[Aula dada em conjunto para as Turmas 4, 5, 8 e 10]

Resolução de exercícios de Inferência Estatística: 3.23, 3.25, 3.26, 3.27 e 3.28.

Introdução à Inferência Estatística: Intervalos de confiança e testes de hipóteses para a diferença de 2 médias (amostras independentes/emparelhadas) e para a razão de duas variâncias. Análise de outputs do R (funções shapiro.test, t.test e var.test). Resolução dos exs. 3.34 b) e 3.38 c).

Realização do 2º. Questionário.

Atenção: no dia 3 de Janeiro, quarta-feira, às 16h, será realizada uma aula extraordinária para a resolução de mais alguns exercícios de Inferência Estatística. Os alunos que quiserem comparecer devem dirigir-se à sala P10.

Cap. 3 - Introdução à Inferência Estatística.

Ex.: 3.24; 3.29; 3.35.

Realização do 2º Questionário.

Introdução à Inferência Estatística: Intervalos de confiança e testes de hipóteses para a diferença de 2 médias (amostras independentes/emparelhadas) e para a razão de duas variâncias. Análise de outputs do R (funções shapiro.test, t.test e var.test). Resolução dos exs. 3.34 b) e 3.38 c).

Realização do 2º. Questionário.

Atenção: no dia 3 de Janeiro, quarta-feira, às 16h, será realizada uma aula extraordinária para a resolução de mais alguns exercícios de Inferência Estatística. Os alunos que quiserem comparecer devem dirigir-se à sala P10.

Revisão de alguns conceitos importantes em Inferência Estatística.
Resolução de exercícios, com interpretação de outputs do software R: exercícios 3.22 e 3.32

Cap. 3 - Introdução à Inferência Estatística.

Ex.: 3.24; 3.29; 3.35.

Realização do 2º Questionário.

Resolução de exercícios de Introdução à Inferência Estatística: ex: 3.32, 3.18 e 3.22 (início)

Realização do 2º Questionário.

Intervalos e confiança e testes de hipóteses: cálculo manual e interpretação de outputs. Exerc. 3.21, 3.37, breve apresentação do exerc. 3.27 e sua resolução. Realização do 2º Questionário.

Cap. 3 - Introdução à Inferência Estatística.

Ex.: 3.38c); 3.24; 3.35.

Realização do 2º Questionário.

Revisão de alguns conceitos importantes em Inferência Estatística.
Resolução de exercícios, com interpretação de outputs do software R: exercícios 3.32 e 3.33

Introdução à Inferência Estatística: Intervalos de confiança e testes de hipóteses para uma proporção e para a diferença de 2 médias (amostras emparelhadas). Análise de outputs do R (funções shapiro.test e t.test). Resolução dos exs. 3.24 e 3.34.

Realização do 2º. Questionário.

Atenção: no dia 3 de Janeiro, quarta-feira, às 16h, será realizada uma aula extraordinária para a resolução de mais alguns exercícios de Inferência Estatística. Os alunos que quiserem comparecer devem dirigir-se à sala P10.

Revisão de alguns conceitos importantes em Inferência Estatística.
Resolução de exercícios, com interpretação de outputs do software R: exercícios 3.32 e 3.33

[Nota - Esta aula foi antecipada em 0.5h para compensar os feriados de Dezembro]

Introdução à Inferência Estatística: Intervalos de confiança e testes de hipóteses para a diferença de 2 médias (amostras independentes/emparelhadas) e para a razão de duas variâncias. Análise de outputs do R (funções shapiro.test, t.test e var.test). Resolução dos exs. 3.38 e 3.34.

Realização do 2º. Questionário.

Atenção: no dia 3 de Janeiro, quarta-feira, às 16h, será realizada uma aula extraordinária para a resolução de mais alguns exercícios de Inferência Estatística. Os alunos que quiserem comparecer devem dirigir-se à sala P10.

Intervalos e confiança e testes de hipóteses: cálculo manual e interpretação de outputs. Exerc. 3.21, 3.37, breve apresentação do exerc. 3.27 e sua resolução. Realização do 2º Questionário.

Cap. 3 - Introdução à Inferência Estatística.

Ex.: 3.38.

Resolução de exercícios de introdução à Inferência Estatística:3.15, 3.13, 3.18.

Intervalos e confiança e testes de hipóteses: cálculo manual e interpretação e outputs. Exerc. 3.15, 3.18, 3.24, 3.25,3.28, 3.29, 3.34 (aula estendida por mais 1h30).

Intervalos de confiança para o valor médio, para a variância, para uma proporção e para a diferença de 2 valores médios (amostras independentes): condições e estimador usado na construção.
Introdução aos Testes de Hipóteses. Sua interpretação. A hipótese nula e a hipótese alternativa. O nível de significância de um teste e a confiança no IC.
Testes de hipóteses bilaterais e unilaterais.
Passos a seguir na construção de um teste de hipóteses. Resolução de um exercício com  um teste a uma proporção.
O conceito de p-value. Sua interpretação e utilização num teste de hipóteses.
O teste de normalidade de Shapiro-Wilk. Formalização do teste e interpretação.
TPC: Exercícios 3.33 e 3.38

Introdução à Inferência Estatística: Intervalos de confiança para a variância e para a média; Testes de hipóteses bilateral e unilateral para a média. Teste t no R e interpretação do p-value. Resolução dos exs. 3.15 c), 3.17 e 3.19 (resolvido com máquina de calcular e no R).

TPC: Resolver exs. 3.23, 3.24 e 3.38 a)b).

Intervalos e confiança e testes de hipóteses: cálculo manual e interpretação e outputs. Exerc. 3.15, 3.18, 3.24, 3.25,3.28, 3.29, 3.34 (aula estendida por mais 1h30).

Intervalos de confiança para o valor médio, para a variância, para uma proporção e para a diferença de 2 valores médios (amostras independentes): condições e estimador usado na construção.
Introdução aos Testes de Hipóteses. Sua interpretação. A hipótese nula e a hipótese alternativa. O nível de significância de um teste e a confiança no IC.
Testes de hipóteses bilaterais e unilaterais.
Passos a seguir na construção de um teste de hipóteses. Resolução de um exercício com  um teste a uma proporção.
O conceito de p-value. Sua interpretação e utilização num teste de hipóteses.
O teste de normalidade de Shapiro-Wilk. Formalização do teste e interpretação.
TPC: Exercícios 3.33 e 3.38

Cap. 3 - Introdução à Inferência Estatística.

Ex.: 3.38a)b).

 [Nota - Esta aula foi antecipada em 0.5h para compensar os feriados de Dezembro]

Introdução à Inferência Estatística: Intervalos de confiança para a variância e para a média; Testes de hipóteses bilateral e unilateral para a média. Teste t no R e interpretação do p-value. Resolução do ex. 3.15 a) b) (resolvido utilizando intervalo de confiança e teste de hipóteses) c), 3.17, 3.19 (resolvido com máquina de calcular e no R).

TPC: Resolver exs. 3.23 e 3.24 e 3.38 a)b).

Cap. 3 - Introdução à Inferência Estatística.

Ex.: 3.38.

Intervalos de confiança para o valor médio, para a variância, para uma proporção e para a diferença de 2 valores médios (amostras independentes): condições e estimador usado na construção.
Introdução aos Testes de Hipóteses. Sua interpretação. A hipótese nula e a hipótese alternativa. O nível de significância de um teste e a confiança no IC.
Testes de hipóteses bilaterais e unilaterais.
Passos a seguir na construção de um teste de hipóteses. Resolução de um exercício com  um teste a uma proporção.
O conceito de p-value. Sua interpretação e utilização num teste de hipóteses.
O teste de normalidade de Shapiro-Wilk. Formalização do teste e interpretação.
TPC: Exercícios 3.33 e 3.38

Cap. 3 - Introdução à Inferência Estatística.

Ex.: 3.13b)c); 3.15.

TPC: 3.21a),b-i).

Mais algumas distribuições de amostragem: a distribuição qui-quadrado e a distribuição t-Student. Sua definição, propriedades e a sua utilização na distribuição de variáveis envolvendos os estimadores da variância e do  valor médio.
Definição de variáveis com aquelas distribuições e sua aplicação na inferência.
Intervalo de confiança para a variância populacional  no caso de uma população normal e  Intervalo de confiança para a média populacional no caso de uma população normal com variância desconhecida
Resolução do exemplo do slide 165 com recurso a intervalos de confiança e a testes de hipóteses, para ilustrar também a leitura da tabela t-Student.

TPC: resolver exercício 3.33

Cap. 3 - Introdução à Inferência Estatística.

Ex.: 3.13; 3.15.

TPC: 3.21a),b-i).

Introdução à inferência estatística: conceitos de parâmetro, estimador e estimativa; intervalos de confiança. Exerc. 3.1, 3.2, 3.4 e 3.13. TPC: exerc. 3.3, 3.5, 3.9, 3.14, 3.15 e 3.18.

 [Nota - Esta aula foi prolongada em 15min para compensar os feriados de Dezembro]

Introdução à Inferência Estatística:  Intervalos de confiança e  Testes de hipóteses.
Intervalos de confiança a (1-alpha)*100% para um parâmetro desconhecido; definição.
Etapas necessárias à construção de intervalos de confiança. Construção de um
intervalo de confiança para o valor médio numa população normal com variância conhecida.
Interpretação do intervalo de confiança, com apoio do R
Resolução do exercício do slide 142.

Testes de hipóteses: iniciação dos principais conceitos, exemplificando a resolução do exemplo do slide 142 c). A hipótese nula, Ho,  e a hipótese alternativa, H1,  num teste bilateral. A Estatística de Teste e sua distribuição sob Ho. Definição da Região Crítica;  a Decisão face ao valor calculado da estatística de teste.

Mais algumas distribuições de amostragem: a distribuição qui-quadrado e a distribuição t-Student. Definição.

Cap. 3 - Introdução à Inferência Estatística.

Ex.: 3.13; 3.15.

TPC: 3.21a),b-i).

Introdução à Inferência Estatística:  Intervalos de confiança e  Testes de hipóteses.
Intervalos de confiança a (1-alpha)*100% para um parâmetro desconhecido; definição.
Etapas necessárias à construção de intervalos de confiança. Construção de um
intervalo de confiança para o valor médio numa população normal com variância conhecida.
Interpretação do intervalo de confiança, com apoio do R
Resolução do exercício do slide 142.

Testes de hipóteses: iniciação dos principais conceitos, exemplificando a resolução do exemplo do slide 142 c). A hipótese nula, Ho,  e a hipótese alternativa, H1,  num teste bilateral. A Estatística de Teste e sua distribuição sob Ho. Definição da Região Crítica;  a Decisão face ao valor calculado da estatística de teste.

Mais algumas distribuições de amostragem: a distribuição qui-quadrado e a distribuição t-Student. Definição.

 [Nota - Esta aula foi antecipada em 0.5h para compensar os feriados de Dezembro]

Introdução à inferência estatística: conceitos de parâmetro, estimador e estimativa; intervalos de confiança. Exerc. 3.1, 3.2, 3.4 e 3.13. TPC: exerc. 3.3, 3.5, 3.9, 3.14, 3.15 e 3.18.

Introdução à Inferência Estatística: amostra aleatória e amostra observada; diferença entre parâmetro, estimador e estimativa. Resolução dos exercícios: 3.2 e 3.4.

TPC: resolver exs. 3.13 e 3.14.

Cap. 3 - Introdução à Inferência Estatística.

Ex.: 3.2; 3.4; 3.5; 3.13 a).

TPC: 3.6; 3.7.

Introdução à Inferência Estatística: principais conceitos e intervalo de confiança para a média. Resolução dos exercícios: 3.2, 3.4 e 3.13.

TPC: resolver ex. 3.14.

Introdução à Inferência Estatística:  Intervalos de confiança e  Testes de hipóteses.
Estimação pontual e estimação intervalar. Intervalos de confiança, definição.
Etapas necessárias à construção de intervalos de confiança. Construção de um
intervalo de confiança para o valor médio numa população normal com variância conhecida.
Interpretação do intervalo de confiança, com apoio do R
Resolução do exercício do slide 142.

Testes de hipóteses: iniciação dos principais conceitos, exemplificando a resolução do exemplo do slide 142 c). A hipótese nula, Ho,  e a hipótese alternativa, H1,  num teste bilateral. A Estatística de Teste e sua distribuição sob Ho. Definição da Região Crítica;  a Decisão face ao valor calculado da estatística de teste.

Principais distribições contínuas: continuação do estudo da normal, distribuição exponencial. Aproximação da distribuição Poisson pela Normal. O Teorema do Limite Central. A falta de memória da distribuição exponencial. Resolução dos exercícios 2.74 c), 2.77, 2.83, R2.28.

TPC: resolver exs. 2.79, 2.80, 2.87, 2.88, R2.29, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4.

Principais distribições contínuas: distribuição exponencial. A falta de memória da distribuição exponencial. Resolução dos exercícios 2.83, R2.28, 2.75 b).

Introdução à Inferência Estatística: amostra aleatória e amostra observada; diferença entre parâmetro, estimador e estimativa.

TPC: resolver exs. 2.79, 2.80, 2.87, 2.88, R2.29, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4.

Cap. 2 - Introdução à Teoria da Probabilidade.

Ex.: 2.84; 2.89.

Cap. 3 - Introdução à Inferência Estatística.

Ex.: 3.2 (início).

Revisão do conceito de amostra aleatória. A amostra observada.
Estimador e estimativa; definição; propriedades dos estimadores: Estimador centrado e estimador centrado de variância mínima.   
Estimação pontual e estimação intervalar. Intervalos de confiança, definição.
Interpretação do intervalo de confiança.
Início de resolução do exercício do slide 142.

Cap. 2 - Introdução à Teoria da Probabilidade.

Ex.: 2.77; 2.84; 2.73.

Cap.3 - Introdução à Inferência Estatística.

Ex.: 3.2.

TPC.: 2.83; 2.89.

Principais distribições contínuas. Resolução dos exercícios 2.69, 2.70 (com uma alínea extra), 2.73.

TPC: resolver exs. 2.74, 2.75, ex 4. do exame de 27.01.2017 e 2.84.

Principais distribuições contínuas: soma e combinação linear de v.a. com distribuição Normal; teorema limite central; aproximação da Binomial e da Poisson à Normal, correcção de continuidade; teorema limite central. Distribuição exponencial. Exerc. 2.73, 2.74 c), 2.77, 2.80, 2.83, R2.29. TPC: exerc. 3.1 a 3.12.

Cap. 2 - Introdução à Teoria da Probabilidade.

Ex.: 2.77; 2.84; 2.73.

Cap.3 - Introdução à Inferência Estatística.

Ex.: 3.2.

TPC.: 2.83; 2.89.

Revisão do conceito de amostra aleatória. A amostra observada.
Estimador e estimativa; definição; propriedades dos estimadores: Estimador centrado e estimador centrado de variância mínima.   
Estimação pontual e estimação intervalar. Intervalos de confiança, definição.
Interpretação do intervalo de confiança.
Início de resolução do exercício do slide 142.

Revisão do conceito de amostra aleatória. A amostra observada.
Estimador e estimativa; definição; propriedades dos estimadores: Estimador centrado e estimador centrado de variância mínima.   
Estimação pontual e estimação intervalar. Intervalos de confiança, definição.
Etapas necessárias à construção de intervalos de confiança. Construção de um
intervalo de confiança para o valor médio numa população normal com variância conhecida.
Interpretação do intervalo de confiança.
Início de resolução do exercício do slide 142.

Principais distribuições contínuas: soma e combinação linear de v.a. com distribuição Normal; teorema limite central; aproximação da Binomial e da Poisson à Normal, correcção de continuidade; teorema limite central. Distribuição exponencial. Exerc. 2.73, 2.74 c), 2.77, 2.80, 2.83, R2.29. TPC: exerc. 3.1 a 3.12.

Principais distribições contínuas: continuação do estudo da normal. Aproximação da distribuição Binomial pela Normal. Resolução dos exercícios 2.70, 2.73.

TPC: resolver exs. 2.72, 2.75, 2.76, 2.78, 2.81, 2.82, 2.90, 2.83.

Principais distribições contínuas: continuação do estudo da normal.  Aproximação da distribuição Poisson pela Normal. O Teorema do Limite Central. Resolução dos exercícios 2.70, 2.74 c), 2.77.

TPC: resolver exs. 2.72, 2.75, 2.76, 2.78, 2.81, 2.82, 2.90, 2.83.

Cap. 2 - Introdução à Teoria da Probabilidade.

Ex.: 2.70; 2.75; 2.77; 2.83.

A distribuição exponencial: a função densidade, a função distribuição cumulativa, o valor médio (determinação), a variância e a função geradora de momentos.
Estudo de duas propriedades do modelo exponencial - 1. a propriedade da falta de memória - demonstração;
2. a relação entre a contagem de sucessos em intervalos de tempo (processo de Poisson) e o tempo de espera entre a ocorrência 2 sucessos consecutivos (modelo exponencial). Ilustração com um exemplo.

Introdução à Inferência Estatística e à Amostragem. A Probabilidade e a Inferência Estatística.
Objectivos e conceitos fundamentais. Revisão dos conceitos de população, amostra, parâmetro.
Conceito de amostra aleatória e de amostra observada. Definição de amostra aleatória.
Referência  aos principais parâmetros que vamos estudar.

Principais distribições contínuas: continuação do estudo da normal. Distribuição da soma e da média de normais independentes. Aproximação da distribuição Binomial pela Poisson. Resolução dos exercícios 2.67, 2.68 e 2.69.

TPC: resolver exs. 2.73, 2.75, 2.76, 2.78.

Cap. 2 - Introdução à Teoria da Probabilidade.

Ex.: 2.67 (conclusão); 2.54; 2.57; 2.71.

Principais distribições contínuas: continuação do estudo da normal. Aplicação dos teoremas da estabilidade da soma de normais independentes e de uma transformação afim de uma normal. Distribuição da média de normais independentes. Aproximação da distribuição Binomial pela Poisson. Resolução dos exercícios 2.73 d), 2.67, 2.68, análise do ex. 2.69.

TPC: resolver exs. 2.70, 2.74, 2.75.

Revendo a distribuição da soma e da média de normais independentes e semelhantes.
O Teorema Limite Central (ilustração com apoio do R).  Aplicações  do Teorema Limite Central - a distribuição limite de uma Binomial (Teorema de De Moivre) e de uma Poisson.  A correcção de continuidade. Resolução de um exemplo. Revendo as aproximações entre distribuições apresentadas.

A distribuição exponencial: a função densidade e a função distribuição cumulativa (TPC).

Cap. 2. Introdução à Teoria da Probabilidade.

Ex.: 2.65; 2.67.

Exercícios com distribuições contínuas:   Resolução dos exercícios 2.65 (conclusão), 2.66, 2.67 e 2.68.
TPC: Exerc.  2.68 (concluir), 2.70, 2.73, 2.74 e 2.75

Principais distribuições contínuas: médias, somas e combinação linear de v.a. com distribuição Normal. Aproximação de distribuições discretas a contínuas: aproximação da Binomial e da Poisson à Normal, correcção de continuidade. Exerc. 2.67 d), 2.68, 2.69 e 2.70. TPC: 2.73, 2.74 c), 2.75.

Cap. 2. Introdução à Teoria da Probabilidade.

Ex.: 2.65; 2.67.

A distribuição exponencial: a função densidade, a função distribuição cumulativa, o valor médio (determinação),
a variância e a função geradora de momentos.
Estudo de duas propriedades do modelo exponencial - 1. a propriedade da falta de memória - demonstração;
2. a relação entre a contagem de sucessos em intervalos de tempo (processo de Poisson) e o tempo de espera
entre a ocorrência 2 sucessos consecutivos (modelo exponencial). Ilustração com um exemplo.

Introdução à Inferência Estatística e à Amostragem. A Probabilidade e a Inferência Estatística.
Objectivos e conceitos fundamentais. Revisão dos conceitos de população, amostra, parâmetro.
Conceito de amostra aleatória e de amostra observada. Definição de amostra aleatória.
Referência  aos principais parâmetros que vamos estudar.

A distribuição exponencial: a função densidade, a função distribuição cumulativa, o valor médio (determinação),
a variância e a função geradora de momentos.
Estudo de duas propriedades do modelo exponencial - 1. a propriedade da falta de memória - demonstração;
2. a relação entre a contagem de sucessos em intervalos de tempo (processo de Poisson) e o tempo de espera
entre a ocorrência 2 sucessos consecutivos (modelo exponencial). Ilustração com um exemplo.

Introdução à Inferência Estatística e à Amostragem. A Probabilidade e a Inferência Estatística.
Objectivos e conceitos fundamentais. Revisão dos conceitos de população, amostra, parâmetro.
Conceito de amostra aleatória e de amostra observada. Definição de amostra aleatória.
Referência  aos principais parâmetros que vamos estudar.

Principais distribuições contínuas: médias, somas e combinação linear de v.a. com distribuição Normal. Aproximação de distribuições discretas a contínuas: aproximação da Binomial e da Poisson à Normal, correcção de continuidade. Exerc. 2.67 d), 2.68, 2.69 e 2.70. TPC: 2.73, 2.74 c), 2.75.

Cap. 2 - Introdução à Teoria da Probabilidade. Principais distribuições contínuas: uniforme; normal, exponencial.

Ex.; 2.63 (conclusão); 2.64; 2.65; 2.67a).

TPC.: 2.67 (concluir); 2.54; 2.57; 2.71.

Principais distribuições discretas e contínuas Correcção do TPC: ex. 2.62,  2.64 - demonstração da lei da variável aleatória definida em d). Resolução do exercício 2.65.

TPC: Resolver ex. 2.66, 2.67, 2.68 e 2.69.

Nota: a aula prática no dia 27.11 terá mais 15 min de duração.

Exerc. 2.74 a) e b), resolução abreviada 2.61. Principais distribuições contínuas: distribuição uniforme e distribuição normal (cálculo de probabilidade, leitura na tabela): conclusão do exerc. 2.64 (uniforme contínua), exerc. 2.65, 2.66, 2.67 a)  c) (distribuição normal). TPC: exerc. 2.67 d), 2.68, 2.69.

O modelo normal ou de Gauss - recordando o valor médio, a variância e a função geradora de momentos.
A normal reduzida. Propriedades: Transformação afim de uma variável aleatória normal -- demonstração; redução de uma variável com distribuição normal; resolução de um exemplo; o teorema da estabilidade da soma de normais independentes e sua generalização.
A distribuição da soma e da média de normais independentes e semelhantes.
O Teorema Limite Central (ilustração com apoio do R).  Aplicações  do Teorema Limite Central - a distribuição limite de uma Binomial (Teorema de De Moivre) e de uma Poisson.  A correcção de continuidade, Resolução de um exemplo. Revendo as aproximações entre distribuições apresentadas.
TPC: (a) Demonstrar que Phi(-z)=1-Phi(z), sendo Phi(z) a f.d.c. da normal reduzida.
(b) Provar os teoremas e corolários indicados na aula e não demonstrados;
(c) Sendo X um v.a. normal com valor médio mu e variância sigma, calcular: P[mu-sigma<X<mu+sigma];  P[mu-2sigma<X<mu+2sigma] e P[mu-3sigma<X<mu+3sigma]
(d) Resolver o exercício do slide 122 e 123.

Nota: Esta aula teve a duração de 1h:30 para compensar os feriados.

Principais distribições contínuas: uniforme e normal. Correcção do TPC (ex. 2.63). Resolução dos exercícios 2.65 e 2.73.

TPC: terminar ex. 2.73 e resolver ex. 2.66, 2.67 e 2.68.

Exerc. 2.74 a) e b), resolução abreviada 2.61. Principais distribuições contínuas: distribuição uniforme e distribuição normal (cálculo de probabilidade, leitura na tabela): conclusão do exerc. 2.64 (uniforme contínua), exerc. 2.65, 2.66, 2.67 a)  c) (distribuição normal). TPC: exerc. 2.67 d), 2.68, 2.69.

O modelo normal ou de Gauss - recordando o valor médio, a variância e a função geradora de momentos.
A normal reduzida. Propriedades: Transformação afim de uma variável aleatória normal -- demonstração; redução de uma variável com distribuição normal; resolução de um exemplo; o teorema da estabilidade da soma de normais independentes e sua generalização.
A distribuição da soma e da média de normais independentes e semelhantes.
O Teorema Limite Central (ilustração com apoio do R).  Aplicações  do Teorema Limite Central - a distribuição limite de uma Binomial (Teorema de De Moivre) e de uma Poisson.  A correcção de continuidade, Resolução de um exemplo. Revendo as aproximações entre distribuições apresentadas.
TPC: (a) Demonstrar que Phi(-z)=1-Phi(z), sendo Phi(z) a f.d.c. da normal reduzida.
(b) Provar os teoremas e corolários indicados na aula e não demonstrados;
(c) Sendo X um v.a. normal com valor médio mu e variância sigma, calcular: P[mu-sigma<X<mu+sigma];  P[mu-2sigma<X<mu+2sigma] e P[mu-3sigma<X<mu+3sigma]
(d) Resolver o exercício do slide 122 e 123.

Nota: Esta aula teve a duração de 1h:30 para compensar os feriados.

Cap. 2 - Introdução à Teoria da Probabilidade. Principais distribuições contínuas: uniforme; normal.

Ex.; 2.64c); 2.65; 2.67.

TPC.: 2.54; 2.57; 2.71.

[Nota: esta aula durou mais meia hora para compensar, em parte, os feriados de Dezembro]

Principais distribições contínuas: uniforme e normal. Correcção do TPC (exs. 2.63 e 5 do exame de 5 Jan 2014). Resolução dos exercícios 2.65 e 2.73.

TPC: terminar ex. 2.73 e resolver ex. 2.66, 2.67 e 2.68.

Principais distribições contínuas: uniforme e normal. Correcção do TPC (exs. 2.61 e) f) g) e 2.63). Resolução do exercício 2.65.

TPC: resolver ex. 2.73, 2.66, 2.67 e 2.68.

Cap. 2 - Introdução à Teoria da Probabilidade. Principais distribuições contínuas: uniforme; normal.

Ex.; 2.64; 2.65; 2.67a)b)c).

TPC.; 2.67d); 2.54; 2.57; 2.71.

Principais distribições contínuas: uniforme e normal. Correcção do TPC (exs. 2.63). Resolução dos exercícios 2.65 e 2.73 a) b) c).

TPC: terminar ex. 2.73 e resolver ex. 2.66, 2.67 e 2.68.

O modelo normal ou de Gauss - recordando o valor médio, a variância e a função geradora de momentos.
A normal reduzida. Propriedades: Transformação afim de uma variável aleatória normal - demonstração; redução de uma variável com distribuição normal; o teorema da estabilidade da soma de normais independentes e sua generalização.
A distribuição da soma e da média de normais independentes e semelhantes.
O Teorema Limite Central (ilustração com apoio do R).
TPC: (a) Demonstrar que Phi(-z)=1-Phi(z), sendo Phi(z) a f.d.c. da normal reduzida.
(b) Provar os teoremas e corolários indicados na aula e não demonstrados;
(c) Sendo X um v.a. normal com valor médio mu e variância sigma, calcular: P[mu-sigma<X<mu+sigma];  P[mu-2sigma<X<mu+2sigma] e P[mu-3sigma<X<mu+3sigma]
(d) Resolver o exercício do slide 122 e 123.

Principais distribições discretas: binomial, geométrica, hipergeométrica, Poisson. Correcção do TPC: 2.59, 2.60. Resolução do ex. 2.61 a) b) c) d).

TPC: terminar ex. 2.61 e resolver exs. 2.63, 2.64 e o exercício 5. da 1ª chamada do exame de 2013-14 .

Principais distribuiçôes discretas: hipergeométrica; Poisson.

Ex.: 2.60; 2.61.

Principais distribuições contínuas: uniforme.

Ex.; 2.63.

TPC.; 2.62; 2.64.

Principais distribições discretas: binomial, geométrica, hipergeométrica, Poisson. Correcção do TPC: 2.59, 2.60. Resolução do ex. 2.61.

TPC: resolver exs. 2.63, 2.64 e o exercício 5. da 1ª chamada do exame de 2013-14) .

Revendo a aproximação da distribuição hipergeométrica pela binomial e a     
aproximação da binomial pela Poisson. Condições.
Os modelos contínuos: o modelo uniforme contínuo: definição, função densidade, parâmetros
(TPC: Cálculo do valor médio e variância e da função de distribuição).
O modelo normal ou de Gauss - a função densidade; propriedades e interpretação.
O valor médio, a variância e a função geradora de momentos.
A normal reduzida e a sua função geradora de momentos.

Principas distribuiçôes discretas: hipergeométrica; Poisson.

Ex.: 2.60 (conclusão); 2.61.

Principais distribuições contínuas: uniforme.

Ex.; 2.63a).

TPC.; 2.63 (concluir); 2.64 a)b)

Principais distribuições discretas: as distribuições  hipergeométrica e de Poisson. Ilustração no R da aproximação das distribuições hipergeométrica pela binomial e binomial pela Poisson. Ex.: 2.59 e  2.61

Principais distribuições contínuas: a distribuição uniforme.  Ex. 2.63

TPC.; 2.62, 2.64, Exame de 27.01.2017, ex 2 e Exame de 25.01.2016, ex. 3.

Principais distribuições discretas: distribuição de Poisson (cálculo de probabilidade, utilização da tabela, valor médio, teorema da estabilidade da soma): exerc. 2.62, exerc. 5 do exame de 13 de janeiro 2014, apresentação do exerc. 5 do exame de 12 de janeiro de 2009. Principais distribuições contínuas: distribuição uniforme (função densidade, valor médio e variância): exerc. 2.63, 2.64 a) e b). TPC: conclusão exerc. 2.64, exerc. 2.61, 2.74 a) e b), exerc. 5 do exame de 12 de janeiro de 2009

Principais distribuiçôes discretas: hipergeométrica; Poisson.

Ex.: 2.60 (conclusão); 2.61.

Principais distribuições contínuas: uniforme.

Ex.; 2.63; 2.64a)b).

TPC.; 2.64 (concluir).

Revendo a aproximação da distribuição hipergeométrica pela binomial e a     
aproximação da binomial pela Poisson. Condições.
Os modelos contínuos: o modelo uniforme contínuo: definição, função densidade, parâmetros
(TPC: Cálculo do valor médio e variância e da função de distribuição).
O modelo normal ou de Gauss - a função densidade; propriedades e interpretação.
O valor médio, a variância e a função geradora de momentos.
A normal reduzida. Cálculo de áreas sob a curva normal.
Consulta da tabela da nornal reduzida--a função de distribuição da normal reduzida.
Início de resolução do exercício do slide 122.

Principais distribições discretas: binomial, geométrica, hipergeométrica, Poisson. Correcção do TPC: 2.59, 2.60. Resolução do ex. 2.61.

TPC: resolver exs. 2.63, 2.64 e o exercício 5. da 1ª chamada do exame de 2013-14) .

ATENÇÃO: Tal como combinado com os alunos e para compensar um dos feriados de Dezembro, a próxima aula de sexta-feira (24 de Novembro) terá início meia hora mais cedo, decorrendo das 8h30 às 10h30, na sala P14. Nas próximas segunda-feiras as aulas também serão prolongadas mais um quarto de hora, decorrendo das 12h às 13h45, na sala S3.

Revendo a aproximação da distribuição hipergeométrica pela binomial e a     
aproximação da binomial pela Poisson. Condições.
Os modelos contínuos: o modelo uniforme contínuo: definição, função densidade, parâmetros
(TPC: Cálculo do valor médio e variância e da função de distribuição).
O modelo normal ou de Gauss - a função densidade; propriedades e interpretação.
O valor médio, a variância e a função geradora de momentos.
A normal reduzida. Cálculo de áreas sob a curva normal.
Consulta da tabela da nornal reduzida--a função de distribuição da normal reduzida.
Início de resolução do exercício do slide 122.

[Nota: esta aula durou mais meia hora para compensar, em parte, os feriados de Dezembro]

Principais distribições discretas: binomial, geométrica, hipergeométrica, Poisson. Correcção do TPC: 2.60, 2.62. Resolução de um exercício de exame (ex. 5, 1ª chamada de 2013-14), ex. 2.63 (início).

TPC: resolver exs. 2.61, 2.63, 2.64.

Principais distribuições discretas: distribuição de Poisson (cálculo de probabilidade, utilização da tabela, valor médio, teorema da estabilidade da soma): exerc. 2.62, exerc. 5 do exame de 13 de janeiro 2014, apresentação do exerc. 5 do exame de 12 de janeiro de 2009. Principais distribuições contínuas: distribuição uniforme (função densidade, valor médio e variância): exerc. 2.63, 2.64 a) e b). TPC: conclusão exerc. 2.64, exerc. 2.61, 2.74 a) e b), exerc. 5 do exame de 12 de janeiro de 2009

Principais Distribuições Discretas: binomial; uniforme; geométrica; hipergeométrica.

Ex.: 2.52 (conclusão); 2.55, 2.56; 2.60 a)b-i).

TPC: 2.60 (concluir); 2.58.  

Principais distribuições discretas: as distribuições binomial, geométrica e hipergeométrica.
Ex.: 2.55 e 2.56, 2.60 e 2.59 a).

TPC: 2.59 (concluir).

Principais distribuições discretas: dist. binomial, geométrica (cálculo de probabilidade, valor médio e variância função geradora de momentos) e hipergeométrica (cálculo de probabilidade; relação com distribuição binomial). Exerc. 2.57 b), 2.55, 2.56, 2.58 e 2.60. Formalização dos exerc. 2.23, 2.24 e 2.25 TPC: Exerc. 2.23, 2.24, 2.25, 2.59, 2.62

Continuação do estudo das distribuições geométrica, hipergeométrica e de Poisson
A distribuição geométrica: Cálculo da função geradora de momentos:
TPC calcular o valor médio e a variância com recurso à f.g.m.
A Propriedade da falta de memória da distribuição geométrica.
O cálculo de P[X>n] para a demonstração daquela propriedade.   
A distribuição de Poisson: Cálculo da função geradora de momentos, do valor médio e da variância.
O Teorema da estabilidade da soma  de v. a. independentes com distribuição de Poisson.
Aproximações de distribuições: A aproximação da distribuição hipergeométrica pela binomial. Condições.
A aproximação da binomial pela Poisson. Condições.

Principais distribições discretas: binomial, geométrica, hipergeométrica. Correcção do TPC: 2.56, 2.55, 2.57. Resolução do ex. 2.58.

TPC: resolver exs. 2.59, 2.60, 2.62.

ATENÇÃO: para compensar um dos feriados de Dezembro as próximas aulas de segunda-feira terão início meia hora masi cedo, decorrendo das 8h30 às 10h30, na sala S2.

Principais distribuições discretas: dist. binomial, geométrica (cálculo de probabilidade, valor médio e variância função geradora de momentos) e hipergeométrica (cálculo de probabilidade; relação com distribuição binomial). Exerc. 2.57 b), 2.55, 2.56, 2.58 e 2.60. Formalização dos exerc. 2.23, 2.24 e 2.25 TPC: Exerc. 2.23, 2.24, 2.25, 2.59, 2.62

Continuação do estudo das distribuições geométrica, hipergeométrica e de Poisson
A distribuição geométrica: Cálculo da função geradora de momentos:
TPC calcular o valor médio e a variância com recurso à f.g.m.
A Propriedade da falta de memória da distribuição geométrica.
O cálculo de P[X>n] para a demonstração daquela propriedade.   
A distribuição de Poisson: Cálculo da função geradora de momentos, do valor médio e da variância.
O Teorema da estabilidade da soma  de v. a. independentes com distribuição de Poisson.
Aproximações de distribuições: A aproximação da distribuição hipergeométrica pela binomial. Condições.
A aproximação da binomial pela Poisson. Condições.

Principais Distribuições Discretas: binomial; uniforme; geométrica; hipergeométrica.

Ex.: 2.53 (conclusão); 2.55, 2.56; 2.60 a)b-i).

TPC: 2.60 (concluir); 2.58.

Principais distribições discretas: binomial, geométrica, hipergeométrica. Correcção do TPC: 2.56, 2.55, 2.57. Resolução dos exs. 2.58, 2.60 a).

TPC: terminar ex. 2.60 e resolver ex. 2.59, 2.62.

Principais distribições discretas: binomial, geométrica, hipergeométrica. Correcção do TPC: 2.54 b), 2.56, 2.55, 2.57. Resolução do ex. 2.58.

TPC: 2.59, 2.60, 2.62.

Principais Distribuições Discretas: binomial; uniforme; geométrica; hipergeométrica.

Ex.: 2.53 (conclusão); 2.52; 2.55, 2.56; 2.60 a).

TPC: 2.60 (concluir); 2.58.

Principais distribições discretas: binomial, geométrica, hipergeométrica. Correcção do TPC: 2.56, 2.55, 2.57. Resolução do ex. 2.58.

TPC: 2.59, 2.60, 2.62.

Continuação do estudo das distribuições geométrica, hipergeométrica e de Poisson
A distribuição geométrica: Cálculo da função geradora de momentos:
TPC calcular o valor médio e a variância com recurso à f.g.m.
A Propriedade da falta de memória da distribuição geométrica.
O cálculo de P[X>n] para a demonstração daquela propriedade.   
A distribuição de Poisson: Cálculo da função geradora de momentos, do valor médio e da variância.
O Teorema da estabilidade da soma  de v. a. independentes com distribuição de Poisson.
Aproximações de distribuições: A aproximação da distribuição hipergeométrica pela binomial. Condições.
A aproximação da binomial pela Poisson. Condições.

Principais Distribuições Discretas: binomial.

Ex.: 2.49 c)d)e)f); 2.50; 2.53 a)b)c-i).

TPC: 2.53 (concluir); 2.57 a).

Início do estudo das distribuições geométrica, hipergeométrica e de Poisson
A) A distribuição geométrica (a v.a. X como contagem do nº de provas necessárias até ocorrer
o 1º sucesso em provas de Bernoulli independentes, com probabilidade constante de sucesso).
Caracterização da v.a; cálculo da soma dos termos de uma série geométrica de razão <1;
aplicação ao estudo da função massa de probabilidade da geométrica.
B) Caracterização da  distribuição hipergeométrica. A função massa de probabilidade, valor médio e variância. Exemplificando com o exercício 2.23.
C) A distribuição de Poisson -- caracterização, estudo da função massa de probabilidade, com recurso ao desenvolvimento em série da exponencial.

Principais Distribuições Discretas: binomial.

Ex.: 2.50; 2.53; 2.52 a)b).

TPC: 2.52 (concluir); 2.57 a).

Principais distribuições discretas: a distribuição uniforme discreta e a binomial.
Ex.: 2.52; 2.53; 2.57 a); 2.54
TPC: 2.55 e 2.56.

Principais distribuições discretas: o modelo binomial (valor médio e variância, função geradora de momentos), breve referência à distribuição geométrica. Exercícios 2.52, 2.54, 2.57. TPC: exerc. 2.24 e 2.25.

Principais Distribuições Discretas: binomial.

Ex.: 2.49; 2.52; 2.53 a)b).

TPC: 2.53 (concluir); 2.57 a).

Início do estudo das distribuições geométrica, hipergeométrica e de Poisson
A) A distribuição geométrica (a v.a. X como contagem do nº de provas necessárias até ocorrer
o 1º sucesso em provas de Bernoulli independentes, com probabilidade constante de sucesso).
Caracterização da v.a; cálculo da soma dos termos de uma série geométrica de razão <1;
aplicação ao estudo da função massa de probabilidade da geométrica.
Determinação da função geradora de momentos da variável geométrica.
TPC: i) Calcular o valor médio e variância da v.a. geométrica, com recurso à f.g.m;  
ii) Cálculo de  P[X>n].
B) Caracterização da  distribuição hipergeométrica. A função massa de probabilidade, valor médio e variância. Exemplificando com o exercício 2.23.
C) A distribuição de Poisson -- caracterização, estudo da função massa de probabilidade, com recurso ao desenvolvimento em série da exponencial.

Início do estudo das distribuições geométrica, hipergeométrica e de Poisson
A) A distribuição geométrica (a v.a. X como contagem do nº de provas necessárias até ocorrer
o 1º sucesso em provas de Bernoulli independentes, com probabilidade constante de sucesso).
Caracterização da v.a; cálculo da soma dos termos de uma série geométrica de razão <1;
aplicação ao estudo da função massa de probabilidade da geométrica.
Determinação da função geradora de momentos da variável geométrica.
TPC: i) Calcular o valor médio e variância da v.a. geométrica, com recurso à f.g.m;  
ii) Cálculo de  P[X>n].
B) Caracterização da  distribuição hipergeométrica. A função massa de probabilidade, valor médio e variância. Exemplificando com o exercício 2.23
C) A distribuição de Poisson -- caracterização, estudo da função massa de probabilidade, com recurso ao desenvolvimento em série da exponencial.

Principais distribuições discretas: o modelo binomial (valor médio e variância, função geradora de momentos). Exercícios 2.52, 2.54, 2.57 a). TPC: conclusão exerc. 2.57, exerc. 2.24 e 2.25.

Principais distribuições discretas: Bernoulli, binomial e uniforme. A distribuição do número de insucessos em n provas de Bernoulli independentes. Leitura de tabelas. Resolução dos exercícios 2.51, 2.49 e discussão do exercício 2.24.

TPC: resolver exs. 2.50, 2.52, 2.53.

Nota: Esta aula foi leccionada em simultâneo com a da Turma 3.

Principais distribuições discretas: Bernoulli, binomial e uniforme. A distribuição do número de insucessos em n provas de Bernoulli independentes. Leitura de tabelas. Resolução dos exercícios 2.51, 2.49 e discussão do exercício 2.24.

TPC: resolver exs. 2.50, 2.52, 2.53.

Nota: Esta aula foi leccionada em simultâneo com a da Turma 2.

Principais distribuições discretas: o modelo binomial (cálculo de probabilidade, utilização da tabela, valor médio). Exerc. 2.49, 2.50, 2.51 e 2.53. TPC: 2.52, 2.54, rever slides 95-97.

A função geradora de momentos (f.g.m.) de uma variável aleatória: definição, propriedades. A função geradora de momentos da soma de variáveis aleatórias independentes. Ilustração num exemplo.
A distribuição binomial: caracterização (revisão). Cálculo e confirmação da distribuição de probabilidades (o binómio de Newton). Determinação do valor médio e variância.
A função geradora de momentos da v.a. com distribuição binomial.
Para a aula prática: Consulta de tabelas; a distribuição do nº de insucessos em n provas de Bernoulli independentes.

TPC: Para a variável  Binomial(n,p) calcular E[X] e E[X^2] usando a f.g.m
Escrever os valores de uma v.a. que conta o nº de provas de Bernoulli independentes até ocorrer pela 1ª vez o sucesso.

Principais distribições discretas: binomial. Função geradora de momentos: definição e propiedades. Resolução dos exercícios 2.50, 2.51, 2.54.

TPC: resolver exs. 2.49, 2.52, 2.53.

Principais distribuições discretas: o modelo binomial (cálculo de probabilidade, utilização da tabela, valor médio). Exerc. 2.49, 2.50, 2.51 e 2.53. TPC: 2.52, 2.54, rever slides 95-97.

A função geradora de momentos (f.g.m.) de uma variável aleatória: definição, propriedades. A função geradora de momentos da soma de variáveis aleatórias independentes. Ilustração num exemplo.
A distribuição binomial: caracterização (revisão). Cálculo e confirmação da distribuição de probabilidades (o binómio de Newton). Determinação do valor médio e variância.
A função geradora de momentos da v.a. com distribuição binomial.
Para a aula prática: Consulta de tabelas; a distribuição do nº de insucessos em n provas de Bernoulli independentes.

TPC: Para a variável  Binomial(n,p) calcular E[X] e E[X^2] usando a f.g.m
Escrever os valores de uma v.a. que conta o nº de provas de Bernoulli independentes até ocorrer pela 1ª vez o sucesso.

Principais distribições discretas: binomial. Função geradora de momentos: definição e propiedades. Resolução dos exercícios 2.50, 2.51, 2.54.

TPC: resolver exs. 2.49, 2.52, 2.53.

[Aula dada em conjunto com a Turma 8]

Principais distribições discretas: binomial. Função geradora de momentos: definição e propiedades. Resolução dos exercícios 2.50, 2.51, 2.54.

TPC: resolver exs. 2.49, 2.52, 2.53.

[Aula dada em conjunto com a Turma 7]

Principais distribições discretas: binomial e uniforme. Resolução dos exercícios 2.50, 2.51, 2.52.

TPC: resolver exs. 2.49, 2.53, 2.54.

Alguns esclarecimentos sobre questões do 1º teste.

Exercícios com as principais distribuições discretas. A distribuição binomial. A distribuição do nº de insucessos em provas de Bernoulli independentes. Leitura de tabelas:  resolução dos exercícios 2.51, 2.24 (tiragens com reposição como um exemplo de provas de Bernoulli independentes) e 2.49 (parte).

TPC: terminar exerc. 2.40 e resolver 2.50, 2.52

Principais distribições discretas: binomial e uniforme. Resolução dos exercícios 2.50, 2.51, 2.52.

TPC: resolver exs. 2.49, 2.53, 2.54.

A função geradora de momentos (f.g.m.) de uma variável aleatória: definição, propriedades. A função geradora de momentos da soma de variáveis aleatórias independentes. Ilustração num exemplo.
A distribuição binomial: caracterização (revisão). Cálculo e confirmação da distribuição de probabilidades (o binómio de Newton). Determinação do valor médio e variância.
A função geradora de momentos da v.a. com distribuição binomial.
Para a aula prática: Consulta de tabelas; a distribuição do nº de insucessos em n provas de Bernoulli independentes.

TPC: Para a variável  Binomial(n,p) calcular E[X] e E[X^2] usando a f.g.m
Escrever os valores de uma v.a. que conta o nº de provas de Bernoulli independentes até ocorrer pela 1ª vez o sucesso.

Resolução de parte do 1º Teste de 2016-17 e esclarecimento de dúvidas.

TPC: estudar para o teste.

Pares aleatórios contínuos: função densidade condicional, cálculo de probabilidades e do valor médio de uma função de (X,Y), independência de 2 v.a. contínuas. Resolução dos exercícios 2.42 d) e alínea suplementar (e) Calcular a P[X > 1-Y]), 2.47.

TPC: Estudar para o teste.

Resolução dos exercícios 4 e 6 do Teste de 9.11.2016; ex. 2.45; esclarecimento de dúvidas.

Estudo das principais distribuições discretas: a distribuição uniforme discreta: caracterização, função distribuição cumulativa, valor médio e variância.
A distribuição de Bernoulli (definição de prova de Bernoulli, caracterização da v.a.).
Cálculo dos parâmetros e cálculo de E[exp(X)], E[exp(2X)] e E[exp(tX)], com t nº real. Introdução à distribuição binomial. Caracterização da experiência binomial e construção da distribuição de probabilidades da v.a. para um exemplo.

Resolução dos exercícios: 2.46 b)c); 2.48; 4 do 1º Teste de 2016/17; 2.47 [exceto o g)iii].

Resolução do Ex 6 do Teste de 9.11.2016; ex. 2.45, 2.44 e esclarecimento de dúvidas.

Esclarecimento de dúvidas. Pares aleatórios discretos: densidade condicional, coeficiente de correlação. Exerc. 2.40 d) a f). Pares aleatórios contínuos (densidade marginal, densidade condicional, domínio da função densidade, valor médio, variância e covariância): exercício 2.47 (resolução completa) e 2.42 (resolução abreviada).

Pares aleatórios contínuos: função densidade condicional, cálculo de probabilidades e do valor médio de uma função de (X,Y), independência de 2 v.a. contínuas. Resolução dos exercícios 2.42 d) e alínea suplementar (e) Calcular a P[X > 1-Y]), 2.47.

TPC: Estudar para o teste.

Estudo das principais distribuições discretas: a distribuição uniforme discreta: caracterização, função distribuição cumulativa, valor médio e variância.
A distribuição de Bernoulli (definição de prova de Bernoulli, caracterização da v.a.).
Cálculo dos parâmetros e cálculo de E[exp(X)], E[exp(2X)] e E[exp(tX)], com t nº real. Introdução à distribuição binomial. Caracterização da experiência binomial e construção da distribuição de probabilidades da v.a. para um exemplo.

Resolução dos exercícios: 2.48; 4 e 6 do 1º Teste de 2016/17; 2.47 [exceto g.iii)].

Estudo das principais distribuições discretas: a distribuição uniforme discreta: caracterização, função distribuição cumulativa, valor médio e variância.
A distribuição de Bernoulli (definição de prova de Bernoulli, caracterização da v.a.).
Cálculo dos parâmetros e cálculo de E[exp(X)], E[exp(2X)] e E[exp(tX)], com t nº real. Introdução à distribuição binomial. Caracterização da experiência binomial e construção da distribuição de probabilidades da v.a. para um exemplo.

Pares aleatórios contínuos: função densidade condicional, cálculo de probabilidades e do valor médio de uma função de (X,Y), independência de 2 v.a. contínuas. Resolução dos exercícios 2.42 d) e alínea suplementar (e) Calcular a P[X > 1-Y]), 2.47.

TPC: Estudar para o teste.

Esclarecimento de dúvidas. Pares aleatórios discretos: densidade condicional, coeficiente de correlação. Exerc. 2.40 d) a f). Pares aleatórios contínuos (densidade marginal, densidade condicional, domínio da função densidade, valor médio, variância e covariância): exercício 2.47 (resolução completa) e 2.42 (resolução abreviada).

Cap.2 - Pares aleatórios discretos e contínuos.

Ex.: 2.38)c); 2.42.

TPC: 2.46; 2.48; 1º teste de 2016/17.

Pares aleatórios contínuos: ex.: 2.42 e exercício 4 do Teste de 9.11.2016

TPC: ex 2.44 e 2.47

Comentário breve aos questionários e esclarecimento de dúvidas. Pares aleatórios contínuos (função densidade de probabilidade conjunta, densidades marginais, densidade condicional, valor médio): exerc. 2.44. TPC. exerc. 2.42 e 2.47.

O par aleatório (X,Y) -- estudo de parâmetros.  O valor médio de uma função do par aleatório.
Exemplificando com o cálculo de E[1/X]  no exercício 2.41 e o cálculo de E[XY] no exemplo do slide 91.
Propriedades do valor médio : o valor médio da soma (dedução).
O valor médio do produto, E[XY],  quando X e Y são independentes.
Resolução do exercício do slide 91 para mostrar que E[XY]=E[X]E[Y] não implica independência.
A variância da soma (e da diferença) das componentes do par aleatório (dedução da soma).
TPC. Deduzir Var[X-Y].
Definição de covariância. Popriedades da covariância.  A variância da soma (e da diferença) quando as componentes do par são independentes.
O coeficiente de correlação. Definição e propriedades.
A matéria para o 1º teste vem até ao que foi dado nesta aula (slide 94).

 Comentário breve aos questionários e esclarecimento de dúvidas. Pares aleatórios contínuos (função densidade de probabilidade conjunta, densidades marginais, densidade condicional, valor médio): exerc. 2.44. TPC. exerc. 2.42 e 2.47.

Pares aleatórios discretos: distribuições marginais, independência de v.a.s, valor médio de uma função de X e Y, covariância e coeficiente de correlação entre X e Y e respectivas propriedades. Resolução do exercício 2.40 b) a f).

Pares aleatórios contínuos: função densidade conjunta, funções densidade marginais, independência de 2 v.a. contínuas. Resolução do exercício 2.42 a) b).

TPC: terminar ex. 2.42 e resolver exs. 2.45 e 2.47.

O par aleatório (X,Y) -- estudo de parâmetros.  O valor médio de uma função do par aleatório.
Exemplificando com o cálculo de E[1/X]  no exercício 2.41 e o cálculo de E[XY] no exemplo do slide 91.
Propriedades do valor médio : o valor médio da soma (dedução).
O valor médio do produto, E[XY],  quando X e Y são independentes.
Resolução do exercício do slide 91 para mostrar que E[XY]=E[X]E[Y] não implica independência.
A variância da soma (e da diferença) das componentes do par aleatório (dedução da soma).
TPC. Deduzir Var[X-Y].
Definição de covariância. Popriedades da covariância.  A variância da soma (e da diferença) quando as componentes do par são independentes.
O coeficiente de correlação. Definição e propriedades.
A matéria para o 1º teste vem até ao que foi dado nesta aula (slide 94).

Cap.2 - Pares aleatórios contínuos.

Ex.: 2.42; 2.46.

TPC: 2.48; 1º teste de 2016/17.

Pares aleatórios discretos: distribuições marginais, independência de v.a.s, valor médio de uma função de X e Y, covariância e coeficiente de correlação entre X e Y e respectivas propriedades. Resolução do exercício 2.40 b) a f).

Pares aleatórios contínuos: função densidade conjunta, funções densidade marginais, independência de 2 v.a. contínuas. Resolução do exercício 2.42 a) b).

TPC: terminar ex. 2.42 com alínea extra (e) Calcular P[Y > 1-X] ) e resolver exs. 2.45 e 2.47.

Cap.2 - Pares aleatórios contínuos.

Ex.: 2.42; 2.46.

TPC: 2.48; 1º teste de 2016/17.

Cap.2 - Pares aleatórios contínuos.

Ex.: 2.42; 2.46.

TPC: 2.48; 1º teste de 2016/17.

Pares aleatórios discretos: distribuições marginais, independência de v.a.s, valor médio de uma função de X e Y, covariância e coeficiente de correlação entre X e Y e respectivas propriedades. Resolução do exercício 2.40 b) a f).

Pares aleatórios contínuos: função densidade conjunta, funções densidade marginais, independência de 2 v.a. contínuas. Resolução do exercício 2.42 a) b).

TPC: terminar ex. 2.42 e resolver exs. 2.45 e 2.47.

O par aleatório (X,Y) -- estudo de parâmetros.  O valor médio de uma função do par aleatório.
Exemplificando com o cálculo de E[1/X]  no exercício 2.41 e o cálculo de E[XY] no exemplo do slide 91.
Propriedades do valor médio : o valor médio da soma (dedução).
O valor médio do produto, E[XY],  quando X e Y são independentes.
Resolução do exercício do slide 91 para mostrar que E[XY]=E[X]E[Y] não implica independência.
A variância da soma (e da diferença) das componentes do par aleatório (dedução da soma).
TPC. Deduzir Var[X-Y].
Definição de covariância. Popriedades da covariância.  A variância da soma (e da diferença) quando as componentes do par são independentes.
O coeficiente de correlação. Definição e propriedades.
A matéria para o 1º teste vem até ao que foi dado nesta aula (slide 94).

Cap.2 - Variáveis aleatórias (contínuas e discretas). Pares aleatórios discretos.

Ex.: 2.32 b)c)d)e); 2.27; 2.38; 2.39.

TPC: 2.39 (concluir); 2.42

Cap.2 - Variáveis aleatórias (contínuas e discretas). Pares aleatórios discretos.

Ex.: 2.32 b)c)d)e); 2.27; 2.38.

TPC: 2.39; 2.42

Variáveis aleatórias contínuas: cálculo da média e do quantil de ordem teta e interpretação geométrica, propriedades do valor médio, variância e desvio padrão. Resolução dos exercícios 2.33 c) d), 2.36.

Pares aleatórios discretos: distribuição conjunta e função massa de probabilidade conjunta (tabela de contigência). Resolução do ex. 2.40 a).

TPC: terminar ex, 2.40 e resolver ex. 2.41.

Pares aleatórios contínuos. Definição de função densidade condicional.
Definição de independência.
Resolução detalhada do exercício 2.41.
Exemplificação do estudo da independência num par aleatório discreto e no par aleatório do ex. 2.41
TPC: conncluir o exercício 2.41.

Cap.2 - Variáveis aleatórias (contínuas e discretas). Pares aleatórios discretos.

Ex.: 2.32; 2.27; 2.38 a).

Correcção do trabalho de casa: ex. 2.27 com transformação da v.a.; ex. 2.33 e ex. 2.26
Pares aleatórios. ex. 2.38 e 2.42 -- mostrar que f(x,y) é uma função densidade de probabilidade conjunta.
TPC: Ex.2.42 e 2.44

 Variáveis aleatórias contínuas: exerc. 2.33 (conclusão), 2.36. Pares aleatórios discretos (noção de distribuição de probabilidade conjunta, distribuições de probabilidade marginais, de probabilidade condicional e de independência e  propriedades do valor esperado): exerc. 2.39 e 2.40 a) a c). TPC: conclusão do exerc. 2.40 e 2.41

Cap.2 - Variáveis aleatórias (contínuas e discretas). Pares aleatórios discretos.

Ex.: 2.32 b)c)d)e); 2.27; 2.38.

Pares aleatórios contínuos. Definição de função densidade condicional.
Definição de independência.
Resolução detalhada do exercício 2.41.
Exemplificação do estudo da independência num par aleatório discreto.
Estudo de parâmetros de um par aleatório: o valor médio de uma função do par.
Propriedades do valor médio: o valor médio da soma.  
TPC: conncluir o exercício 2.41 e calcular E[XY] para o par aleatório discreto do slide 91 de apoio às aulas teóricas.

Variáveis aleatórias contínuas: cálculo da média e do quantil de ordem teta e interpretação geométrica, propriedades do valor médio, variância e desvio padrão. Resolução dos exercícios 2.33 c) d), 2.36.

Pares aleatórios discretos: distribuição conjunta e função massa de probabilidade conjunta (tabela de contigência). Resolução do ex. 2.40 a).

TPC: terminar ex, 2.40 e resolver ex. 2.41.

Pares aleatórios contínuos. Definição de função densidade condicional.
Definição de independência.
Resolução detalhada do exercício 2.41.
Exemplificação do estudo da independência num par aleatório discreto.
Estudo de parâmetros de um par aleatório: o valor médio de uma função do par.
Propriedades do valor médio: o valor médio da soma.  
TPC: conncluir o exercício 2.41 e calcular E[XY] para o par aleatório discreto do slide 91 de apoio às aulas teóricas.

Variáveis aleatórias contínuas: exerc. 2.33 (conclusão), 2.36. Pares aleatórios discretos (noção de distribuição de probabilidade conjunta, distribuições de probabilidade marginais, de probabilidade condicional e de independência e  propriedades do valor esperado): exerc. 2.39 e 2.40 a) a c). TPC: conclusão do exerc. 2.40 e 2.41

Variáveis aleatórias contínuas: cálculo da média e do quantil de ordem teta e interpretação geométrica, propriedades do valor médio, variância e desvio padrão. Resolução dos exercícios 2.33 c) d), 2.36.

Pares aleatórios discretos: distribuição conjunta e função massa de probabilidade conjunta (tabela de contigência). Resolução do ex. 2.40 a).

TPC: terminar ex, 2.40 e resolver ex. 2.41.

Cap.2 - Variáveis aleatórias.

Ex.: 2.28; 2.30.

Variavéis aleatórias contínuas: exerc. 2.32 (conclusão), 2.37 e 2.33 a) e b). TPC: exerc. 2.33 (conclusão), 2.36.

O par aleatório (X,Y): definição e tipos de pares aleatórios que iremos estudar.
O par aleatório discreto, formalização: a função massa de probabilidade conjunta,
distribuição de probabilidades marginais e distribuição de probabilidades condicional. Resolução de um Exercício.
O par aleatório contínuo: função densidade de probabilidade conjunta. Função densidade de probabilidade marginal.
Resolução do exercício R2.20. Determinação das funções densidade marginais. A função densidade condicional.
TPC. Resolver 2.38 e 2.41

 Variavéis aleatórias contínuas: exerc. 2.32 (conclusão), 2.37 e 2.33 a) a c). TPC: exerc. 2.33 (conclusão), 2.36.

Definição de quantil de uma variável aleatória contínua e discreta.
O par aleatório (X,Y): definição e tipos de pares aleatórios que iremos estudar.
O par aleatório discreto, formalização: a função massa de probabilidade conjunta,
distribuição de probabilidades marginais e distribuição de probabilidades condicional. Resolução de um Exercício.
O par aleatório contínuo: função densidade de probabilidade conjunta. Função densidade de probabilidade marginal.
Resolução do exercício R2.20. Determinação das funções densidade marginais. A função densidade condicional.
TPC. Resolver 2.38 e 2.41

Cap.2 - Variáveis aleatórias.

Ex.: 2.28; 2.30; 2.32.a).

Cap.2 - Variáveis aleatórias.

Ex.: 2.28; 2.30; 2.32.a).

Cap.2 - Variáveis aleatórias.

Ex.: 2.28; 2.30; 2.32.a).

Definição de quantil de uma variável aleatória contínua e discreta.
O par aleatório (X,Y): definição e tipos de pares aleatórios que iremos estudar.
O par aleatório discreto, formalização: a função massa de probabilidade conjunta,
distribuição de probabilidades marginais e distribuição de probabilidades condicional. Resolução de um Exercício.
O par aleatório contínuo: função densidade de probabilidade conjunta. Função densidade de probabilidade marginal.
Resolução do exercício R2.20. Determinação das funções densidade marginais. A função densidade condicional
TPC. Resolver 2.38 e 2.41

Formulação do problema e das alíneas dos exercícios: 2.14; 2.17; 2.21.

Variáveis aleatórias e pares aleatórios: Ex. 2.26.

Formulação do problema e das alíneas dos exercícios: 2.14; 2.17; 2.21.

Variáveis aleatórias e pares aleatórios: Ex. 2.26.

Variáveis aleatórias discretas e contínuas. Continuação do estudo dos seus parâmetros:
o valor médio, a variância e o desvio padrão; suas propriedades; demonstração de algumas.
Exemplos de aplicação do cálculo daqueles parâmetros para os exercícios 2, 3 e 4 dos
slides de apoio às aulas teóricas.
Início de resolução do exercício 2.26
TPC: exercícios 2.30, com cálculo do valor médio e variância e 2.27 e 2.32.

Formulação do problema e das alíneas dos exercícios: 2.14; 2.17; 2.21.

Variáveis aleatórias e pares aleatórios: Ex. 2.26.

Resolução dos exercícios 2.16, 2.18 e 2.20
Variáveis aleatórias: resolução dos exercícios 2.23 e 2.26.
Indicações para a resolução do exercício 2.27.
TPC: 2.27, 2.30, 2.32 e 2.34

 Variáveis aleatórias discretas (conceitos de massa de probabilidade e função distribuição cumulativa, cálculo de probabilidades, valor esperado e variância e suas propriedades): exerc. 2.26, 2.28, 2.29. Variáveis aleatórias contínuas (conceitos de função densidade e função de distribuição cumulativa): 2.32 a) a c). TPC exerc. 2.32 (conclusão), 2.37.

Formulação do problema e das alíneas dos exercícios: 2.14; 2.17; 2.21.

Variáveis aleatórias e pares aleatórios: Ex. 2.26.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): correção do TPC (ex.2.20).

Introdução às variáveis aleatórias: definição e classificação; função massa de probabilidade e função distribuição cumulativa de uma v.a. discreta; propriedades destas funções; cálculo da média, variância e desvio padrão de uma v.a. discreta. Resolução dos exercícios 2.28, 2.26 a) b) c).

TPC: 2.27 e 2.29.

Variáveis aleatórias discretas e contínuas. Continuação do estudo dos seus parâmetros:
o valor médio, a variância e o desvio padrão; suas propriedades; demonstração de algumas.
Exemplos de aplicação do cálculo daqueles parâmetros para os exercícios 2, 3 e 4 dos
slides de apoio às aulas teóricas.
Início de resolução do exercício 2.26
TPC: exercícios 2.30, com cálculo do valor médio e variância e 2.27 e 2.32.

Variáveis aleatórias discretas e contínuas. Continuação do estudo dos seus parâmetros:
o valor médio, a variância e o desvio padrão; suas propriedades; demonstração de algumas.
Exemplos de aplicação do cálculo daqueles parâmetros para os exercícios 2, 3 e 4 dos
slides de apoio às aulas teóricas. Definição de quantil.
Início de resolução do exercício 2.26
TPC: exercícios 2.30, com cálculo do valor médio e variância e 2.27 e 2.32.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): correção do TPC (ex. 2.20).

Introdução às variáveis aleatórias: definição e classificação; função massa de probabilidade e função distribuição cumulativa de uma v.a. discreta; propriedades destas funções; cálculo da média, variância e desvio padrão de uma v.a. discreta. Resolução dos exercícios 2.28, 2.26 a) b).

TPC: 2.27 e 2.29.

 Variáveis aleatórias discretas (conceitos de massa de probabilidade e função distribuição cumulativa, cálculo de probabilidades, valor esperado e variância e suas propriedades): exerc. 2.26, 2.28, 2.29. Variáveis aleatórias contínuas (conceitos de função densidade e função de distribuição cumulativa): 2.32 a) a c). TPC exerc. 2.32 (conclusão), 2.37.

Cap. 2. - Introdução à Probabilidade.

Ex.: 2.18; 2.19; 2.20.

Realização do 1º Questionário.

Conclusão da revisão de Probabilidade de acontecimentos. Exercícios 2.17, 2.18, 2.19 e 2.20. TPC 2.26 e 2.37. Resolução do primeiro Questionário. TPC: Exerc. 2.26, 2.37.

Resolução dos exercícios 2.11, 2.12 e 2.15.
Realização do Primeiro Questionário
TPC: 2.20, 2.16, 2.23 e 2.26

Variáveis aleatórias (continuação).
Resolução dos exercício 2 e 3 dos slides das teóricas. Cálculo de probabilidades usando a função massa de probabilidade e a função densidade e usando a função de distribuição cumulativa.
Parâmetros de uma variável aleatória: o valor médio - definição  e  propriedades. O valor médio de uma função de uma variável aleatória. Definição de variância.
Cálculo do valor médio e da variância para o exemplo 2 do slide 73.

Conclusão da revisão de Probabilidade de acontecimentos. Exercícios 2.17, 2.18, 2.19 e 2.20. TPC 2.26 e 2.37. Resolução do primeiro Questionário. TPC: Exerc. 2.26, 2.37.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): partição de um espaço de resultados, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Correcção do TPC: ex. 2.14, 2.15.

Realização do 1º Questionário.

TPC: ex. 2.24 a 2.26.

Variáveis aleatórias (continuação).
Resolução dos exercício 2 e 3 dos slides das teóricas. Cálculo de probabilidades usando a função massa de probabilidade e a função densidade e usando a função de distribuição cumulativa.
Parâmetros de uma variável aleatória: o valor médio - definição  e  propriedades. O valor médio de uma função de uma variável aleatória. Definição de variância.
Cálculo do valor médio e da variância para o exemplo 2 do slide 73.

Cap. 2. - Introdução à Probabilidade: Teorema de Bayes.

Ex.: 2.18; 2.19; 2.20.

Realização do 1º Questionário.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): partição de um espaço de resultados, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Correcção do TPC: ex. 2.13, 2.14.

Realização do 1º Questionário.

TPC: ex. 2.24 a 2.26.

Cap. 2. - Introdução à Probabilidade: Teorema de Bayes.

Ex.: 2.12.c); 2.18; 2.19; 2.20.

Realização do 1º Questionário.

Cap. 2. - Introdução à Probabilidade: Teorema de Bayes.

Ex.: 2.12.c); 2.18; 2.19; 2.20.

Realização do 1º Questionário.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): partição de um espaço de resultados, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Correcção do TPC: ex. 2.10 c) d), 2.13, 2.14.

Realização do 1º Questionário.

TPC: ex. 2.24 a 2.26.

Variáveis aleatórias (continuação). Variáveis aleatórias continuas (caracterização).
Resolução dos exercício 2 e 3 dos slides das teóricas. Cálculo de probabilidades usando a função massa de probabilidade e a função densidade e usando a função de distribuição cumulativa.
Parâmetros de uma variável aleatória: o valor médio - definição.  
Cálculo do valor médio  para o exemplo 2 do slide 73.

Cap.2 - Introdução à Teoria da Probabilidade: probabilidade condicional, teorema das probabilidades compostas, teorema da probabilidade total.

Ex.: 2.9; 2.13; 2.12 [c) acabar em casa] .

Estatística dsscritiva a duas dimensões:ex. 1.33.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): noções preliminares, álgebra de acontecimentos, leis básicas da probabilidade, probabilidade condicional, acontecimentos independentes e acontecimentos mutuamente exclusivos. Resolução dos exercícios 2.1, 2.3, 2.7, 2.10 a) b) ii),

TPC: terminar ex. 2.10, 2.13, 2.14 e 2.20.

ATENÇÂO: contrariamente à informação transmitida hoje no final da aula por uma das alunas, o 1º questionário vai ter questões sobre Estatística Descritiva (capítulo 1) e sobre Introdução à Probabilidade (capítulo 2, exs. 2.1 - 2.22).

Cap.2 - Introdução à Probabilidade: probabilidade condicional, teorema das probabilidades compostas, teorema da probabilidade total.

Ex.: 2.9; 2.13; 2.12 8 [c) acabar em casa] .

Variáveis aleatórias. Tipos de variáveis aleatórias. A função distribuição cumulativa: definição e propriedades. Cálculo para um exemplo.
Variáveis aleatórias discretas: a função massa de probabilidade; propriedades. A função de distribuição cumulativa. Cálculo e representação gráfica para o exemplo 2 do slide 73.
Variáveis aleatórias contínuas: a função densidade, propriedades. A função distribuição cumulativa 
TPC: concluir a resolução do exemplo 2.

Cap.2 - Introdução à Probabilidade: probabilidade condicional, teorema das probabilidades compostas, teorema da probabilidade total.

Ex.: 2.9; 2.13; 2.12 [c) acabar em casa] .

Introdução à Teoria da Probabilidade (continuação-revisões): relação entre acontecimentos independentes e acontecimentos mutuamente exclusivos.
Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes.
Correcção do trabalho de casa: resolução dos exercícios 2.9, 2.10 e 2.11 (início).
TPC: concluir 2.11 e fazer 2.15

Revisões de Probabilidade de acontecimentos: independência e incompatibilidade de acontecimentos, probabilidade condicional, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Exercícios 2.7, 2.8, 2.10, 2.13 e 2.14. TPC: Exerc. 2.17, 2.18 e 2.20.

Cap.2 - Introdução à Probabilidade: probabilidade condicional, teorema das probabilidades compostas, teorema da probabilidade total.

Ex.: 2.9; 2.13; 2.12 .

Variáveis aleatórias (continuação). Revisão das propriedades da função distribuição cumulativa.
Variáveis aleatórias discretas: a função massa de probabilidade; propriedades. A função de distribuição cumulativa. Cálculo e representação gráfica para o exemplo 2 do slide 73.
Variáveis aleatórias contínuas: a função densidade, propriedades. A função distribuição cumulativa.  Exemplo 3 do slide 73 (início de resolução).
TPC: concluir a resolução dos exemplos 2 e 3.

Variáveis aleatórias (continuação). Revisão das propriedades da função distribuição cumulativa.
Variáveis aleatórias discretas: a função massa de probabilidade; propriedades. A função de distribuição cumulativa. Cálculo e representação gráfica para o exemplo 2 do slide 73.
Variáveis aleatórias contínuas: a função densidade, propriedades. A função distribuição cumulativa.  Exemplo 3 do slide 73 (início de resolução).
TPC: concluir a resolução dos exemplos 2 e 3.

Revisões de Probabilidade de acontecimentos: independência e incompatibilidade de acontecimentos, probabilidade condicional, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Exercícios 2.7, 2.8, 2.10, 2.13 e 2.14. TPC: Exerc. 2.17, 2.18 e 2.20.

Interpretação de output do R.

Ex. R1.10.

Cap.2 - Introdução à Probabilidade: acontecimentos certo e impossível; acontecimentos independentes e mutuamente exclusivos; Leis básicas das Probabilidades (revisão).

Ex.: 2.1; 2.3.

Estatística descritiva a duas dimensões com recurso ao R: exercícios R1.3 (resolução manual e com recurso ao R) e 1.32 (resolução com recurso ao R). Breve revisão dos conceitos de Probabilidade de acontecimentos: álgebra dos acontecimentos e leis básicas da probabilidade. Exerc. 2.1 e 2.3. TPC: exerc. 2.7, 2.8 e 2.10.

Revisões da resolução de exercícios no R: resolução do Ex R1.3.
Correcção dos exercícios 1.17,  1.33  e 2.5 (Introdução à Teoria da Probabilidade).
Definição dos conceitos de incompatibilidade e independência de dois acontecimentos. Relação entre esses conceitos.
TPC: Acabar de ler os slides até ao slide 63 e resolver Ex. 2.9, 2.10, 2.11 e 2.15

Resolução do exercício do slide 57.
Variáveis aleatórias. Tipos de variáveis aleatórias (definições)
A função de distribuição cumulativa: definição e propriedades. Obtenção da função de distribuição cumulativa para alguns exemplos de variáveis aleatórias discretas.
Variáveis aleatórias discretas: a função massa de probabilidade; propriedades.
TPC: Resolução do exemplo 2 do slide 73

Estatística descritiva a duas dimensões com recurso ao R: exercícios R1.3 (resolução manual e com recurso ao R) e 1.32 (resolução com recurso ao R). Breve revisão dos conceitos de Probabilidade de acontecimentos: álgebra dos acontecimentos e leis básicas da probabilidade. Exerc. 2.1 e 2.3. TPC: exerc. 2.7, 2.8 e 2.10.

Transformações lineares (afins) das variáveis e seus efeitos na média, variância, desvio padrão, covariância e coeficiente de correlação. Resolução dos exercícios 1.32 c) d) e 1.15 d). Noção de indicadores relativos de dispersão: o coeficiente de variação.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): noções preliminares, álgebra de acontecimentos, leis básicas da probabilidade. Resolução dos exercícios 2.1, 2.3,

TPC: resolver exs. 1.25, 2.2, 2.4, 2.5, 2.7, 2.13, 2.14.

Resolução do exercício do slide 57.
Variáveis aleatórias. Tipos de variáveis aleatórias (definições)
A função de distribuição cumulativa: definição e propriedades. Obtenção da função de distribuição cumulativa para alguns exemplos de variáveis aleatórias discretas.
Variáveis aleatórias discretas: a função massa de probabilidade; propriedades.
TPC: Resolução do exemplo 2 do slide 73.

Interpretação de output do R.

Ex. 1.12.a).

Cap.2 - Introdução à Probabilidade: acontecimentos certo e impossível; acontecimentos independentes e mutuamente exclusivos; Leis básicas das Probabilidades (revisão).

Ex.: 2.1; 2.3; 2.4; 2.5; 2.7.

Transformações lineares (afins) das variáveis e seus efeitos na média, variância, desvio padrão, covariância e coeficiente de correlação. Resolução dos exercícios 1.32 c) d) e 1.15 d). Noção de indicadores relativos de dispersão: o coeficiente de variação.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): noções preliminares, álgebra de acontecimentos, leis básicas da probabilidade. Resolução dos exercícios 2.1,

TPC: resolver exs. 1.25, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.13, 2.14.

Interpretação de output do R.

Ex. R1.10; 1.12.a).

Cap.2 - Introdução à Teoria da Probabilidade: acontecimentos certo e impossível; acontecimentos independentes e mutuamente exclusivos; Leis básicas das Probabilidades (revisão).

Ex.: 2.1; 2.3; 2.4.

Interpretação de output do R.

Ex. R1.10; 1.12.a).

Cap.2 - Introdução à Probabilidade: acontecimentos certo e impossível; acontecimentos independentes e mutuamente exclusivos; Leis básicas das Probabilidades (revisão).

Ex.: 2.1; 2.3; 2.4.

Introdução à aplicação R: indicadores numéricos (funções min, max, mean, median, quantile, var sd, IQR, cov, cor), função boxplot e plot. Transformações lineares (afins) das variáveis e seus efeitos na média, variância, desvio padrão, covariância e coeficiente de correlação. Resolução dos exercícios 1.32 e 1.15 d).

TPC: resolver exs. 1.25, 2.2, 2.4, 2.5, 2.7, 2.13, 2.14.

Capítulo II - Introdução à Teoria da Probabilidade: revisões -- espaço de resultados e acontecimentos. Operações com acontecimentos.
A definição de probabilidade de Laplace. A definição axiomática de probabilidade. Leis básicas da probabilidade.
Probabilidade condicional: definição. Probabilidade da intersecção de dois acontecimentos.
Definição de acontecimentos independentes; resultados associados.
Variável aleatória: definição, apresentação de um exemplo.

TPC: Ler os slides do capítulo II (de 48 a 58). Resolver exercício do slide 57 e demonstração do teorema do slide 59.

Mais funções do R: boxplot, cor, lm.

Interpretação de output do R. Ex. 1.25; 1.41.d).

Mais funções do R: boxplot, cor, lm.

Interpretação de output do R. Ex. 1.25; 1.41.d).

Estudo da "qualidade" da recta de regressão. O coeficiente de determinação: 
dedução e interpretação. Resolução do exercício 1.41, leitura de comandos do R.
Considerações finais sobre os conceitos "correlação" e "regressão". 

TPC: Concluir o exercício 1.41  e ler os slides do capítulo II (de 48 a 53).

Estatística descritiva a duas dimensões: conclusão do exerc. 1.25, exerc. 1.28, 1.29. 1.30 ,1.31 e R1.3 a). TPC: Conclusão do R1.3, exerc. 1.32 e 1.33.

Interpretação de output do R. Ex.  1.41.d); R1.10.

Capítulo II - Introdução à Teoria da Probabilidade: revisões -- espaço de resultados e acontecimentos. Operações com acontecimentos.
A definição de probabilidade de Laplace. A definição axiomática de probabilidade. Leis básicas da probabilidade.
Probabilidade condicional: definição. Probabilidade da intersecção de dois acontecimentos.
Definição de acontecimentos independentes; resultados associados.
Variável aleatória: definição, apresentação de um exemplo. Tipos de variáveis aleatórias.

TPC: Ler os slides do capítulo II (de 48 a 58). Resolver exercício do slide 57 e demonstração do teorema do slide 59.

Interpretação de output do R. Ex.  1.41.d); R1.10.

Capítulo II - Introdução à Teoria da Probabilidade: revisões -- espaço de resultados e acontecimentos. Operações com acontecimentos.
A definição de probabilidade de Laplace. A definição axiomática de probabilidade. Leis básicas da probabilidade.
Probabilidade condicional: definição. Probabilidade da intersecção de dois acontecimentos.
Definição de acontecimentos independentes; resultados associados.
Variável aleatória: definição, apresentação de um exemplo. Tipos de variáveis aleatórias.

TPC: Ler os slides do capítulo II (de 48 a 58). Resolver exercício do slide 57 e demonstração do teorema do slide 59.

Estatística descritiva a duas dimensões: conclusão do exerc. 1.25, exerc. 1.28, 1.29. 1.30 ,1.31 e R1.3 a). TPC: Conclusão do R1.3, exerc. 1.32 e 1.33.

Correcção do trabalho de casa: ex. 1.25; 1.29 e 1.40. Interpretação de output do R.
Estatística descritiva no R. Leitura de dados (a função read.table). Funções estatísticas.
Resolução no R do exercício 1.8c) e cálculo de indicadores.
TPC: Estudar os scripts do R colocados na página da UC. Ex. 1.17, 1.24, 1.39 e concluir 1.40

Estatística descritiva a uma e a duas dimensões. Introdução ao software R. Exerc. 1.15 e 1.19 com recurso ao R, 1.24  e  1.25 a) b) c) e d). TPC: 1.25 e) em diante.

Mais funções do R: boxplot, cor.

Interpretação de output do R. Ex.  1.25b)c)d)e)f)g)h).

Considerações finais sobre os conceitos "correlação" e "regressão". 
Resolução do exercício 1.41; leitura de output do R.
Introdução ao Capítulo II - referência breve ao conceitos de fenómeno aleatório,
experiência aleatória, espaço de resultados e acontecimentos. A álgebra dos acontecimentos.
TPC: Ler os slides do capítulo II (de 48 a 54). Resolver ex. 2.2

Introdução à aplicação R: indicadores numéricos (funções min, max, mean, median, quantile, var sd, IQR, cov, cor), função boxplot e plot. Resolução do ex. 1.32 a) b).

Estatística descritiva a duas dimensões: diagrama de dispersão, covariância, coeficiente de correlação.

TPC: ex. R1.3, 1.29, 1.33.

Estatística descritiva a uma e a duas dimensões. Introdução ao software R. Exerc. 1.15 e 1.19 com recurso ao R, 1.24  e  1.25 a) b) c) e d). TPC: 1.25 e) em diante.

Estudo da "qualidade" da recta de regressão. O coeficiente de determinação,
dedução e interpretação.
Considerações finais sobre os conceitos "correlação" e "regressão". 
Resolução do exercício 1.27, leitura de comandos do R.
Introdução ao Capítulo II - referência breve ao conceitos de fenómeno aleatório,
experiência aleatória. Espaço de resultados e acontecimentos. A álgebra dos acontecimentos.
TPC: Ler os slides do capítulo II (de 48 a 54). Resolver ex. 2.2

Mais funções do R: boxplot, cor.

Interpretação de output do R. Ex.  1.25b)c)d)e)f)g)h). 

Introdução à aplicação R: indicadores numéricos (funções min, max, mean, median, quantile, var sd, IQR, cov, cor), função boxplot e plot. Resolução do ex. 1.32 a) b).

Estatística descritiva a duas dimensões: diagrama de dispersão, covariância, coeficiente de correlação.

TPC: ex. R1.3, 1.29, 1.33.

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO): histograma de frequências relativas de dados agrupados em classes de diferente amplitude (altura de cada classe); barreiras inferior e superior, e candidatos a outlier; caixa de bigodes ou boxplot.

Estatística descritiva a duas dimensões: variável independente e variável dependente ou resposta.

Ex.  1.12b); 1.15a)b)c)d); 1.25a). 

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO): histograma de frequências relativas de dados agrupados em classes de diferente amplitude (altura de cada classe); barreiras inferior e superior, e candidatos a outlier; caixa de bigodes ou boxplot.

Estatística descritiva a duas dimensões: variável independente e variável dependente ou resposta.

Ex.  1.15b)c)d); 1.12; 1.25a). 

A regressão linear simples.
O método dos mínimos quadrados e a determinação dos coeficientes da recta.
O declive da recta dos mínimos quadrados, interpretação.
Resolução do exemplo apresentado no slide 36 usando o R.
TPC: Ex. 1.27 (conclusão); 1.40

Estatística descritiva a uma dimensão: Exercícios 1.12, 1.15, 1.17, 1.18, 1.22 e 1.23 a) b). Indicadores para dados agrupados, histogramas para dados agrupados em classes de amplitude variável. Interpretação de histogramas e boxplots. TPC: 1.15 e 1.19 com recurso ao software R.

Estatística descritiva a uma dimensão: continuação de cálculo de indicadores de localização e dispersão.
Boxplot. Barreira inferiror e superior, outliers.
Ex. 1.15, 1.12 e 1.19
TPC  1.25; 1.27; 1.29 e 1.40

 Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO): histograma de frequências relativas de dados agrupados em classes de diferente amplitude (altura de cada classe); barreiras inferior e superior, e candidatos a outlier; caixa de bigodes ou boxplot.

Estatística descritiva a duas dimensões: variável independente e variável dependente ou resposta.

Ex.  1.12b); 1.15a)b)c)d); 1.25a). 

A regressão linear simples.
O método dos mínimos quadrados e a determinação dos coeficientes da recta.
O declive da recta dos mínimos quadrados, interpretação.
O coeficiente de determinação, dedução e interpretação.
Resolução do exemplo apresentado no slide 36 usando o R.
TPC: Ex. 1.27 (conclusão); 1.40

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO): histograma de frequências relativas de dados agrupados em classes de diferente amplitude (altura de cada classe); barreiras inferior e superior, e candidatos a outlier; caixa de bigodes ou boxplot.

Estatística descritiva a duas dimensões: variável independente e variável dependente ou resposta.

Ex.  1.12b); 1.15a)b)c)d); 1.25a). 

A regressão linear simples.
O método dos mínimos quadrados e a determinação dos coeficientes da recta.
O declive da recta dos mínimos quadrados, interpretação.
O coeficiente de determinação, dedução e interpretação.
Resolução do exemplo apresentado no slide 36 usando o R.
TPC: Ex. 1.27 (conclusão); 1.40

Estatística descritiva a uma dimensão: Exercícios 1.12, 1.15, 1.17, 1.18, 1.22 e 1.23 a) b). Indicadores para dados agrupados, histogramas para dados agrupados em classes de amplitude variável. Interpretação de histogramas e boxplots. TPC: 1.15 e 1.19 com recurso ao software R.

Introdução à aplicação R. Principais funcionalidades do R: Leitura dos ficheiros "ovelhas.txt", "inquerito.csv", "Serras.RData" usando as funções - read.table, load.  Outras funções: round, seq, hist, table, plot, par, attach, detach.

Ex. 1.8c); 1.14a)b)c).

Revisão dos conceitos e métodos de Estatítica Descritiva a uma dimensão: construção de um histograma com classes da mesma amplitude e de amplitude variável. Cálculo de indicadores: média, mediana, quartis quando se usam todos os dados e quando  só se dispõe dos dados em tabelas.

O diagrama de extremos e quartis e o boxplot.

Resolução do ex. 1,8 c) e 1.15 para ilustrar a construção de tabelas e gráficos e cálculo daqueles indicadores. Ilustração com o R. Ex.1.10 (concuisão)

TPC: Ex. 1.8b); 1.12, 1.15 (conclusão), 1.19 e R1.12

Introdução ao software R: objetos, funções, operações com vectores, leitura de ficheiros. Funções table, plot, barplot, boxplot, hist. Objecto data.frame. Resolução dos exercícios 1.8a) e b) (para dados exactos e agrupados). Início da resolução do exerc. 1.15 (introdução dos dados). TPC: 1.15 (cálculo manual com dados agrupados, cálculo com dados exactos com recurso ao R).

Revendo a interpretação e propriedades da covariância. Demonstração. O coeficiente de correlação (de Pearson). Definição, interpretação e propriedades.

A regressão linear simples: construção da recta; a variável resposta, a variável regressora, 
os resíduos. Ilustração com o R. O método dos mínimos quadrados (apresentação). 
As fórmulas de cálculo dos coeficientes da recta dos mínimos quadrados. 

TPC: Para os dados do slide 36 calcular a recta dos mínimos quadrados. Resolver Ex. 1.27 a)--d).

Introdução à aplicação R: utilização da função scan para introdução de dados através da consola e para a leitura de ficheiros de dados; funções para o agrupamento de dados e sua representação gráfica: table, plot, hist; a função hist, os seus agrumentos, plot e breaks e acesso às componentes da lista de output. Ex. 1.8 a) b).

TPC: Confirmar resultados do agrupamento de dados com o R para os exercícios 1.8 b) e c); resolver ex. 1.11, 1.12, 1.13.

Introdução ao software R: objetos, funções, operações com vectores, leitura de ficheiros. Funções table, plot, barplot, boxplot, hist. Objecto data.frame. Resolução dos exercícios 1.8a) e b) (para dados exactos e agrupados). Início da resolução do exerc. 1.15 (introdução dos dados). TPC: 1.15 (cálculo manual com dados agrupados, cálculo com dados exactos com recurso ao R).

Revendo a interpretação e propriedades da covariância. Demonstração. O coeficiente de correlação (de Pearson). Definição, interpretação e propriedades.

A regressão linear simples: construção da recta; a variável resposta, a variável regressora, 
os resíduos. Ilustração com o R. O método dos mínimos quadrados (apresentação). 
As fórmulas de cálculo dos coeficientes da recta dos mínimos quadrados. 

TPC: Para os dados do slide 36 calcular a recta dos mínimos quadrados. Resolver Ex. 1.27 a)--d).

 Introdução à aplicação R. Principais funcionalidades do R: Leitura dos ficheiros "ovelhas.txt", "inquerito.csv", "Serras.RData" usando as funções - read.table, load.  Outras funções: round, seq, hist, table, plot, par, attach, detach.

Ex. 1.8c); 1.14a)b)c).

Introdução à aplicação R: utilização da função scan para introdução de dados através da consola e para a leitura de ficheiros de dados; funções para o agrupamento de dados e sua representação gráfica: table, plot, hist; a função hist, os seus agrumentos, plot e breaks e acesso às componentes da lista de output. Ex. 1.8 a) b).

TPC: Confirmar resultados do agrupamento de dados com o R para os exercícios 1.8 b) e c); resolver ex. 1.11, 1.12, 1.13.

 Introdução à aplicação R. Principais funcionalidades do R: Leitura dos ficheiros "ovelhas.txt", "inquerito.csv", "Serras.RData", "peras.dat" usando as funções - read.table, load, scan.  Outras funções: round, seq, hist, table, plot, par, attach, detach.

Ex. 1.8c); 1.14a)b); 1.16a)b).

 Introdução à aplicação R. Principais funcionalidades do R: Leitura dos ficheiros "ovelhas.txt", "inquerito.csv", "Serras.RData", "peras.dat" usando as funções - read.table, load, scan.  Outras funções: round, seq, hist, table, plot, par, attach, detach.

Ex. 1.8c); 1.14a)b); 1.16a)b).

Introdução à aplicação R: utilização da função scan para introdução de dados através da consola e para a leitura de ficheiros de dados; funções para o agrupamento de dados e sua representação gráfica: table, plot, hist; a função hist, os seus agrumentos, plot e breaks e acesso às componentes da lista de output. Ex. 1.8 a) b).

TPC: Confirmar resultados do agrupamento de dados com o R para os exercícios 1.8 b) e c); resolver ex. 1.11, 1.12, 1.13.

Revendo a interpretação e propriedades da covariância. Demonstração. O coeficiente de correlação (de Pearson). Definição, interpretação e propriedades.

A regressão linear simples: construção da recta; a variável resposta, a variável regressora, 
os resíduos. Ilustração com o R. O método dos mínimos quadrados (apresentação). 
As fórmulas de cálculo dos coeficientes da recta dos mínimos quadrados. 

TPC: Para os dados do slide 36 calcular a recta dos mínimos quadrados. Resolver Ex. 1.27 a)--d).

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO): Dados: natureza; descrição por - 1) tabela de frequências, 2)métodos gráficos, indicadores numéricos (de localização e de dispersão).

Diagrama de barras (dados quantitativos com um pequeno nº de valores distintos); Histograma (dados quantitativos discretos com um grande nº de valores distintos e dados quantitativos contínuos). Mediana aproximada (para dados agrupados).

Ex. 1.8a), b); 1.12a)c).

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO): Dados: natureza; descrição por - 1) tabela de frequências, 2) métodos gráficos, indicadores numéricos (de localização e de dispersão).

Diagrama de barras (dados quantitativos com um pequeno nº de valores distintos); Histograma (dados quantitativos discretos com um grande nº de valores distintos e dados quantitativos contínuos). Mediana aproximada (para dados agrupados).

Ex. 1.8a), b); 1.15a).

Estatística descritiva a uma dimensão: cálculo manual de medidas de localização e dispersão e representação gráfica de um conjunto de dados. Correcção do TPC: ex. 1.10 e 1.19.

TPC: dedução das diferentes fórmulas para o cálculo da variância; exercício 1.8 c) e respectivo histograma.

Utilização do software R no inicio da resolução do exercício do slide 36: cálculo das médias e variâncias.
A covariância: recordando a  definição e  interpretação. 

Revisão da propriedade da média e da variância quando os dados sofrem uma transformação afim. Dedução da propriedade da variância. A propriedade análoga para a covariância.

TPC. Deduzir as diferentes fórmulas de cálculo da covariância. Para o exercício do slide 36
calcular a covariância. Ex das folhas de práticas: 1.27 b),c).

Estatística descritiva a uma dimensão: revisão das medidas de localização (média e mediana) e de  dispersão (variância e desvio padrão). Definição e interpretação da variância. O coeficiente de variação.  Dedução das fórmulas de cálculo da variância. Propriedade da média e da variância quando os dados sofrem uma transformação afim. Dedução.

Conclusão do Ex  1.9 e resoluçaõ de 1.10.

TPC: conclusão de 1.10; 1.11; 1.8 b) c); 1.12 e 1.19

Estatística descritiva a uma dimensão [slides 15-30]: representação gráfica de dados (gráfico de barras e histograma), cálculo (manual) de indicadores de localização e de dispersão para dados exactos (média, moda, mediana e quantis; amplitude total e interquartil, variância e desvio padrão), utilizando os dados do Exerc. 1.8a). Propriedades da média e da variância. Demonstração da fórmula operacional da variância. Esboço de caixa de bigodes. Cálculo (manual) de indicadores de localização (média, moda, mediana e quantis) para dados agrupados com os dados do exerc. 1.8b). Exerc. 1.11.

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO): Dados: natureza; descrição por - 1) tabela de frequências, 2)métodos gráficos, indicadores numéricos (de localização e de dispersão).

Diagrama de barras (dados quantitativos com um pequeno nº de valores distintos); Histograma (dados quantitativos discretos com um grande nº de valores distintos e dados quantitativos contínuos). Mediana aproximada (para dados agrupados).

Ex. 1.8a), b); 1.12a)c).

Utilização do software R no inicio da resolução do exercício do slide 36: cálculo das médias e variâncias.
A covariância: definição e  interpretação. 

Revisão da propriedade da média, da variância e do desvio padrão quando os dados sofrem uma transformação afim. Propriedades das covariância. O coeficiente de correlação (de Pearson). Definição e propriedades.

TPC. Deduzir as diferentes fórmulas de cálculo da covariância. Para o exercício do slide 36
calcular a covariância e o coeficiente de correlação. Ex das folhas de práticas: 1.27 b),c).

Estatística descritiva a uma dimensão: cálculo manual de medidas de localização e dispersão e representação gráfica de um conjunto de dados. Correcção do TPC: ex. 1.10 e 1.19.

TPC: dedução das diferentes fórmulas para o cálculo da variância; exercício 1.8 c) e respectivo histograma.

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO): Dados: natureza; descrição por - 1) tabela de frequências, 2) métodos gráficos, indicadores numéricos (de localização e de dispersão).

Diagrama de barras (dados quantitativos com um pequeno nº de valores distintos); Histograma (dados quantitativos discretos com um grande nº de valores distintos e dados quantitativos contínuos). Mediana aproximada (para dados agrupados).

Ex. 1.8a), b);  1.12a)c).

Utilização do software R no inicio da resolução do exercício do slide 36: cálculo das médias e variâncias.
A covariância: definição e  interpretação. 

Revisão da propriedade da média, da variância e do desvio padrão quando os dados sofrem uma transformação afim. Propriedades das covariância. O coeficiente de correlação (de Pearson). Definição e propriedades.

TPC. Deduzir as diferentes fórmulas de cálculo da covariância. Para o exercício do slide 36
calcular a covariância e o coeficiente de correlação. Ex das folhas de práticas: 1.27 b),c).

Estatística descritiva a uma dimensão: cálculo manual de medidas de localização e dispersão e representação gráfica de um conjunto de dados. Correcção do TPC: ex. 1.10 e 1.19.

TPC: dedução das diferentes fórmulas para o cálculo da variância; exercício 1.8 c) e respectivo histograma.

Estatística descritiva a uma dimensão [slides 15-30]: representação gráfica de dados (gráfico de barras e histograma), cálculo (manual) de indicadores de localização e de dispersão para dados exactos (média, moda, mediana e quantis; amplitude total e interquartil, variância e desvio padrão), utilizando os dados do Exerc. 1.8a). Propriedades da média e da variância. Demonstração da fórmula operacional da variância. Esboço de caixa de bigodes. Cálculo (manual) de indicadores de localização (média, moda, mediana e quantis) para dados agrupados com os dados do exerc. 1.8b). Exerc. 1.11. TPC: cálculo dos indicadores para os dados exactos do exerc. 1.8b) com recurso ao software R.

Breve revisão sobre os indicadores de localização e dispersão [slides 15-17, 19-22,25]. Introdução ao software R (abertura da sessão, descarga de ficheiros de dados, objectos, principais funções, vantagens da utilização do script). Criação e manipulação de vectores com recurso ao software. Exerc. 1.1. TPC Demonstração da fórmula operacional da variância.

Introdução à aplicação R no ambiente RStudio. Criação de scripts. Principais funcionalidades do R: atribuição, criação de vectores, operações aritméticas, utilização de algumas funções, geração de sequências com o operador : . Revisão de indicadores de localização (média, mediana). A função mean e median do R. Exercício 1.1. Diferença entre ficheiros de dados (.RData) e scripts (.R).

Introdução à aplicação R. Principais funcionalidades do R: atribuição; criação de vetores; operações aritméticas; funções - c, mean, median, sort, length, min, max, summary, quantile, var, sd.

Ex. 1.1.

Revisão de conceitos da Estatística descritiva a uma dimensão: natureza dos dados e
construção de tabelas de frequências para dados de natureza contínua e discreta.
O diagrama de barras e o histograma. A média e a variância de uma amostra de dados. As fórmulas de cálculo da variância.
Estatística Descritiva a duas dimensões: interesse e objectivos; tabela de contingência
e diagrama de dispersão. Interpretação. Médias e variâncias marginais.

TPC: Deduzir as fórmulas de cálculo da variância.
Calcular médias e variâncias marginais para o exemplo do slide 36.

Breve revisão sobre os indicadores de localização e dispersão [slides 15-17, 19-22,25]. Introdução ao software R (abertura da sessão, descarga de ficheiros de dados, objectos, principais funções, vantagens da utilização do script). Criação de vectores, importação de dados, cálculo de tabelas de frequências e de alguns indicadores de localização e dispersão com recurso ao software. Exerc. 1.1 e 1.8a). TPC Demonstração da fórmula operacional da variância, exerc. 1.8b) e c).

Introdução à aplicação R no ambiente RStudio. Criação de scripts. Principais funcionalidades do R: atribuição, criação de vectores, operações aritméticas, utilização de algumas funções, geração de sequências com o operador : . Revisão de indicadores de localização (média, mediana). A função mean e median do R. Exercício 1.1. Diferença entre ficheiros de dados (.RData) e scripts (.R).

Revisão de conceitos da Estatística descritiva a uma dimensão: natureza dos dados e
construção de tabelas de frequências para dados de natureza contínua e discreta.
O diagrama de barras e o histograma. A média e a variância de uma amostra de dados. As fórmulas de cálculo da variância.
Estatística Descritiva a duas dimensões: interesse e objectivos; tabela de contingência
e diagrama de dispersão. Interpretação. Médias e variâncias marginais.

TPC: Deduzir as fórmulas de cálculo da variância.
Calcular médias e variâncias marginais para o exemplo do slide 36.

Introdução à aplicação R no ambiente RStudio. Criação de scripts. Principais funcionalidades do R: atribuição, criação de vectores, operações aritméticas, utilização de algumas funções, geração de sequências com o operador : . Revisão de indicadores de localização (média, mediana). A função mean e median do R. Exercício 1.1. Diferença entre ficheiros de dados (.RData) e scripts (.R).

Introdução à aplicação R. Principais funcionalidades do R: atribuição; criação de vetores; operações aritméticas; funções - c, mean, median, sort, length, min, max, summary, quantile, var, sd.

Ex. 1.1.

Introdução à aplicação R. Principais funcionalidades do R: atribuição; criação de vetores; operações aritméticas; funções - c, mean, median, sort, length, min, max, summary, quantile, var, sd.

Ex. 1.1.

Introdução à aplicação R no ambiente RStudio. Criação de scripts. Principais funcionalidades do R: atribuição, criação de vectores, operações aritméticas, utilização de algumas funções, geração de sequências com o operador : . Revisão de indicadores de localização (média, mediana). A função mean e median do R. Exercício 1.1. Diferença entre ficheiros de dados (.RData) e scripts (.R).

Introdução à aplicação R. Principais funcionalidades do R: atribuição; criação de vetores; operações aritméticas; funções - c, mean, median, sort, length, min, max, summary, quantile, var, sd.

Ex. 1.1.

Revisão de conceitos da Estatística descritiva a uma dimensão: natureza dos dados e
construção de tabelas de frequências para dados de natureza contínua e discreta.
O diagrama de barras e o histograma. A média e a variância de uma amostra de dados. As fórmulas de cálculo da variância.
Estatística Descritiva a duas dimensões: interesse e objectivos; tabela de contingência
e diagrama de dispersão. Interpretação. Médias e variâncias marginais.
A covariância: definição e  interpretação.

TPC: Deduzir as fórmulas de cálculo da variância.
Calcular médias, variâncias e covariâncias para o exemplo do slide 36.

Revisão de somatórios. Ex. 1.9.

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO): população, unidade estatística, variável, amostra, dados (exemplo). Natureza/Tipo da variável. Ex.1.7.

Estatística descritiva a uma dimensão: natureza das variáveis (e respectivos dados); organização dos dados em Tabelas de Frequência. Exercícios 1.7, 1.8 a). Revisão de somatórios. Exercícios 1.9 a) c), 1.10 a).

TPC: Exs. 1.8 b), 1.9 b) d) , 1.10 b) a f), 1.19

Revisão de somatórios. Ex. 1.9.

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO): população, unidade estatística, variável, amostra, dados (exemplo). Natureza/Tipo da variável. Ex. 1.7.

Apresentação. Objectivos, programa e normas de avaliação da UC.
Estatística Descritiva a uma dimensão. Os conceitos de população, unidade estatística, amostra, variável e dado estatístico.
Dados de natureza qualitativa e quantitativa (discreta e contínua).
Estudo do exercício do slide 13.

Informações aos alunos: os assuntos tratados na Estatística descritiva a uma dimensão serão objecto de revisão efectuada apenas nas aulas práticas [slides 12-30]

TPC:. 1.7, 1.8 a) b), 1.9, 1.10, 1.11

Estatística descritiva a uma dimensão: população, variáveis, unidades estatísticas,
amostra, dados. Natureza dos dados; organização dos dados em tabelas de frequências
absoluta, relativa e relativa acumulada. Construção de classes.
Estudo dos exemplos 1. e 2. dos slides 13 e 15.
Exercícios 1.7, 1.8 a) b) - início. Revisão de somatórios. Exercício 1.9 a)

TPC: Exs. 1.9 e 1,8 b) (concluir)

Estatística descritiva a uma dimensão [slides 11 a 14]: natureza dos dados, tabela de frequências (revisão). Propriedades dos somatórios (revisão). Cálculo de alguns indicadores (média). Exerc. 1.7, 1.8 a), 1.9, 1.10. TPC: Exerc.1.19 e 1.15.

Revisão de somatórios. Ex. 1.9.

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO): população, unidade estatística, variável, amostra, dados (exemplo). Natureza/Tipo da variável. Ex. 1.7.

Apresentação. Objectivos, programa e normas de avaliação da UC.
Estatística Descritiva a uma dimensão. Os conceitos de população, unidade estatística, amostra, variável e dado estatístico.
Dados de natureza qualitativa e quantitativa (discreta e contínua).
Interpretação da tabela de frequências do slide 14.

Informações aos alunos: os assuntos tratados na Estatística descritiva a uma dimensão serão objecto
de revisão efectuada apenas nas aulas práticas [slides 12-30]

TPC:. 1.7, 1.8 a) b), 1.9, 1.10, 1.11

Estatística descritiva a uma dimensão: natureza das variáveis (e respectivos dados); organização dos dados em Tabelas de Frequência. Exercícios 1.7, 1.8 a). Revisão de somatórios. Exercícios 1.9 a) c), 1.10 a).

TPC: Exs. 1.8 b), 1.9 b) d) , 1.10 b) a f), 1.19.

Revisão de somatórios. Ex. 1.9.

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO): população, unidade estatística, variável, amostra, dados (exemplo). Natureza/Tipo da variável. Ex. 1.7.

Apresentação. Objectivos, programa e normas de avaliação da UC.
Estatística Descritiva a uma dimensão. Os conceitos de população, unidade estatística, amostra, variável e dado estatístico.
Dados de natureza qualitativa e quantitativa (discreta e contínua).
Interpretação da tabela de frequências do slide 14.

Informações aos alunos: os assuntos tratados na Estatística descritiva a uma dimensão serão objecto
de revisão efectuada apenas nas aulas práticas [slides 12-30]

TPC:. 1.7, 1.8 a) b), 1.9, 1.10, 1.11

Algumas informações sobre o funcionamento da UC e normas de avaliação.

Estatística descritiva a uma dimensão: natureza das variáveis (e respectivos dados); organização dos dados em Tabelas de Frequência. Exercícios 1.7, 1.8 a).Revisão de somatórios. Exercícios 1.9 a) c), 1.10 a) b).

TPC: Exs. 1.8 b), 1.9 b) d) , 1.10 c) a f), 1.19.

Estatística descritiva a uma dimensão [slides 11 a 14]: natureza dos dados, tabela de frequências (revisão). Propriedades dos somatórios (revisão). Cálculo de alguns indicadores (média). Exerc. 1.7, 1.8 a), 1.9, 1.10. TPC: Exerc.1.19 e 1.15.