Esclarecimento de dúvidas para o 2º teste.

Revisões (aula leccionada por outro docente).

Resolução de exercícios.

Esclarecimento de dúvidas para o 2º teste.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Revisões.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios de revisão e esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios de revisão e esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios.

Revisões (aula leccionada por outro docente).

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

(aula dada em conjunto com a turma 7)

Formulação e resolução de problemas de programação linear.

Resolução do 2º teste de 2013/14.

Resolução de exercícios.

Revisões.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

resolução de exercícios.

Formulação e resolução de problemas de programação linear.

Resolução de exercícios

Correção do TPC.

Exercícios de revisão.

Resolução de exercícios.

Formulação e resolução de problemas de programação linear.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Conclusão da matéria para o 2º teste. Resolução de exercícios sobre PL.

Correcção dos trabalhos de casa. Revisões. 

Conclusão da matéria para o 2º teste. Resolução de exercícios sobre PL.

Formulação e resolução de problemas de programação linear.

FERIADO

Correcção dos trabalhos de casa. Revisões. 

.

Feriado nacional.

Correcção dos trabalhos de casa. Introdução à Programação Linear: forma standard e solução básica admissível. 

Correspondência entre vértice do poliedro de admissibilidade e solução básica admissível do problema na forma standard. Exemplos e resolução de

 exercícios.

Formulação e resolução de problemas de programação linear.

Correspondência entre vértice do poliedro de admissibilidade e solução básica admissível do problema na forma standard. Exemplos e resolução de

 exercícios.

Formulação e resolução de problemas de programação linear.

Correcção dos trabalhos de casa. Introdução à Programação Linear: forma standard e solução básica admissível. 

Forma standard. Variáveis de folga. Soluções básicas admissíveis.

Resolução de exercícios.

Forma standard de um problema de PL.

Definição e determinação das soluções básicas admissíveis de um problema de PL.

Exercícios de aplicação.

Formulação e resolução de problemas de programação linear.

Forma standard. Variáveis de folga. Soluções básicas admissíveis.

Resolução de exercícios.

Forma standard. Variáveis de folga. Soluções básicas admissíveis.

Exercícios.

Forma standard. Variáveis de folga. Soluções básicas admissíveis.

Exercícios.

Programação linear: alguma terminologia, formulação e resolução de problemas de PL (com duas variáveis). Forma standard e variável de folga. Exemplos.

Correcção dos trabalhos de casa. Introdução à Programação Linear: resolução dos problemas do ponto de vista geométrico. 

Programação linear: alguma terminologia, formulação e resolução de problemas de PL (com duas variáveis). Forma standard e variável de folga. Exemplos.

Programação linear. Região e soluções admissíveis. Solução óptima. Resolução gráfica.

Resolução de exercícios.

Forma standard. Variáveis de folga. Soluções básicas admissíveis.

Exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Introdução à Programação Linear: resolução dos problemas do ponto de vista geométrico. 

Programação linear. Região e soluções admissíveis. Solução óptima. Resolução gráfica.

Resolução de exercícios.

Exercícios de PL - formulação e resolução geométrica.

Correcção dos trabalhos de casa. Introdução à programação linear: formulações.

Resolução de exercícios

Programação linear. Região e soluções admissíveis. Solução óptima.

Resolução gráfica de um PPL.

Resolução de exercícios

Programação linear. Região e soluções admissíveis. Solução óptima.

Resolução gráfica de um PPL.

Correcção dos trabalhos de casa. Introdução à programação linear: formulações.

Traço e determinante de uma matriz e relação com os valores próprios. Subespaços próprios.  Multiplicidade algébrica e geométrica.

Resolução de exercícios.

Introdução à Programação Linear.

Exercícios de aplicação.

Programação linear. Região e soluções admissíveis. Solução óptima.

Resolução gráfica de um PPL.

Traço e determinante de uma matriz e relação com os valores próprios. Subespaços próprios.  Multiplicidade algébrica e geométrica.

Resolução de exercícios.

Valores e vectores próprios. Definição. Polinómio característico.

Algumas propriedades de valores e vectores próprios.

Resolução de exercícios.

Algumas propriedades dos valores e vectores próprios.

Resolução de exercícios.

Traço e determinante de uma matriz e sua relação com o conjunto dos valores próprios da matriz. Subespaço próprio e  multiplicidade geométrica. Algumas propriedades. Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Valores e vectores próprios e propriedades.

Traço e determinante de uma matriz e sua relação com o conjunto dos valores próprios da matriz. Subespaço próprio e  multiplicidade geométrica. Algumas propriedades. Resolução de exercícios.

Valores e vectores próprios. Polinómio característico.

Resolução de exercícios.

Algumas propriedades dos valores e vectores próprios.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Valores e vectores próprios e propriedades.

Valores e vectores próprios. Polinómio característico.

Resolução de exercícios.

Valores próprios e vetores próprios - exercícios de aplicação.

Correcção dos trabalhos de casa. Propriedades dos determinantes (conclusão). Produto externo e propriedades.

Conclusão da matéria sobre o produto externo. Valores e vetores próprios. Polinómio característico de uma matriz e multiplicidade algébrica de um valor próprio. Exemplos

Resolução de exercícios.

Conclusão da matéria sobre o produto externo. Valores e vetores próprios. Polinómio característico de uma matriz e multiplicidade algébrica de um valor próprio. Exemplos

Valores e vectores próprios. Definição. Polinómio característico.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Propriedades dos determinantes (conclusão). Produto externo e propriedades.

Produto externo e produto misto de vectores.

Resolução de exercícios.

Definição de valores próprios e de vetores próprios de uma matriz (quadrada). Subespaço próprio e polinómio característico. Propriedades.

Exercícios de aplicação.

Valores e vectores próprios. Definição. Polinómio característico.

Resolução de exercícios.

Produto externo e produto misto de vectores.

Resolução de exercícios.

Produto externo e produto misto de vectores. Definição e propriedades.

Resolução de exercícios.

Produto externo e produto misto de vectores. Definição e propriedades.

Resolução de exercícios.

Correçao do TPC. Conclusão da matéria da aula anterior. Determinantes: motivação, regra de Sarrus e de Laplace. Propriedades. Cálculo do determinante usando o método de redução de matrizes de Gauss.

Correcção dos trabalhos de casa. Determinantes: Teorema de Laplace e propriedades.

Correção do TPC. Conclusão da matéria da aula anterior. Método de ortogonalização de Gram-Schmidt. Determinantes: motivação, regra de Sarrus e de Laplace. Propriedades.

Motivação. Regra de Sarrus e de Laplace. Cálculo de determinantes usando o método de redução de matrizes de Gauss.

Produto externo e produto misto de vectores. Definição e propriedades.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Determinantes: Teorema de Laplace e propriedades.

Motivação. Regra de Sarrus e de Laplace. Cálculo de determinantes usando o método de redução de matrizes de Gauss.

Produto externo e produto misto de vetores.

Exercícios de aplicação.

Matriz de projeção. Projeção sobre a base ortogonal de um subespaço. Método de ortogonalização de Gram-Schmidt. Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Determinantes. Definição e propriedades. Regra de Sarrus. Complementos algébricos. Regra de Laplace.

Resolução de exercícios.

Cálculo da projeção usando as equações normais. Matriz de projeção. Correção de exercícios.

Determinantes. Definição e propriedades. Regra de Sarrus. Complementos algébricos. Regra de Laplace.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Projeção de um vetor sobre um subespaço conhecida uma base ortogonal/ortonormada. Método de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Resolução de exercícios.

Determinantes.

Exercícios de aplicação.

Determinantes. Definição e propriedades. Regra de Sarrus. Complementos algébricos. Regra de Laplace.

Resolução de exercícios.

Projeção de um vetor sobre um subespaço conhecida uma base ortogonal/ortonormada. Método de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Resolução de exercícios.

Distância de um vector a um subespaço.

Projecção de um vector sobre um subespaço conhecida uma base ortogonal/ortonormada.

Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Resolução de exercícios.

Distância de um vetor a um subespaço. Projeção ortogonal  pelo "método das bases"  e usando as equações normais.  Resolução de exercícios.

Projecção de um vector sobre um subespaço conhecida uma base ortogonal/ortonormada.

Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Determinação da projecção ortogonal pelo método da matriz de projecção. Projecção ortogonal sobre um subespaço de dimensão 1. Projecção ortogonal sobre um vector.

Projeção ortogonal - método das bases (continuação da aula anterior). Projeção sobre uma reta e sobre um vetor. Resolução de exercícios.

Distância de um vetor a um subespaço vetorial. Projeção ortogonal pelo "método das bases" e pelo método das equações normais.

Resolução de exercícios.

Projecção de um vector sobre um subespaço conhecida uma base ortogonal/ortonormada.

Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Determinação da projecção ortogonal pelo método da matriz de projecção. Projecção ortogonal sobre um subespaço de dimensão 1. Projecção ortogonal sobre um vector.

Distância de um vetor a um subespaço vetorial. Projeção ortogonal pelo "método das bases" e pelo método das equações normais.

Resolução de exercícios.

Procedimentos para determinar a projeção ortogonal de um vetor sobre um espaço.

Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Exercícios de aplicação.

Correcção dos trabalhos de casa. Complemento ortogonal do espaço nulo. Projecção ortogonal. Distância de um vector a um subespaço. Determinação da projecção ortogonal pelo método das bases.

Aula dada pelo Professor Adelino Paiva.

Equações normais. Matriz de projecção.

Resolução de exercícios.

Aula dada pela Prof. Isabel Martins

Distância de um vector a um subespaço.

Equações normais. Matriz de projecção.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Complemento ortogonal do espaço nulo. Projecção ortogonal. Distância de um vector a um subespaço. Determinação da projecção ortogonal pelo método das bases.

Propriedades do complemento ortogonal e teorema de dimensão.

Resolução de exercícios.

Projeção ortogonal de um vetor sobre um vetor e sobre um espaço vetorial de dimensão 1.

Relações entre um subespaço e o seu complemento ortogonal.

Projecção ortogonal. Projecção de um vector sobre um vector e sobre um subespaço.

Resolução de exercícios.

Distância de um vector a um subespaço.

Equações normais. Matriz de projecção.

Resolução de exercícios.

Propriedades do complemento ortogonal e teorema de dimensão.

Resolução de exercícios.

Projeção ortogonal de um vetor sobre um vetor e sobre um espaço vetorial de dimensão 1.

Relações entre um subespaço e o seu complemento ortogonal.

Projecção ortogonal. Projecção de um vector sobre um vector e sobre um subespaço.

Resolução de exercícios.

Relações entre um subespaço e o seu complemento ortogonal.

Projecção ortogonal. Projecção de um vector sobre um vector e sobre um subespaço.

Resolução de exercícios.

Conjunto ortogonal e ortonormal de vetores. Independência linear de um conjunto ortogonal de vetores não nulos. Noção de complemento ortogonal a um subespaço vetorial. Determinação do complemento ortogonal a um subespaço vetorial a partir de um conjunto de geradores desse subespaço. Complemento ortogonal ao espaço das colunas de uma  matriz. Exemplos.

Conjunto ortogonal e ortonormal. Independência linear de um conjunto ortogonal de vectores não nulos. Vetor ortogonal a um subespaço vetorial. Complemento ortogonal. Complemento ortogonal de um espaço gerado. Alguns resultados associados ao complemento ortogonal. Mais exercícios de ortogonalidade em https://fenix.isa.ulisboa.pt/qubEdu/disciplinas/alglin/2014-2015/1-semestre/lateral/outros-materiais-pedagogicos/turmas-6,-9 no ficheiro MaisExerciciosdeprojeccoes.pdf.

Conjunto ortogonal e ortonormal de vetores. Independência linear de um conjunto ortogonal de vetores não nulos. Noção de complemento ortogonal a um subespaço vetorial. Determinação do complemento ortogonal a um subespaço vetorial a partir de um conjunto de geradores desse subespaço. Complemento ortogonal ao espaço das colunas de uma  matriz. Exemplos.

Conjuntos de ortogonais / ortonormais de vetores. Ortogonalidade e independência linear. Vetor ortogonal a um subespaço vetorial. Cálculo do complemento ortogonal conhecendo um conjunto de geradores do subespaço vetorial. Complemento ortogonal do espaço das colunas de uma matriz. Exemplos.

Conjunto ortogonal e ortonormal. Independência linear de um conjunto ortogonal de vectores não nulos. Vetor ortogonal a um subespaço vetorial. Complemento ortogonal. Complemento ortogonal de um espaço gerado. Alguns resultados associados ao complemento ortogonal. Mais exercícios de ortogonalidade em https://fenix.isa.ulisboa.pt/qubEdu/disciplinas/alglin/2014-2015/1-semestre/lateral/outros-materiais-pedagogicos/turmas-6,-9 no ficheiro MaisExerciciosdeprojeccoes.pdf.

Relações entre um subespaço e o seu complemento ortogonal.

Projecção ortogonal. Projecção de um vector sobre um vector e sobre um subespaço.

Resolução de exercícios.

Conjuntos de ortogonais / ortonormais de vetores. Ortogonalidade e independência linear. Vetor ortogonal a um subespaço vetorial. Cálculo do complemento ortogonal conhecendo um conjunto de geradores do subespaço vetorial. Complemento ortogonal do espaço das colunas de uma matriz. Exemplos.

Uma resolução do teste.

Definição de complemento ortogonal de um espaço vetorial.

Exercícios de aplicação

Revisões.

Esclarecimento de dúvidas  para o 1º teste de Álgebra Linear

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Esclarecimento de dúvidas e resolução de exercícios de revisão para o 1º teste de Álgebra Linear

Revisões.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Revisão da matéria dada / resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios de revisão sobre a matéria do 1º teste de Álgebra Linear

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Revisões.

Resolução de exercícios.

Revisão da matéria dada / resolução de exercícios.

Produto interno, norma, vetores unitários, lei do coseno, ângulo entre vetores, ortogonalidade, desigualdade de Cauchy-Schwartz e desigualdade triangular.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Revisões.

Produto interno, norma, vetores unitários, lei do coseno, ângulo entre vetores, ortogonalidade, desigualdade de Cauchy-Schwartz e desigualdade triangular.

Resolução de exercícios.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz e desigualdade triangular.

Definição de ângulo entre 2 vetores de R^m.

Definição de conjunto de vetores ortogonal e ortonormal. Independência linear de qualquer conjunto de vetores não  nulos ortogonal. Definição de vetor ortogonal a um subespaço vetorial.

TPC - Exercícios 21 (1. a 6.)

Norma, produto interno e ângulo. Exercícios. Mais exercícios de espaços vetoriais em https://fenix.isa.ulisboa.pt/qubEdu/disciplinas/alglin/2014-2015/1-semestre/lateral/outros-materiais-pedagogicos/turmas-6,-9 no ficheiro MaisExerciciosdeespacosvetoriais.pdf .

Vetores (norma, distância, produto interno, ortogonalidade e ângulo). Resolução de exercícios

Resolução de exercícios.

Conjuntos ortogonais e ortonormais de vectores. Ortogonalidade e independência. Vector ortogonal a um subespaço.

Resolução de exercícios.

Vetores (norma, distância, produto interno, ortogonalidade e ângulo). Resolução de exercícios.

Conjuntos ortogonais e ortonormais de vectores. Ortogonalidade e independência. Vector ortogonal a um subespaço. Complemento ortogonal.

Resolução de exercícios.

Escrever espaço nulo como espaço gerado e vice-versa. Norma, produto interno e ângulo. Mais exercícios de espaços vetoriais em https://fenix.isa.ulisboa.pt/qubEdu/disciplinas/alglin/2014-2015/1-semestre/lateral/outros-materiais-pedagogicos/turmas-6,-9 no ficheiro MaisExerciciosdeespacosvetoriais.pdf .

Resolução de exercícios.

Norma, distãncia e produto interno. Definição de dois vetores ortogonais.

Exercícios de aplicação e de revisão.

Conjuntos ortogonais e ortonormais de vectores. Ortogonalidade e independência. Vector ortogonal a um subespaço. Complemento ortogonal.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Norma, distância e produto interno. Propriedades. Produto interno e ortogonalidade. Angulo de dois vectores. Desigualdades de Cauchy-Schwarz e triangular.

Resolução de exercícios.

Norma, distância e produto interno. Propriedades. Produto interno e ortogonalidade. Angulo de dois vectores. Desigualdades de Cauchy-Schwarz e triangular.

Resolução de exercícios.

Conclusão da matéria de EVs (condições para  um conjunto de vetores definir uma base de Rⁿ). Resolução de exercícios de EVs.

Correcção dos trabalhos de casa. Determinação de bases de um subespaço vectorial sabendo a sua dimensão. Ampliação de um conjunto independente até constituir uma base.

Resolução de exercícios.

Conclusão da matéria de EVs (condições para  um conjunto de vetores definir uma base de Rⁿ). Resolução de exercícios de EVs.

Característica de uma matriz e teoremas de dimensão.

Resolução de exercícios.

Norma, distância e produto interno. Propriedades. Produto interno e ortogonalidade. Angulo de dois vectores. Desigualdades de Cauchy-Schwarz e triangular.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Determinação de bases de um subespaço vectorial sabendo a sua dimensão. Ampliação de um conjunto independente até constituir uma base.

Característica de uma matriz e teoremas de dimensão.

Resolução de exercícios.

Teoremas envolvendo a característica de uma matriz.

Correcção do TPC.

Correcção dos trabalhos de casa. Base de espaço nulo. Base de espaço gerado. Relação entre as dimensões do espaço nulo e do espaço gerado.

Conclusão da aula anterior. Relação entre a dimensões dos espacos nulos e das colunas de uma matriz. 

Resolução de exercícios.

Base e dimensão de um subespaço vetorial.

Resolução de exercícios.

Base para os espaços nulo e das colunas de uma matriz. Relação entre as dimensões destes subespaços (nulidade e característica de uma matriz). Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Base de espaço nulo. Base de espaço gerado. Relação entre as dimensões do espaço nulo e do espaço gerado.

Resolução de exercícios.

Base e dimensão de um subespaço vetorial.

Resolução de exercícios.

Dimensão de um subespaço vetorial. Característica de uma matriz.

Resultados relacionados com dimensão e característica.

TPC: Exercícios 20 (1 a 13)

Resolução de exercícios.

Subespaços vetoriais. Subespaço gerado por um conjunto de vetores. Espaço das colunas de uma matriz. Espaço nulo de uma matriz.

Resolução de exercícios.

Base e dimensão de um espaço vectorial. Construção de bases para o espaço nulo e para o espaço das colunas de uma matriz. Teorema das dimensões.

Resolução de exercícios.

Base e dimensão de um espaço vectorial. Construção de bases para o espaço nulo e para o espaço das colunas de uma matriz. Teorema das dimensões.

Resolução de exercícios.

Independência linear (conclusão). Base e dmensão de um subespaço. Base para o espacos nulo e das colunas de uma matriz.

Correcção dos trabalhos de casa. Independência e dependência linear. Base.

Subespaços vetoriais. Subespaço gerado por um conjunto de vetores. Espaço das colunas de uma matriz. Espaço nulo de uma matriz.

Resolução de exercícios.

Independência linear. Base e dimensão de um subespaço.

Dependência e independência linear.

Resolução de exercícios.

Base e dimensão de um espaço vectorial. Construção de bases para o espaço nulo e para o espaço das colunas de uma matriz. Teorema das dimensões.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Independência e dependência linear. Base.

Dependência e independência linear.

Resolução de exercícios.

Correcção do TPC.

Definição de conjunto de vetores linearmente independente.

Definição de base de um subespaço vetorial. Algoritmos para determinar uma base do espaço nulo de uma matriz e uma base do espaço das colunas de uma matriz.

Exercícios de aplicação.

TPC: Ex. 16.1, 16.3b), 18.1

Correção do TPC (exerc 12). Combinação linear de vetores. Espaço nulo e das colunas de uma matriz. Independência linear. TPC: exercícios 14., 15., 16.1-3

Correcção dos trabalhos de casa. Combinação linear. Espaço gerado.

Espaço gerado e espaço das colunas de uma matriz.

Dependência e independencia linear.

Resolução de exercícios.

Matriz inversa e sistemas com parâmetros: resolução de exercícios.

Correção do TPC. Combinação linear de vetores. Espaço nulo e das colunas de uma matriz. TPC: exercícios 14.

Espaço gerado e espaço das colunas de uma matriz.

Dependência e independencia linear.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Combinação linear. Espaço gerado.

Matriz inversa. Propriedades. Cálculo da inversa.

Resolução de exercícios.

Resolução do exercício 14.1

Definição de espaço gerado por um conjunto de vetores.

TPC: exercícios 14.2, 14.3, 14.4, 14.5

Espaço gerado e espaço das colunas de uma matriz.

Dependência e independencia linear.

Resolução de exercícios.

Matriz inversa. Propriedades. Cálculo da inversa.

Resolução de exercícios.

Espaços e subespaços vectoriais.

Espaço nulo de uma matriz.

Combinação linear de vectores.

Resolução de exercícios.

Espaços e subespaços vectoriais. Exemplos

O espaço nulo de uma matriz.

Combinação linear de vectores.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC (exercício 11.7 e exercícios da ficha suplementares). Determinação da expressão de um vetor b como combinação linear da colunas de uma matriz A via soluções do sistema Ax=b. Conceito de subespaço vetorial de R^_n: propriedades e exemplos. TPC exercício 12

Subespaço vectorial. Espaço nulo. Resolução de exercícios. Ver em https://fenix.isa.ulisboa.pt/qubEdu/disciplinas/alglin/2014-2015/1-semestre/lateral/outros-materiais-pedagogicos/turmas-6,-9 o ficheiro FechadoAdicaoProdutoEscalar.pdf .

Correção do TPC (exercício 11.2-4 e 11.7 e exercícios da ficha suplementares). Determinação da expressão de um vetor b como combinação linear da colunas de uma matriz A via soluções do sistema Ax=b.

Sistemas com parâmetros. Resolução simultânea de sistemas.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Subespaço vectorial. Espaço nulo. Resolução de exercícios. Ver em https://fenix.isa.ulisboa.pt/qubEdu/disciplinas/alglin/2014-2015/1-semestre/lateral/outros-materiais-pedagogicos/turmas-6,-9 o ficheiro FechadoAdicaoProdutoEscalar.pdf .

Espaços e subespaços vectoriais. Exemplos

O espaço nulo de uma matriz.

Combinação linear de vectores.

Resolução de exercícios.

Sistemas com parâmetros. Resolução simultânea de sistemas.

Resolução de exercícios.

Definição de subespaço vetorial.

Definição de espaço nulo de uma matriz.

Definição de combinação linear de vetores e de espaço das colunas de uma matriz.

Algoritmo para determinação do espaço das colunas de uma matriz.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa.

Correção do TPC (exerc. 3.4, 6.2, 6.3, 9 , 11.1-4). Propriedades do sistema homogéneo e sua relação com a  invertibilidade da matriz de coeficientes. Resolução de exercícios  sobre invertibilidade de uma ficha suplementar

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC. (exerc. 3.2, 3.4, 6.2, 6.3, 9 e 11.1). Propriedades do sistema homogéneo e sua relação com a  invertibilidade da matriz de coeficientes.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa.

Transposição de matrizes e propriedades. Matrizes simétricas e antissimétricas. Sistemas de equações lineares. Método de eliminação de Gauss e matriz ampliada. Classificação de sistemas.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Transposição de matrizes e propriedades. Matrizes simétricas e antissimétricas. Sistemas de equações lineares. Método de eliminação de Gauss e matriz ampliada. Classificação de sistemas.

Resolução de exercícios.

Matrizes simétricas e anti simétricas.

Equações matriciais e equações vectoriais.

Resolução de exercícios.

Algorítmo e propriedades da inversa. Invertibilidade e característica de uma matriz. Correção do TPC.  TPC: resolver os restantes exercícios até ao exercício 11 (inclusivé, excepto 11.5)

Matrizes simétricas e anti simétricas.

Equações matriciais e equações vectoriais.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Procedimento alternativo ao método de Gauss para resolver o sistema Ax=b em que A é uma matriz quadrada invertível. Em Anexo,  https://fenix.isa.ulisboa.pt/qubEdu/disciplinas/alglin/2014-2015/1-semestre/lateral/outros-materiais-pedagogicos/turmas-6,-9, Exercícios de sistemas com parâmetros e Método alternativo a Gauss.

Algorítmo e propriedades da inversa. Invertibilidade e característica de uma matriz. Correção do TPC.  TPC: resolver os restantes exercícios até ao exercício 11 (inclusivé, excepto 11.5)

Apresentação da disciplina e métodos de avaliação.

Definição e motivação de matriz. Igualdade de matrizes. Operações com matrizes, motivação e propriedades: adição, multiplicação por um escalar e produto. Exemplos onde falha a comutatividade do produto e a lei do anulamento do produto. Terminologia: matriz linha, matriz coluna, matriz retangular, matriz quadrada, triangular superior, triangular inferior, diagonal e identidade. Definição de matriz inversa.

Resolução de exercícios.

Matrizes simétricas e anti simétricas.

Equações matriciais e equações vectoriais.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Cálculo da inversa e propriedades. Anexo Mais exercícios de inversas e Exercícios de sistemas com parâmetros em
https://fenix.isa.ulisboa.pt/qubEdu/disciplinas/alglin/2014-2015/1-semestre/lateral/outros-materiais-pedagogicos/turmas-6,-9
(ver também Método de Gauss e Procedimento inversa).
 

Apresentação da disciplina e métodos de avaliação.

Definição e motivação de matriz. Igualdade de matrizes. Operações com matrizes, motivação e propriedades: adição, multiplicação por um escalar e produto. Exemplos onde falha a comutatividade do produto e a lei do anulamento do produto. Terminologia: matriz linha, matriz coluna, matriz retangular, matriz quadrada, triangular superior, triangular inferior, diagonal e identidade. Definição de matriz inversa.

Resolução de exercícios.

Matriz inversa - propriedades.

Método de eliminação de Gauss. Determinação da inversa. Propriedades da inversa. Ver Método de Gauss, Procedimento inversa e Mais exercícios de inversas em https://fenix.isa.ulisboa.pt/qubEdu/disciplinas/alglin/2014-2015/1-semestre/lateral/outros-materiais-pedagogicos/turmas-6,-9

Correção do TPC (exerc. 2,3,4). Equivalência entre sistemas lineares e equações matriciais do tipo Ax=b. Extensão a equações matriciais AX=B com B com k colunas e resolução simultânea de k sistemas lineares. Noção de matriz inversa. Exemplos. TPC: exerc 4.3, 4.4, 6 e 9

Potencia de uma matriz quadrada.

Matriz inversa. Propriedades da inversa.

Propriedades da transposta.

Cálculo de inversas.

Correção do TPC (exerc. 2,3,4). Equivalência entre sistemas lineares e equações matriciais do tipo Ax=b. Extensão a equações matriciais AX=B com B com k colunas e resolução simultânea de k sistemas lineares. Noção de matriz inversa. Exemplos. TPC: exerc 4.3, 4.4, 6 e 9

Potencia de uma matriz quadrada.

Matriz inversa. Propriedades da inversa.

Propriedades da transposta.

Cálculo de inversas.

Método de eliminação de Gauss. Determinação da inversa.

A turma só abriu na 2ª fase

Igualdade de matrizes.

Equações matriciais e sistemas de equações. Interpretação geométrica. Definição de rectas e planos.

Sistemas homogeneos.

Discussão de sistemas com parâmetros.

Potencia de uma matriz quadrada.

Matriz inversa. Propriedades da inversa.

Propriedades da transposta.

Cálculo de inversas.

Resolução de equações matriciais.

A turma só abriu na 2ª fase

Resolução de sistemas pelo método de Gauss. Sistemas homogéneos. Discussão de sistemas com parâmetros. Resolução simultânea de sistemas.

Resolução de sistemas pelo método de Gauss. Sistemas homogéneos. Discussão de sistemas com parâmetros. Resolução simultânea de sistemas.

Método de redução de matrizes de Gauss (conclusão). Exemplos. Discussão de sistemas com parâmetros. Resolução dos exercícios 1.1, 1.2 e 3.1a)b)c). TPC resolver os exercícios 2. 4. e restantes do 3.

Correcção dos trabalhos de casa. Matriz inversa (continuação). Resolução de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss.

Método de redução de matrizes de Gauss (conclusão). Exemplos. Discussão de sistemas com parâmetros. Resolução dos exercícios 1.1, 1.2 e 3.1a). TPC resolver os exercícios 2. 4. e restantes do 3.

A turma só abriu na 2ª fase

Correcção dos trabalhos de casa. Matriz inversa (continuação). Resolução de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss.

Resolução de sistemas pelo método de Gauss. Sistemas homogéneos. Discussão de sistemas com parâmetros. Resolução simultânea de sistemas.

A turma só abriu na 2ª fase

Sistemas de equações lineares (de m equações a n variáveis). Interpretação geométrica no plano (R²) e no espaço (R³).

Revisão dos princípios de equivalência de sistemas de equações.

Método de eliminação de Gauss para resolução de sistemas de equações lineares (notação: matriz ampliada).

Classificação dos sistemas de equações lineares quanto à solução com base no sistema em escada equivalente. Discussão de sistemas de equações lineares com parâmetros.

Correcção dos trabalho de casa. Operações algébricas com matrizes: produto de matrizes, potência de expoente natural e inversa. Propriedades do produto de matrizes.

Correção do TPC. Generalidades sobre equações lineares (definição, conjunto de soluções e interpretação geométrica para equações com 2 e 3 variáveis). Sistemas de equações lineares (caso dos sistemas 2x2, 2x3 e 3x3 e respectiva interpretação geométrica). Sistemas equivalentes. Matriz ampliada de um sistema. Operações elementares sobre as equações/linhas de um sistema/matriz. Ilustração do método de redução de matrizes de Gauss num exemplo. TPC: exercícios 1 e 2.

Matrizes e sistemas de equações lineares. Interpretação geométrica da resolução de sistemas com duas e três variáveis. Matriz ampliada de um sistema. Operações elementares sobre matrizes. Método de Gauss. Classificação de sistemas.

Correção do TPC. Generalidades sobre equações lineares (definição, conjunto de soluções e interpretação geométrica para equações com 2 e 3 variáveis). Sistemas de equações lineares (caso dos sistemas 2x2, 2x3 e 3x3 e respectiva interpretação geométrica). Sistemas equivalentes. Matriz ampliada de um sistema. Operações elementares sobre as equações/linhas de um sistema/matriz. Ilustração do método de redução de matrizes de Gauss num exemplo. TPC: exercícios 1 e 2.

Matrizes e sistemas de equações lineares. Interpretação geométrica da resolução de sistemas com duas e três variáveis. Matriz ampliada de um sistema. Operações elementares sobre matrizes. Método de Gauss. Classificação de sistemas.

Correcção dos trabalho de casa. Operações algébricas com matrizes: produto de matrizes, potência de expoente natural e inversa. Propriedades do produto de matrizes.

A turma só abriu na 2ª fase

Produto de matrizes. Propriedades do produto de matrizes.

Matrizes e sistemas de equações lineares. Interpretação geométrica da resolução de sistemas com duas e três variáveis. Matriz ampliada de um sistema. Operações elementares sobre matrizes. Método de Gauss. Classificação de sistemas.

A turma só abriu na 2ª fase

Apresentação da disciplina.

Matrizes: linha, coluna, quadrada, tringular superior e inferior, diagonal, identidade, em escada e reduzida. Igualdade de matrizes. Operações com matrizes: soma, produto por um escalar, transposição.

Produto de matrizes. Propriedades do produto de matrizes.

Apresentação da disciplina.

Matrizes: linha, coluna, quadrada, tringular superior e inferior, diagonal, identidade, em escada e reduzida. Igualdade de matrizes. Operações com matrizes: soma, produto por um escalar, transposição.

Produto de matrizes. Propriedades do produto de matrizes.

Apresentação da Unidade Curricular. Matrizes: terminologia, alguns tipos especiais de matrizes, operações com matrizes (transposição, adição, produto por um escalar e produto) e propriedades. TPC: exercícios 5 e 7

Apresentação da unidade curricular. Operações com matrizes e suas propriedades: transposta, soma de matrizes e produto escalar. Produto de matrizes: caso particular, produto de uma matriz por um vetor. Anexo: em Mais exercícios de matrizes e vetores .(MaisExerciciosdematrizesevetores.pdf)

Apresentação da Unidade Curricular. Matrizes: terminologia, alguns tipos especiais de matrizes, operações com matrizes (transposição, adição, produto por um escalar e produto) e propriedades. TPC: exercícios 5, 7 e 8

A turma só abriu na 2ª fase

Apresentação da disciplina.

Matrizes: linha, coluna, quadrada, tringular superior e inferior, diagonal, identidade, em escada e reduzida. Igualdade de matrizes. Operações com matrizes: soma, produto por um escalar, transposição.

Produto de matrizes. Propriedades do produto de matrizes.

Apresentação da unidade curricular. Operações com matrizes e suas propriedades: transposta, soma de matrizes e produto escalar. Produto de matrizes: caso particular, produto de uma matriz por um vetor. Anexo: em Mais exercícios de matrizes e vetores (MaisExerciciosdematrizesevetores.pdf)

A turma só abriu na 2ª fase

Apresentação da Unidade Curricular.

Matrizes: terminologia, operações com matrizes (transposição, adição, produto por um escalar) e propriedades.