 a).

Conclusão da regressão linear.

Probabilidades. Exercícios 2.1, 2.3 e 2.10 

Regressão linear: Exerc. 1.31.

Conclusão da regressão linear.

Probabilidades. Exercícios 2.1, 2.3 e 2.10 

Capítulo II. Introdução à teoria da probabilidade. Breve referência à definição de probabilidade e de probabilidade condicional.
Variáveis aleatórias: definição, estudo de um exemplo.
A função de distribuição cumulativa: definição e construção para o exemplo estudado.
Tipos de variáveis aleatórias. Variáveis aleatórias discretas. Definição e propriedades da função massa de probabilidade.
Representação gráfica da função massa de probabilidade e da função de distribuição cumulativa para o exemplo em estudo.
TPC: Resolução do exercício 2 do slide 73.

Estatística descritiva a duas dimensões. Exercício 1.31. Introdução à teoria da probabilidade. Exercícios 2.1, 2.3 e 2.7.

Resolução do exercício 1.31. Correcção de exercícios.
Exercícios sobre o capítulo II- Introdução à teoria da probabilidade. Revisão de conceitos [ver slides 48 a 63]: axiomas e leis básicas da probabilidade. A noção de probabilidade condicional. Exerc. 2.1, 2.3 e 2.7.
TPC:Ex. 2.10 e 2.13

Estatística descritiva a uma e a duas dimensões: 1.31, R1.3 e R.1.11. Breve revisão dos conceitos de Probabilidade de acontecimentos. Início do exerc 2.1. TPC: exerc. 2.1 e 2.3, rever as bases da teoria da probabilidade [slides 48 a 63].

Estatística descritiva a duas dimensões. Exercícios 1.31, 1.35. Introdução à teoria da probabilidade. Exercícios 2.1, 2.3. TPC exercício R1.10.

Breve referência à definição de probabilidade e de probabilidade condicional.
Variáveis aleatórias: definição, estudo de um exemplo.
A função de distribuição cumulativa: definição e construção para o exemplo estudado.
Tipos de variáveis aleatórias. Variáveis aleatórias discretas. Definição e propriedades da função massa de probabilidade.
Representação gráfica da função massa de probabilidade e da função de distribuição cumulativa para o exemplo em estudo.
TPC: Resolução do exercício 2 do slide 73.

Regressão linear: Exerc. 1.31.

Breve referência à definição de probabilidade e de probabilidade condicional.
Variáveis aleatórias: definição, estudo de um exemplo.
A função de distribuição cumulativa: definição e construção para o exemplo estudado.
Tipos de variáveis aleatórias. Variáveis aleatórias discretas. Definição e propriedades da função massa de probabilidade.
Representação gráfica da função massa de probabilidade e da função de distribuição cumulativa para o exemplo em estudo.
TPC: Resolução do exercício 2 do slide 73.

Regressão linear: Exerc. 1.31. 

Estatística descritiva a uma e a duas dimensões: 1.31, R1.3 e R.1.11. Breve revisão dos conceitos de Probabilidade de acontecimentos. Início do exerc 2.1. TPC: exerc. 2.1 e 2.3, rever as bases da teoria da probabilidade [slides 48 a 63].

Propriedades da média, variância, desvio padrão, covariância e coeficiente de correlação. Estatística descritiva a duas dimensões. Exerc 1.24.

Estatística descritiva a uma e a duas dimensões. Introdução ao software R. Exerc. 1.12, 1.19 com recurso ao R, 1.23  e  1.24. TPC: 1.30  e 1.31.

Resolução dos exercícios  1.33 (conclusão )e 1.34
Comentários finais ao capítulo 1.

Capítulo II- Introdução à Teoria da Probabilidade. Noção de fenómeno aleatório, experiência aleatória, espaço de resultados, acontecimento. Operações com acontecimentos e breve referência à noção de probabilidade.

Nota: Os assuntos apresentados nos slides 48 a 63, sendo revisões, são apenas tratados nas aulas práticas.

TPC: 2.1, 2.2 e 2.3

Diagrama de extremos e quartis e da caixa de bigodes. Ex. 1.22.

Estatística descritiva a duas dimensões: ; regressão linear.

Software R: funções: boxplot; plot.

Exerc. 1.24.

Estatística descritiva a uma e a duas dimensões. Introdução ao software R. Exerc. 1.12, 1.19 com recurso ao R, 1.23  e  1.24. TPC: 1.30  e 1.31.

Resolução dos exercícios  1.33 (conclusão )e 1.34
Comentários finais ao capítulo 1.

Capítulo II- Introdução à Teoria da Probabilidade. Noção de fenómeno aleatório, experiência aleatória, espaço de resultados, acontecimento. Operações com acontecimentos e breve referência à noção de probabilidade.

Nota: Os assuntos apresentados nos slides 48 a 63, sendo revisões, são apenas tratados nas aulas práticas.

TPC: 2.1, 2.2 e 2.3

Propriedades da média, variância, desvio padrão, covariância e coeficiente de correlação. Estatística descritiva a duas dimensões. Exerc 1.24.

Diagrama de extremos e quartis e da caixa de bigodes. Ex. 1.22.

Estatística descritiva a duas dimensões: ; regressão linear.

Software R: funções: boxplot; plot.

Exerc. 1.24.

Contrução do diagrama de extremos e quartis e da caixa de bigodes. A função boxplot no R.
Aplicação ao exercício 1.19.
Estatística descritiva a duas dimensões: coeficiente de correlação, equação da recta de
regressão dos mínimos quadrados. Precisão da recta. Cálculo de indicadores e dos coeficientes
da recta quando os dados sofrem uma transformação afim.
Exerc. 1.24
TPC: 1.30, 1.31 e 1.22

Continuação da aula anterior. Regressão linear. Exercicios 1.24 e 1.31

Diagrama de extremos e quartis e da caixa de bigodes. Ex. 1.22.

Estatística descritiva a duas dimensões:  regressão linear.

Software R: funções: boxplot; plot.

Exerc. 1.24.

Continuação da aula anterior. Regressão linear. Exercicios 1.24 e 1.31

Resolução dos exercícios  1.33 e 1.34
Comentários finais ao capítulo 1.

Regresentação gráfica de distribuições empíricas. Histograma e boxplot. Definição de outliers, barreiras inferior e superior. Exerc. 1.15 e 1.21

Revisões de Estatística Descritiva a uma dimensão: cálculo de valores aproximados de alguns indicadores quando os dados são apresentados em classes.

Exercícios: 1.12; 1.21.

Estatística Descritiva a duas dimensões.

Exercícios: 1.24 (início)

Regresentação gráfica de distribuições empíricas. Histograma e boxplot. Definição de outliers, barreiras inferior e superior. Exerc. 1.15 e 1.21

A regressão linear simples.
O método dos mínimos quadrados e a determinação dos coeficientes da recta.
O coeficiente de regressão, interpretação.
Estudo da "qualidade" da recta de regressão. O coeficiente de determinação, dedução e interpretação.
Resolução do exemplo apresentado no slide 36 usando o R.

Inicío de resolução do exercício 1.33
TPC: Ex. 1.33 e 1.34

 Nota: Esta aula decorreu das 8h15 às 10h15, para compensar a aula de dia 22.09

Estatística descritiva a uma dimensão: Cálculo de indicadores. Boxplot. Outliers. Exercício 1.19. Cálculo de indicadores para dados agrupados em classes - Exercício 1.21.

Estatística descritiva a uma dimensão: Exercícios 1.11, 1.17 (dedução da fórmula operacional da variância) , 1.19, 1.22a)b)c). Indicadores adequados para variáveis quantitativas e qualitativas. Interpretação de boxplots. TPC: 1.23, 1.24.

Estatística descritiva a uma dimensão: revisão das medidas de dispersão. O coeficiente de variação.  Cálculo de indicadores (média, quantis, variância) para dados agrupados.
Exercícios 1.11, 1.12 (histogramas para classes de amplitudes diferentes), 1.19.
TPC: 1.17, 1.24 e 1.29

Estudo da "qualidade" da recta de regressão. O coeficiente de determinação, dedução e interpretação.
Considerações finais sobre os conceitos "correlação" e "regressão". 
Resolução do exercício 1.33 a) e b). 

Estatística descritiva a uma dimensão: Cálculo de indicadores. Boxplot. Outliers. Exercício 1.19. Cálculo de indicadores para dados agrupados em classes - Exercício 1.21. Exercício 1.18a) b). TPC acabar exercício 1.18.

Revisões de Estatística Descritiva a uma dimensão: cálculo de valores aproximados de alguns indicadores quando os dados são apresentados em classes.

Exercícios: 1.12; 1.21.

Estatística Descritiva a duas dimensões.

Exercícios: 1.24 (início)

Estudo da "qualidade" da recta de regressão. O coeficiente de determinação, dedução e interpretação.
Considerações finais sobre os conceitos "correlação" e "regressão". 
Resolução do exercício 1.33 a) e b). 

Revisões de Estatística Descritiva a uma dimensão: cálculo de valores aproximados de alguns indicadores quando os dados são apresentados em classes.

Exercícios: 1.12; 1.21.

Estatística Descritiva a duas dimensões.

Exercícios: 1.24 (início)

Estatística descritiva a uma dimensão: Exercícios 1.11, 1.17 (dedução da fórmula operacional da variância) , 1.19, 1.22a)b)c). Indicadores adequados para variáveis quantitativas e qualitativas. Interpretação de boxplots. TPC: 1.23, 1.24.

Introdução ao software R. Resolução do exercício 1.8c). Cálculo de indicadores.

Introdução ao software R: objetos, funções, operações com vectores, leitura de ficheiros. Funções table, plot, barplot, boxplot, hist. Objecto data.frame. Resolução dos exercícios 1.8a) e b) (para dados exactos e agrupados). TPC: 1.11, 1.12 e 1.19.

A regressão linear simples.
O método dos mínimos quadrados e a determinação dos coeficientes da recta.
O coeficiente de regressão, interpretação.
Resolução do exemplo apresentado no slide 36 usando o R.
TPC: Ex. 1.33 e 1.34

Introdução ao software R : Funções: summary, min, max, sort, median; round, seq, ls, attach, detach. Histograma: função hist.

Ficheiro script. Leitura de dados - função: read.table.

Exercícios: 1.2; 1.8c); 1.13 (início).

Introdução ao software R: objetos, funções, operações com vectores, leitura de ficheiros. Funções table, plot, barplot, boxplot, hist. Objecto data.frame. Resolução dos exercícios 1.8a) e b) (para dados exactos e agrupados). TPC: 1.11, 1.12 e 1.19.

A regressão linear simples.
O método dos mínimos quadrados e a determinação dos coeficientes da recta.
O coeficiente de regressão, interpretação.
Breve referência à medida da qualidade da recta.
Resolução do exemplo apresentado no slide 36 usando o R.
TPC: Ex. 1.33 e 1.34

Introdução ao software R. Resolução do exercício 1.8c). Cálculo de indicadores.

Introdução ao software R : Funções: summary, min, max, sort, median; round, seq, ls, attach, detach. Histograma: função hist.

Ficheiro script. Leitura de dados - função: read.table.

Exercícios: 1.2; 1.8c); 1.13 (início).

Estatística descritiva no R. Leitura de dados. Construção de tabelas de frequências. Funções read.table, sum, cumsum, summary, mean, quantile, median, min, max, var e sd. Funções gráficas plot e hist. Exercício 1.8 a), b) e c) (para cálculo de indicadores de localização e dispersão)

Estatística descritiva no R. Leitura de dados. Construção de tabelas de frequências. Funções read.table, sum, cumsum, summary, mean, quantile, median, min, max, var e sd. Funções gráficas plot e hist. Exercício 1.8 a) e b)

Estatística descritiva no R. Leitura de dados. Construção de tabelas de frequências. Funções read.table, sum, cumsum, summary, mean, quantile, median, min, max, var e sd. Funções gráficas plot e hist. Exercício 1.8 a) e b)

Introdução ao software R : Funções: summary, min, max, sort, median; round, seq, ls, attach, detach. Histograma: função hist.

Ficheiro script. Leitura de dados - função: read.table.

Exercícios: 1.2; 1.8c); 1.13 (início).

A covariância: estudo das propriedades. Revisão da propriedade da média e variância relativa a uma  transformação afim dos dados.
O coeficiente de correlação (de Pearson). Propriedades. Interpretação. Exemplos com exercício slide 36.

Tabelas de frequências. Construção de classes. Regra de Sturges. Medidas de localização e dispersão para dados agrupados. Exercícios 1.8 b), 1.10 e 1.12.

Tabelas de frequências. Construção de classes. Regra de Sturges. Medidas de localização e dispersão para dados agrupados. Exercícios 1.8 b), 1.10 e 1.12.

Revisões de Estatística Descritiva a uma dimensão: Tabelas de frequência para dados de natureza discreta - a) com um pequeno número de valores distintos, b) com um grande número de valores distintos (agrupamento em classes-Regra de Sturges). Exerc. 1.7; 1.8a), b); 1.10; 1.11; 1.19a),b).

TPC: acabar 1.19; 1.12; 1.21.

Esta aula será leccionada no dia 29.09 às 8h15.

Estatística descritiva a uma dimensão. Dados agrupados em classes de amplitude constante. Eercício 1.8b) cont. Indicadores de localização - Exerc 1.11. Dados agrupados em classes de amplitude variável. Cálculo de indicadores de localização para dados agrupados em classes. Exerc 1.12.

Estatística descritiva a uma dimensão. Dados agrupados em classes com a mesma amplitude.  Indicadores de localização (média, mediana, quantis e moda) e de dispersão (variância). Estudo das propriedades e dedução das fórmulas da variância. Aplicação aos exercícios 1.8a) e 1.8b).

TPC: Exerc. 1.8c), 1.11, 1.19

Estatística descritiva a uma dimensão [slides 15-30]: representação gráfica de dados (gráfico de barras e histograma), cálculo (manual) de indicadores de localização e de dispersão para dados exactos (média, moda, mediana e quantis; amplitude total e interquartil, variância e desvio padrão), utilizando os dados do Exerc. 1.8a). Propriedades da média. Esboço de caixa de bigodes. Cálculo (manual) de indicadores de localização (média, moda, mediana e quantis) para dados agrupados com os dados do exerc. 1.8b). TPC: dedução da fórmula operacional da variância, cálculo dos indicadores para os dados exactos do exerc. 1.8b) com recurso ao software R. Cálculo manual dos Q2 e Q3 para os dados agrupados do exerc 1.8b).

Estatística descritiva a uma dimensão. Dados agrupados em classes de amplitude constante. Eercício 1.8b) cont. Indicadores de localização - Exerc 1.10. Dados agrupados em classes de amplitude variável. Cálculo de indicadores de localização para dados agrupados em classes. Exerc 1.12.

A covariância: estudo das propriedades. Revisão da propriedade da média e variância relativa a uma  transformação afim dos dados.
O coeficiente de correlação (de Pearson). Propriedades. Interpretação. Exercício.
A regressão linear simples. Os coeficientes da recta de regressão.

TPC: para o exercício do slide 36 calcular o coeficiente de correlação e os coeficientes da recta de regressão.

Revisões de Estatística Descritiva a uma dimensão: Tabelas de frequência para dados de natureza discreta - a) com um pequeno número de valores distintos, b) com um grande número de valores distintos (agrupamento em classes-Regra de Sturges). Exerc. 1.7; 1.8a), b); 1.10; 1.11; 1.19a),b).

TPC: acabar 1.19; 1.12; 1.21.

A covariância: estudo das propriedades. Revisão da propriedade da média e variância relativa a uma  transformação afim dos dados.
O coeficiente de correlação (de Pearson). Propriedades. Interpretação. Exercício.
A regressão linear simples. Os coeficientes da recta de regressão.

TPC: para o exercício do slide 36 calcular o coeficiente de correlação e os coeficientes da recta de regressão.

Revisões de Estatística Descritiva a uma dimensão: Tabelas de frequência para dados de natureza discreta - a) com um pequeno número de valores distintos, b) com um grande número de valores distintos (agrupamento em classes-Regra de Sturges). Exerc. 1.7; 1.8a), b); 1.10; 1.11; 1.19a),b).

TPC: acabar 1.19; 1.12; 1.21.

Estatística descritiva a uma dimensão [slides 15-30]: representação gráfica de dados (gráfico de barras e histograma), cálculo (manual) de indicadores de localização e de dispersão para dados exactos (média, moda, mediana e quantis; amplitude total e interquartil, variância e desvio padrão), utilizando os dados do Exerc. 1.8a). Propriedades da média. Esboço de caixa de bigodes. Cálculo (manual) de indicadores de localização (média, moda, mediana e quantis) para dados agrupados com os dados do exerc. 1.8b). TPC: dedução da fórmula operacional da variância, cálculo dos indicadores para os dados exactos do exerc. 1.8b) com recurso ao software R. Cálculo manual dos Q2 e Q3 para os dados agrupados do exerc 1.8b).

Introdução ao software R. Objectos de tipo vector, matrix e data.frame.

Introdução ao software R (abertura da sessão, descarga de ficheiros de dados, objectos, principais funções, vantagens da utilização do script). Criação de vectores, importação de dados, cálculo de tabelas de frequências e de alguns indicadores de localização e dispersão com recurso ao software. Exerc. 1.1 e 1.8a). TPC Exerc. 1.8b) e c).

Estatística Descritiva a duas dimensões: tabela de contingência e diagrama de dispersão.
Médias e variâncias marginais. As fórmulas de cálculo da variância. Cálculo destes indicadores para o exemplo do slide 36.
A covariância: definição, interpretação e propriedades.
Inicio da resolução do exemplo do slide 36.

TPC:Deduzir as fórmulas de cálculo da variância e covariância.
Calcular todas as medidas dadas para o exemplo da aula, e resolver 1.25 a),b)

Introdução ao software R: objectos, funções, operações com vectores.Funções para o cálculo de indicadores de localização (média, mediana, quartis) e de dispersão (amplitude total, amplitude inter-quartil, variância e desvio padrão).

Exerc. 1.1.

Introdução ao software R (abertura da sessão, descarga de ficheiros de dados, objectos, principais funções, vantagens da utilização do script). Criação de vectores, importação de dados, cálculo de tabelas de frequências e de alguns indicadores de localização e dispersão com recurso ao software. Exerc. 1.1 e 1.8a). TPC Exerc. 1.8b) e c).

Estatística Descritiva a duas dimensões: tabelas de contingência e diagrama de dispersão.
Médias e variâncias marginais. As fórmulas de cálculo da variância. Cálculo destes indicadores para o exemplo do slide 36.
A covariância: definição, interpretação e propriedades.
Inicio da resolução do exemplo do slide 36.

TPC:Deduzir as fórmulas de cálculo da variância e covariância.
Calcular todas as medidas dadas para o exemplo da aula, e resolver 1.25 a),b)

Introdução ao software R. Objectos de tipo vector, matrix e data.frame.

Introdução ao software R: objectos, funções, operações com vectores.Funções para o cálculo de indicadores de localização (média, mediana, quartis) e de dispersão (amplitude total, amplitude inter-quartil, variância e desvio padrão).

Exerc. 1.1.

Correcção do trabalho de casa. Introdução ao software R: iniciar sessão, ambiente de trabalho, objectos, funções, operações com vectores, leitura de ficheiros. Cálculo e interpretação de indicadores (média e variância - fórmulas de cálculo da variância). Resolução dos exercícios 1.1 e 1.8a).

TPC: Terminar a resolução  do exercício 1.8a) no R. Calcular a média e a variância.Resolver Ex. 1.11 e 1.19

Introdução ao R. Fundamentos da linguagem. Funções para calculo da média, quantis, variância e desvio-padrão. Exercício 1.1

Introdução ao software R: objectos, funções, operações com vectores.Funções para o cálculo de indicadores de localização (média, mediana, quartis) e de dispersão (amplitude total, amplitude inter-quartil, variância e desvio padrão).

Exerc. 1.1.

Introdução ao R. Fundamentos da linguagem. Funções para calculo da média, quantis, variância e desvio-padrão. Exercício 1.1

Estatística Descritiva a duas dimensões: tabelas de contingência e diagrama de dispersão.
Médias e variâncias marginais. As fórmulas de cálculo da variância. Cálculo destes indicadores para o exemplo do slide 36.
A covariância: definição, interpretação e propriedades.
Inicio da resolução do exemplo do slide 36.

TPC:Deduzir as fórmulas de cálculo da variância e covariância.
Calcular todas as medidas dadas para o exemplo da aula, e resolver 1.25 a),b)

Tipos de dados. Tabelas de frequências para dados de natureza discreta com um pequeno número de valores distintos. Propriedades de somatórios (revisão).

Exercicios 1.7, 1.8a), 1.9 e 1.10

Tipos de dados. Tabelas de frequências para dados de natureza discreta com um pequeno número de valores distintos. Propriedades de somatórios (revisão).

Exercicios 1.7, 1.8a), 1.9 e 1.10

Considerações gerais sobre o funcionamento das aulas práticas.

Revisão de somatórios. Exerc. 1.9.

Revisões de Estatística Descritiva a uma dimensão: Variável e sua natureza.

Apresentação. Objectivos,  programa e normas de avaliação da Unidade Curricular.
Estatística Descritiva a uma dimensão. 
Os conceitos de população, unidade estatística, amostra,
variável. Dados de natureza qualitativa e quantitativa - discreta e contínua.  
Informações aos alunos: -- os assuntos tratados na Estatística descritiva a uma dimensão
serão objecto de revisão efectuada apenas nas aulas práticas.
Estatística Descritiva a duas dimensões: objectivos, análise de um exemplo.
TPC:. 1.7, 1.8 a) b), 1.9, 1.10, 1.1

Revisões de estatística descritiva a uma dimensão:
população, unidades estatística, amostra, dados, tipos de dados.
Tabelas de frequência (absoluta,relativa e absoluta e relativa acumuladas)
para dados de natureza discreta (com poucos valores distintos). 
Interpretação.
Discussão do exercício 1 dos slides. Fórmula da média.
Exerc. 1.7, 1.9 e 1.8 a)início. TPC: 1.8 a) 1.10

Estatística descritiva a uma dimensão. Tabela de frequência e representação gráfica: Exercícios: 1.7, 1.8a). Revisão de somatórios: exercício 1.9. Cálculo de indicadores: exercício 1.10.

Estatística descritiva a uma dimensão [slides 11 a 14]: natureza dos dados, tabela de frequências (revisão). Propriedades dos somatórios (revisão). Cálculo de alguns indicadores (média). Exerc. 1.7, 1.8 a), 1.9, 1.10. TPC: Exerc.1.19.

Apresentação. Objectivos,  programa e normas de avaliação da Unidade Curricular.
Estatística Descritiva a uma dimensão. 
Os conceitos de população, unidade estatística, amostra,
variável. Dados de natureza qualitativa e quantitativa - discreta e contínua.  
Informações aos alunos: -- os assuntos tratados na Estatística descritiva a uma dimensão
serão objecto de revisão efectuada apenas nas aulas práticas.
Estatística Descritiva a duas dimensões: objectivos, análise de um exemplo.
TPC:. 1.7, 1.8 a) b), 1.9, 1.10, 1.1

Estatística descritiva a uma dimensão. Tabela de frequência e representação gráfica: Exercícios: 1.7, 1.8a). Revisão de somatórios: exercício 1.9.

Considerações gerais sobre o funcionamento das aulas práticas.

Revisão de somatórios. Exerc. 1.9.

Revisões de Estatística Descritiva a uma dimensão: Variável e sua natureza.

Apresentação. Objectivos,  programa e normas de avaliação da Unidade Curricular.
Estatística Descritiva a uma dimensão. 
Os conceitos de população, unidade estatística, amostra,
variável. Dados de natureza qualitativa e quantitativa - discreta e contínua.  
Informações aos alunos: -- os assuntos tratados na Estatística descritiva a uma dimensão
serão objecto de revisão efectuada apenas nas aulas práticas.
Estatística Descritiva a duas dimensões: objectivos, análise de um exemplo.
TPC:. 1.7, 1.8 a) b), 1.9, 1.10, 1.1

Considerações gerais sobre o funcionamento das aulas práticas.

Revisão de somatórios. Exerc. 1.9.

Revisões de Estatística Descritiva a uma dimensão: Variável e sua natureza.

Estatística descritiva a uma dimensão [slides 11 a 14]: natureza dos dados, tabela de frequências (revisão). Propriedades dos somatórios (revisão). Cálculo de alguns indicadores (média). Exerc. 1.7, 1.8 a), 1.9, 1.10. TPC: Exerc.1.19.