Esclarecimento de dúvidas.

Esclarecimento de dúvidas.

Esclarecimento de dúvivas.

Não houve aula, por o 2º teste (e último) ter sido realizado na semana anterior.

Esclarecimento de dúvidas

Esclarecimento de dúvidas.

Aula para esclarecimento de dúvidas

Esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios.

Esclarecimento de dúvidas.

Esclarecimento de dúvidas.

Não houve aula, por o 2º teste (e último) ter sido realizado na semana anterior.

Esclarecimento de dúvidas para o 2º teste.

Revisões.

Resolução de exercícios de revisão.

Resolução de exercícios.

Revisões.

Resolução do teste de Álgebra Linear de 16/12/2016.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios de revisão.

Programação linear. Soluções básicas admissíveis. Resolução de exercícios.

Resolução de exercicios.

Resolução do teste de Álgebra Linear de 16/12/2016.

Revisões.

Resolução de exercícios.

Resolução de alguns exercícios de programação linear e de alguns exercícios do 2º teste do ano lectivo anterior.

Resolução de exercícios.

Revisões. Resolução do 2º teste de 2016-2017.

Resolução de problemas.

Revisões. resolução do 2º teste de 2016-2017.

Formulação e resolução de problemas de programação linear.

Formulação e resolução de problemas de programação linear.

Revisões.

Forma standard. Variáveis de folga. Soluções básicas admissíveis. Exercícios.

Correção do TPC. Noção de solução básica admissível. Correspondência entre vértices do poliedro do PPL original e as soluções básicas admissíveis do problema na forma standard. Resolução do PPL do 2º teste do ano lectivo anterior.

 

Correcção dos trabalhos de casa. Resolução gráfica de problemas em PL com duas variáveis.Vértices da região admissível. Forma standard. Solução básica admissível.

Formulação e resolução de problemas de programação linear.

Forma standard. Variáveis de folga. Soluções básicas admissíveis. Exercícios.

Programação linear. Resolução de exercícios.

Formulação de problemas de Programação linear. Região e soluções admissíveis. Resolução gráfica de um PPL com 2 variáveis. Forma standard. Variáveis de folga. Exercícios.

Forma standard. Variáveis de folga. Soluções básicas admissíveis. Exercícios.

Formulação e resolução de problemas de programação linear.

Correcção dos trabalhos de casa. Resolução gráfica de problemas em PL com duas variáveis.Vértices da região admissível. Forma standard. Solução básica admissível.

Programação linear. Região e soluções admissíveis. Resolução gráfica de um PPL. Resolução de exercícios.

Programação linear. Região e soluções admissíveis. Resolução gráfica de um PPL. Resolução de exercícios.

Correção do TPC sobre produto e produto misto. Formulação de problemas de programação linear. Determinação de uma solução ótima pesquisando os vértices da região admissível no caso de um problema de duas variáveis. Forma standard de um PPL.

TPC: exercícios 26 (pág. 89) e 27 (pág. 96), alíneas 1, 2 e 4.

Correcção dos trabalhos de casa. Formulações em PL. 

Programação linear.

Região e soluções admissíveis.

Solução óptima.

Resolução gráfica.

Forma standard.

Variáveis de folga.

Soluções básicas admissíveis.

Resolução de exercícios.

Formulação e resolução de problemas de programação linear. Forma standard. Variáveis de folga. Soluções básicas admissíveis. Exercícios.

Programação linear. Região e soluções admissíveis. Resolução gráfica de um PPL. Resolução de exercícios.

Programação linear.

Região e soluções admissíveis.

Solução óptima.

Resolução gráfica.

Forma standard.

Variáveis de folga.

Soluções básicas admissíveis.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Formulações em PL. Resolução gráfica de problemas em PL com duas variáveis.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Programação linear: Introdução e formulações.

Traço e determinante de uma matriz e relação com os valores próprios.

Multiplicidade algébrica e geométrica.

Resolução de exercícios.

Valores próprios e vetores próprios. Exercícios. Programação linear. Região admissível, soluções admissíveis. Resolução gráfica para um problema com 2 variáveis. Exercício 27.2 pg 97.

Algumas propriedades dos valores e vectores próprios. Resolução de exercícios.

Valores próprios e vetores próprios. Polinómio característico. Subespaço próprio associado a um valor próprio. Propriedades. Exercícios.

Traço e determinante de uma matriz e relação com os valores próprios.

Multiplicidade algébrica e geométrica.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Valores e vectores prórios: definição, determinação dos valores próprios de uma matriz quadrada, determinação dos vectores próprios associados a um valor próprio, propriedades dos valores próprios.

Valores e vectores próprios. Definição. Polinómio característico. Espaço próprio associado a um valor próprio. Algumas propriedades dos valores e vectores próprios. Resolução de exercícios.

Valores e vectores próprios. Definição. Polinómio característico. Espaço próprio associado a um valor próprio. Resolução de exercícios.

Polinómio característico e multiplicidade algébrica. Subespaço próprio e multiplicidade geométrica. Relação entre os valores próprios de uma matriz, e o traço e determinante dessa matriz. Resolução de exercícios.

TPC: concluir todos os exercícios das fichas adicionais sobre projeção ortogonal e produto externo e misto. Concluir a resolução das alíneas do exercício 30 e as alíneas do exercício 31, 1a)b), 4a) e 7b). 

Valores e vectores próprios.

Subespaços próprios.

Polinómio característico.

Resolução de exercícios.

Valores próprios e vetores próprios. Propriedades. Exercícios.

Valores e vectores próprios. Definição. Polinómio característico. Espaço próprio associado a um valor próprio. Algumas propriedades dos valores e vectores próprios. Resolução de exercícios.

Valores e vectores próprios.

Subespaços próprios.

Polinómio característico.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Valores e vectores prórios: definição, determinação dos valores próprios de uma matriz quadrada, determinação dos vectores próprios associados a um valor próprio, propriedades dos valores próprios.

Correcção dos trabalhos de casa. Determinantes: prooriedades dos determinantes. Cálculo dos determinantes pelo método de Gauss-fase descendente. Relação entre o valor do determinante e a existência de inversa. Produto externo e propriedades.

Determinante do produto de matrizes e da inversa de uma matriz. Noção de produto externo de vetores. Aplicação do determinante ao cálculo do produto externo e misto de vetores. Noções de vetor e valor próprio de uma matriz.

Produto externo. Produto misto. Exercícios. Definição de vetores próprios e valores próprios. Exercícios.

Produto externo e produto misto de vectores. Propriedades. Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Determinantes: prooriedades dos determinantes. Cálculo dos determinantes pelo método de Gauss-fase descendente. Relação entre o valor do determinante e a existência de inversa. Produto externo e propriedades.

Produto externo e produto misto de vectores.

Resolução de exercícios.

Produto externo e produto misto de vectores. Propriedades. Resolução de exercícios.

Produto externo. Produto misto. Exercícios. Valores próprios e vetores próprios. Polinómio característico. Subespaço próprio associado a um valor próprio. Exercícios.

Determinantes. Propriedades. Regra de Sarrus. Complemento algébrico. Regra de Laplace. Exercícios.

Produto externo e produto misto de vectores.

Resolução de exercícios.

Produto externo e produto misto de vectores. Propriedades. Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Determinantes: definição pelo teorema de Lapalace; propriedades.

Determinantes. Propriedades. Regra de Sarrus. Complemento algébrico. Regra de Laplace. Resolução de exercícios.

Determinantes. Propriedades. Regra de Sarrus. Complemento algébrico. Regra de Laplace. Resolução de exercícios.

Método de ortogonalização de Gram-Schmidt (conclusão). Resolução de exercícios. Noção de determinante de uma matriz e sua relação com a invertibilidade. Regra de Sarrus e de Laplace. Cálculo do determinante usando o método de Gauss.

Determinantes.

Definição, propriedades, e interpretação geométrica.

Regra de Sarrus e de Laplace. Cálculo de determinantes usando o método de redução de matrizes de Gauss.

Resolução de exercícios.

Determinantes. Propriedades. Regra de Sarrus. Complemento algébrico. Regra de Laplace. Resolução de exercícios.

Determinantes. Propriedades. Regra de Sarrus. Complemento algébrico. Regra de Laplace. Exercícios.

Determinantes.

Definição, propriedades, e interpretação geométrica.

Regra de Sarrus e de Laplace. Cálculo de determinantes usando o método de redução de matrizes de Gauss.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Determinantes: definição pelo teorema de Lapalace; propriedades.

Correcção dos trabalhos de casa. Conjuntos ortogonais de vectores. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Correção do TPC. Matriz de projeção. Projeção de um vetor  sobre um subespaço obtida como soma das projeções do vetor nos vetores de uma base ortogonal desse subespaço. Ideia do método de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Método de ortogonalização de Gram-Schmidt. Exercícios: 12, 14, 11 pg 79.

Método de Gram Schmidt para construção de bases ortogonais. Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Conjuntos ortogonais de vectores. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Método de ortogonalização de Gram-Schmidt. Exercícios: 12, 14, 11 pg 79.

Resolução de exercícios.

Método de Gram Schmidt para construção de bases ortogonais. Resolução de exercícios.

Projecção ortogonal. Projecção de um  vetor sobre um subespaço. Equações normais. Projecção de um vetor sobre um vetor. Matriz de projecção. Exrercícios 25.2; 25.4a)c); 25.8; 25.12a)

Método de Gram Schmidt para construção de bases ortogonais. Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Cálculo da projecção de um vector sobre um subespaço: método da matriz de projecção e método da base ortogonal. Projecção de um vector sobre um subespaço com dimensão 1.

Resolução de exercícios.

Equações normais. Matriz de projecção. Projecção de um vector sobre um subespaço conhecida uma base ortogonal. Resolução de exercícios.

Equações normais. Matriz de projecção. Projecção de um vector sobre um subespaço conhecida uma base ortogonal. Resolução de exercícios.

Correção do TPC. Vetor à menor distância de um subespaço e distância entre um vetor e um subespaço. Método das equações normais e matriz de projeção.

Equações normais. Matriz de projecção. Projecção de um vector sobre um subespaço conhecida uma base ortogonal. Resolução de exercícios.

Projecção ortogonal. Projecção de um  vetor sobre um subespaço. Equações normais. Projecção de um vetor sobre um vetor. Matriz de projecção. Exrercícios 25.2; 25.4a)c); 25.8; 25.12a).

Matriz de projeção.

Projeção de um vetor sobre um subespaço vetorial conhecida uma base ortogonal.

Método de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Cálculo da projecção de um vector sobre um subespaço: método da matriz de projecção e método da base ortogonal. Projecção de um vector sobre um subespaço com dimensão 1.

Matriz de projeção.

Projeção de um vetor sobre um subespaço vetorial conhecida uma base ortogonal.

Método de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Projecção ortogonal, Definição e cálculo. Método das bases.

Correção do TPC. Noção de projeção ortogonal de um vetor sobre um subespaço. Método das bases. Caso particular da projeção sobre um  subespaço de dimensão um.

Projecção ortogonal. Projecção de um  vetor sobre um subespaço. Exrercícios 24 pag 74; 25.4b); 25.3.

Projecção ortogonal. Projecção de um vector sobre um vector. Projecção de um vector sobre um subespaço - método das bases. Distância de um vector a um subespaço. Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Projecção ortogonal, Definição e cálculo. Método das bases e método da matriz de projecção.

Projecção ortogonal. Projecção de um  vetor sobre um subespaço. Exrercícios 24 pag 74; 25.4b); 25.3.

Projecção ortogonal. Projecção de um vector sobre um vector. Projecção de um vector sobre um subespaço - método das bases. Distância de um vector a um subespaço. Resolução de exercícios.

Projeção ortogonal.

Distância de um vetor a um subespaço vetorial.

Projeção sobre um vetor e sobre um subespaço vetorial de dimensão 1.

Método das bases.

Resolução de exercícios.

Ortogonalidade. Complemento ortogonal de um subespaço. Exercícios 22 pg 67; 23.1 pg 69 - texto de apoio.

Projecção ortogonal. Projecção de um vector sobre um vector. Projecção de um vector sobre um subespaço - método das bases. Distância de um vector a um subespaço. Resolução de exercícios.

Projeção ortogonal.

Distância de um vetor a um subespaço vetorial.

Projeção sobre um vetor e sobre um subespaço vetorial de dimensão 1.

Método das bases.

Resolução de exercícios.

Complemento ortogonal.

Conjuntos de vectores ortogonais e ortonormais. Ortogonalidade e independência. Vector ortogonal a um subespaço. Complemento ortogonal. Resolução de exercícios.

Conjuntos de vectores ortogonais e ortonormais. Ortogonalidade e independência. Vector ortogonal a um subespaço. Complemento ortogonal. Resolução de exercícios.

Conjunto ortogonal e ortonormal de vetores. Relação entre ortogonalidade e independência linear de vetores. Vetor ortogonal a um subespaço e complemento ortogonal. Propriedades. Complemento ortogonal ao espaço das colunas de uma matriz.

Conjuntos de vectores ortogonais e ortonormais. Ortogonalidade e independência. Vector ortogonal a um subespaço. Complemento ortogonal. Resolução de exercícios.

Ortogonalidade. Complemento ortogonal de um subespaço. Exercícios 22 pg 67; 23.1 pg 69 - texto de apoio.

Conjuntos ortogonais e ortonormais de vetores.

Ortogonalidade e independência linear.

Vetor ortogonal a um subespaço vetorial.

Complemento ortogonal.

Resolução de exercícios.

Conjuntos ortogonais e ortonormais de vetores.

Ortogonalidade e independência linear.

Vetor ortogonal a um subespaço vetorial.

Complemento ortogonal.

Resolução de exercícios.

Complemento ortogonal.

Revisões.

 

Esclarecimento de dúvidas para o 1º teste.

Exercícios de revisão.

Resolução de exercícios.

Revisões.

 

Resolução do 1º teste de 2016.

Resolução de exercícios.

Exercícios de revisão.

Resolução do teste de Álgebra Linear de 04/11/2016.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Conclusão da matéria sobre produto interno, norma, dist^ancia e ângulo de vetores e resolução de exercícios. Resolução do 1º teste A do ano lectivo anterior.

Correcção dos trabalhos de casa.

Resolução de exercicios.

Resolução de exercícios.

Resolução do 1º teste de 2016. Exercícios variados de cálculo matricial.

Resolução do teste de Álgebra Linear de 04/11/2016.

Correcção dos trabalhos de casa. Relação entre um sistemas linear e a característica da matriz ampliada que o representa. Relação entre a invertibilidade de uma matriz quadrada e a sua característica.

Correcção dos trabalhos de casa. Norma, produto interno e ângulo entre dois vectores não nulos.

Resolução de exercícios sobre espaços vetoriais.  Produto interno, norma, versor, distância e ângulo de vetores. Desigualdades triangular e de Schwarz.

Norma, distância e produto interno. Propriedades. Produto interno e ortogonalidade. Angulo
de dois vectores. Desigualdade de Cauchy Schwarz e desigualdade triangular. Exercícios 21, pg 64 e 65 do texto de apoio.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Norma, produto interno e ângulo entre dois vectores não nulos.

Resolução de exercícios.

Norma, propriedades da norma, distância entre dois vetores, e vetores unitários.

Produto interno, propriedades do produto interno, ângulo entre dois vetores, ortogonalidade.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz, e triangular.

Norma, distância e produto interno. Propriedades. Produto interno e ortogonalidade. Angulo
de dois vectores. Desigualdade de Cauchy Schwarz e desigualdade triangular. Exercícios 21, pg 64 e 65 do texto de apoio.

Base e dimensão de um subespaço vetorial. Característica de uma matriz. Exercícios variados de cálculo matricial: 5. Exercícios do texto de apoio: 20.1; 20.2; 20.3; 20.4.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Classificação de um sistema linear Ax_b com base na característica da matriz A. Estudo da invertibilidade de uma matriz quadrada A com base na sua característica.

Norma, propriedades da norma, distância entre dois vetores, e vetores unitários.

Produto interno, propriedades do produto interno, ângulo entre dois vetores, ortogonalidade.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz, e triangular.

Norma, distância, produto interno. Propriedades. Produto interno e ortogonalidade. Angulo de dois vectores. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Resolução de exercícios.

Norma, distância, produto interno. Propriedades. Produto interno e ortogonalidade. Angulo de dois vectores. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios e consolidação da matéria sobre espaços vetoriais. 

TPC: concluir todas as alíneas até ao exercício 20.13 (excepto alíneas 20.6 e 20.7). Ficha de exercícios variados sobre espaços vetoriais que se encontra na secção Material de apoio extra.

Base e dimensão de um subespaço vetorial. Característica de uma matriz. Exercícios variados de cálculo matricial: 5. Exercícios do texto de apoio: 20.4 a) b); 20.5.

Norma, distância, produto interno. Propriedades. Produto interno e ortogonalidade. Angulo de dois vectores. Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Dimensão de um subespaço vetorial e característica de uma matriz.

Teoremas da dimensão.

Correcção dos trabalhos de casa. Referência a alguns resultados que envolvem a dimensão de um subespaço (conjuntos de vectores do subespaço com mais elementos do que a dimensão são linearmente dependentes e com menos elementos do que a dimensão não geram o subespaço),

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Forma standard de determinar uma base para o espaço nulo. Dimensão de um subespaço vectorial. Reação entre as dimensões do espaço nuloe e do espaço das colunas. Determinação de uma base de um subepaço, conhecendo a sua dimensão. . 

Conclusão da matéria sobre espaços vetoriais e resolução de exercícios.

TPC: concluir a resolução dos exercícios até ao fim da secção sobre espaços vetoriais, excepto 16.4, 18.3, 20.6, 20.7, 20.10 e 20.13

Base e dimensão de um espaço vetorial. Base para o espaço das colunas e base para o espaço nulo de uma matriz. Exerc 18.1, 18.2 pg 51.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa.  Base de um subespaço vectorial. Forma standard de determinar uma base para o espaço gerado ou espaço das colunas.

Correcção TPC exer 16.2 pg 46. Base e dimensão de um espaço vetorial. Base para o espaço das colunas e base para o espaço nulo de uma matriz. Exerc 18.1, 18.2 pg 51.

Construção de bases para o espaço nulo e espaço das colunas de uma matriz. Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Base de um espaço vetorial.

Cáculo de bases para o espaço nulo e para o espaço das colunas de uma matriz.

Combinação linear de vetores. Independência linear. Exerc 16.1, 16.2, 16.3, 16.4 pag 46/47.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa.  Base de um subespaço vectorial. Forma standard de determinar uma base para o espaço gerado ou espaço das colunas.

Resolução de exercícios.

Dimensão de um subespaço vetorial e característica de uma matriz.

Teoremas da dimensão.

Base e dimensão de um espaço. Construção de bases para o espaço nulo e espaço das colunas de uma matriz. Resolução de exercícios.

Base e dimensão de um espaço. Resolução de exercícios.

Correção do TPC. Independência linear de um conjunto de vetores e combinação linear nula. Critério para decidir sobre a independência linear de um conjunto de vetores. Resolução de exercícios. Base e dimensão de um subespaço. Determinação de uma base e a dimensão de subespaços definidos por equações lineares homogéneas (N(A)) e por conjuntos de vetores (C(A)).

TPC: concluir o exercício 16 (pág. 46) excepto 46.4.

Espaço nulo e espaço das colunas de uma matriz. Exerc . 14.1 i), c); 14.4 - pag 43/44. Independência linear. Exerc 16.1c) d); 16.3 b); 16.4 - pag 46. T.P.C. 16.2 pag 46.

Base e dimensão de um espaço. Construção de bases para o espaço nulo e espaço das colunas de uma matriz. Resolução de exercícios.

Cálculo do espaço nulo.

Resolução de exercícios.

Combinações lineares de vetores: interpretação geométrica.

Dependência e independência linear.

Correcção dos trabalhos de casa.  Independência e dependência linear. 

Resolução de exercícios.

Base de um espaço vetorial.

Cáculo de bases para o espaço nulo e para o espaço das colunas de uma matriz.

Correcção dos trabalhos de casa. Espaço das colunas e espaço gerado. Independência e dependência linear.

Conclusão da matéria da aula anterior (combinação linear e espaço gerado por um conjunto de vetores). Espaço das colunas de uma matriz. Noção de conjunto linearmente independente de vetores. Resolução de exercícios.

TPC: concluir o exercício 14 (pág. 43)

Combinação linear de vetores. Espaço gerado por um conjunto de vetores e espaço das colunas de uma matriz. Exerc. 14.1, 14.2, 14.4, pag 43-44. Independência linear. Exerc 16.1c) d), pag 46.

Espaço gerado e espaço das colunas de uma matriz. Dependência e independência linear. Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Subespaços vetoriais e sua interpretação geométrica. Espaço nulo. Combinação linear.

Espaço gerado e espaço das colunas de uma matriz. Dependência e independência linear. Resolução de exercícios.

Espaço nulo de uma matriz. Combinação linear de vetores. Espaço gerado por um conjunto de vetores e espaço coluna de uma matriz. Exerc pag 43, 14.1.d) f) g); 14.2.

Equações vetoriais.  Exercício do material de apoio extra - Cálculo matricial - 12. Definição de subespaço vetorial. Exemplos de subespaços vetoriais. Espaço nulo de uma matriz. Combinação linear de vetores. Exercícios do texto de apoio, pag 43, 14.1d); 14.2.

Espaço gerado e espaço das colunas de uma matriz. Dependência e independência linear. Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios.

Combinações lineares de vetores: interpretação geométrica.

Dependência e independência linear.

Correcção dos trabalhos de casa. Resolução de equações matriciais. Subespaços vetoriais e sua interpretação geométrica. Espaço nulo. Combinação linear.

Espaços e subespaços vectoriais. Espaço nulo de uma matriz. Combinação linear de vectores. Resolução de exercícios.

Equações matriciais e vectoriais.

Espaços e subespaços vectoriais. Espaço nulo de uma matriz. Combinação linear de vectores. Resolução de exercícios.

Correção do TPC. Espaços vetoriais definidos por sistemas de equações homogéneas e por conjuntos de vetores. Noções de combinação linear e de  espaço gerado por um conjunto de vetores.

TPC: exercícios 13 (pág. 39), 14.1 (apenas o espaço nulo), 14.2 e 14.5 (pág 43).

Espaços e subespaços vectoriais. Espaço nulo de uma matriz. Combinação linear de vectores. Resolução de exercícios.

Equações matriciais. Exercício do material de apoio extra: Equações matriciais 1). Resolução de exercícios do texto de apoio 11.2; 11.4; 11.5; 11.7. Equações vetoriais. Exercício material de apoio extra - Cálculo matricial - 12. Definição de espaço vetorial e subespaço vetorial. Exemplos de subespaços vetoriais.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Resolução de equações matriciais. Subespaços vetoriais.

Correção do TPC e resolução de exercícios da folha de Equações matriciais da secção  Material de apoio extra. Conceito de espaço vetorial/subespaço vetorial de Rⁿ. O espaço nulo de uma matriz.

TPC: Exercício 12 (pág. 37). Concluir os exercícios que faltam do TPC do sumário da aula anterior e da folha de exercícios "Equações matriciais".

Correcção dos trabalhos de casa. Operações com matrizes e suas propriedades:inversa de uma matriz quadrada. Resoloção de equações matriciais.

Equações matriciais. Exercício do material de apoio extra: Equações matriciais 1). Resolução de exercícios do texto de apoio 11.2; 11.4; 11.5; 11.7.

Matriz inversa: definição. Propriedades. Cálculo da matriz inversa. Exerc: 9 (pg 29); 11.1, 11.3 (pg 33-34).

Correcção dos trabalhos de casa. Operações com matrizes: inversa de uma matriz quadrada.

Resolução de exercícios.

Propriedades da inversa. Matriz inversa e resolução de sistemas. Equações matriciais e equações vectoriais. Resolução de exercícios.

Propriedades da inversa. Matriz inversa e resolução de sistemas.Matriz simétrica e antisimétrica. Equações matriciais e equações vectoriais. Resolução de exercícios.

Inversa de uma matriz: definição e propriedades. Aplicação da resolução simultânea de sistemas para estudar a invertibilidade de uma matriz  e  calcular a sua inversa, caso exista - algorítmo da inversa. Resolução de sistemas linearas cuja matriz de coeficientes é invertível. Resolução de exercícios.

TPC: concluir todos os exercícios até ao 11 (pág. 33), inclusivé. Resolver os exercícios das folhas "Sistemas de equações lineares" e "Exercícios variados de cáculo matricial" que se encontram na secção Material de apoio extra. 

Cálculo de inversas. Propriedades da inversa. Matriz inversa e resolução de sistemas. Resolução de equações matriciais. Matriz simétrica e antisimétrica.

Cálculo de inversas. Matriz inversa e resolução de sistemas. Resolução de equações matriciais.

Equações lineares e não lineares.

Equações lineares: interpretação geométrica.

Sistemas de equações a duas e a três variáveis: interpretação geométrica.

Sistemas homogéneos.

Várias interpretações de um sistema: sistemas, equações matriciais, equações vetoriais, e matriz ampliada.

Propriedades das matrizes diagonais.

Matriz inversa: definição. Propriedades. Cálculo da matriz inversa. Exerc: 9 (pg 29); 11.1, 11.2, 11.3, 11.4a), 11.4b) (pg 33-34).

Correcção dos trabalhos de casa. Operações com matrizes: inversa de uma matriz quadrada.

Equações lineares e não lineares.

Equações lineares: interpretação geométrica.

Sistemas de equações a duas e a três variáveis: interpretação geométrica.

Sistemas homogéneos.

Várias interpretações de um sistema: sistemas, equações matriciais, equações vetoriais, e matriz ampliada.

Propriedades das matrizes diagonais.

Correcção dos trabalhos de casa. Operações com matrizes e suas propriedades: produto de matrizes e potêncua de expoente natural de uma matriz quadrada.

Correção do TPC. Sistemas homogéneos. Resolução simultânea de sistemas.

TPC: concluir os exercícios que faltam até ao ex. 8 pág. 29. Resolver a folha de exercícios "Sistemas de equações lineares" que se encontra na secção Material de Apoio Extra

Resolução e discussão de sistemas. Sistemas homogéneos. Interpretação geométrica. Exercícios do texto de apoio pag 16, 3.1a)b)c)d). Exercícios variados de cálculo matricial: 3,4

Resolução de exercícios. Matriz inversa de uma matriz quadrada. Definição e propriedaes. Cálculo de inversas.

Correcção dos trabalhos de casa. Operações com matrizes e suas propriedades: produto de matrizes e potêncua de expoente natural de uma matriz quadrada.

Resolução e discussão de sistemas. Sistemas homogéneos. Interpretação geométrica. Exercícios do texto de apoio pag 16, 3.1a)b)c)d). Exercícios variados de cálculo matricial: 3,4.

Resolução de exercícios. Equações cartesianas e vectoriais de rectas e planos em R2 e R3. Matriz inversa de uma matriz quadrada. Cálculo de inversa.

Resolução de sistemas. Operações elementares sobre matrizes. Método de Gauss. Exercício 2.2, 2.3 pag 13. Interpretação geométrica da resoluçlão de sistemas. Discussão de sistemas. Exercícico 3.1a).

Resolução de exercícios.

Equações cartesianas e vectoriais de rectas e planos em R2 e R3.

Matriz inversa de uma matriz quadrada. Definição e propriedades.

Correcção dos trabalhos de casa. Matrizes vectores: Operações com matrizes e suas propriedades (transposta, produto escalar, adição de matrizes, produto de uma matriz por um vector).

Resolução de sistemas pelo método de Gauss. Classificação de sistemas. Discussão de sistemas com parametros. Sistemas homogéneos. Resolução simultanea de sistemas.

Equações cartesianas e vectoriais de rectas e planos em R2 e R3.

Correção do TPC. Método de eliminação de Gauss para redução de matrizes e discussão de sistemas com parâmetros.

TPC: Exercícios: 2.1, 2.2, 2.3, e 2.5,  (pág. 13), 3.1d) e 3.2  (pág. 16) e 4.1b)c), 4.2, 4.3 e 4.4 (pág. 19)

Resolução de sistemas pelo método de Gauss. Classificação de sistemas. Discussão de sistemas com parametros. Sistemas homogéneos. Resolução simultanea de sistemas.

Resolução de sistemas pelo método de Gauss. Classificação de sistemas. Discussão de sistemas com parametros. Sistemas homogéneos. Resolução simultanea de sistemas.

Resolução de sistemas. Operações elementares sobre matrizes. Método de Gauss. Exercício 2.2, 2.3 pag 13. Interpretação geométrica da resoluçlão de sistemas. Discussão de sistemas. Exercícico 3.1a).

Correcção dos trabalhos de casa. Matrizes vectores: Operações com matrizes e suas propriedades (transposta, produto escalar, adição de matrizes, produto de uma matriz por um vector).

Correção do TPC. Equivalência entre equação matricial e sistema linear. Matriz ampliada de um sistema linear. Interpretação geométrica de sistemas lineares. Redução de sistemas lineares pelo método de Gauss.

TPC: 1 (pág. 7) e 2 (pág. 13). 

Correcção dos trabalhos de casa. Resolução de sistemas com a notação matricial (pelo método de eliminação de Gauss). Discussão de sistemas com parãmetros.

Multiplicação de matrizes. Propriedades. Exercícios 6.1 pag 26, 7 pag 29. Sistemas de equações lineares.

Matrizes e sistemas de equações lineares. Interpretação geométrica da resolução de sistemas com 2 e 3 variáveis. Matriz ampliada de um sistema. Operações elementares sobre matrizes. Método de Gauss.

Correcção dos trabalhos de casa. Resolução de sistemas com a notação matricial (pelo método de eliminação de Gauss). Discussão de sistemas com parãmetros.

Matrizes e sistemas de equações lineares. Interpretação geométrica da resolução de sistemas com 2 e 3 variáveis. Matriz ampliada de um sistema. Operações elementares sobre matrizes. Método de Gauss.

Multiplicação de matrizes. Propriedades. Exercícios 6.1 pag 26, 7 pag 29. Sistemas de equações lineares.

Apresentação da UC. Matrizes e vetores. Matriz transposta. Matriz simétrica. Soma de matrizes. Produto por um escalar. Propriedades. Resolução dos exercícios 1 e 2 da pag 23 do Texto de apoio.

Matrizes e sistemas de equações lineares. Interpretação geométrica da resolução de sistemas com 2 e 3 variáveis. Matriz ampliada de um sistema. Operações elementares sobre matrizes. Método de Gauss.

Apresentação da unidade curricular. Rⁿ. Interpretação geométrica de elementos de R, R² e R³. Equações lineares. Equações lineares definidas em R, R² e R³ e sua interpretação geométrica. Conjinto de soluções de uma equação linear. Sistemas de equações lineares. Classificação de sistemas lineares. Resolução de sistemas pelo método de eliminação de Gauss. 

Resolução de exercícios : soma de matrizes, multiplicação de uma matriz por um escalar, produto de matrizes, matriz transposta

Apresentação da disciplina. Matrizes: linha, coluna, quadrada, triangular superior e inferior, diagonal, identidade, em escada, reduzida. Igualdade de matrizes. Operações com matrizes: soma e produto por um escalar - propriedades. Matriz transposta. Produto de matrizes - propriedades.

Apresentação da UC. Matrizes: terminologia e alguns tipos especiais de matrizes. Operações algébricas com matrizes (adição, multiplicação por escalar e produto) e transposição de matrizes. Propriedades e "não propriedades" das operações.

TPC: 5 pag.22, 6.1, pag. 26, 7 e 8, pag. 29

Apresentação da disciplina. Matrizes: linha, coluna, quadrada, triangular superior e inferior, diagonal, identidade, em escada, reduzida.  Igualdade de matrizes. Operações com matrizes: soma e produto por um escalar - propriedades. Matriz transposta. Produto de matrizes - propriedades.

 Apresentação da UC. Matrizes e vetores. Matriz transposta. Soma de matrizes. Produto por um escalar. Propriedades. Resolução dos exercícios 1 e 2 da pag 23 do Texto de apoio.

Apresentação da disciplina.

Matriz ampliada de um sistema. Operações elementares sobre matrizes. Método de eliminação de Gauss. Pivots, matriz em escada, matriz em escada reduzida.

Conjunto solução. Variáveis livres e variáveis dependentes.

Apresentação da unidade curricular. Rⁿ. Interpretação geométrica de elementos de R, R² e R³. Equações lineares. Equações lineares definidas em R, R² e R³ e sua interpretação geométrica. Conjinto de soluções de uma equação linear. Sistemas de equações lineares. Classificação de sistemas lineares. Resolução de sistemas pelo método de eliminação de Gauss. 

Apresentação da disciplina.

Matriz ampliada de um sistema. Operações elementares sobre matrizes. Método de eliminação de Gauss. Pivots, matriz em escada, matriz em escada reduzida.

Conjunto solução. Variáveis livres e variáveis dependentes.