Esclarecimento de dúvidas para o 2º teste.

Esclarecimento de dúvidas. Resolução de exercícios de 2º teste e de exames.

Feriado.

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FERIADO

Feriado.

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Feriado.

Feriado.

AULA NÃO LECIONADA.

Revisões para o segundo teste: resolução do teste de 29 de Maio 2015 e esclarecimento de dúvidas.

Revisões para o 2º teste

Correcção do T.P.C.: resolução de exercícios sobre integral duplo.

Resolução do 2º teste de 2014/15. Exercícios de revisão.

Resolução do 2.º teste de 2014/15.

Esclarecimento de dúvidas. Resolução de exercícios de 2º teste e de exames.

Resolução do 2º teste de 2014/15. Resolução de alguns exercícios do exame da 1ª chamada de 2014/15. Esclarecimento de dúvidas.

Revisões.

Resolução do 2º teste de 2014/15. Resolução de alguns exercícios do exame da 1ª chamada de 2014/15. Esclarecimento de dúvidas.

Resolução do 2.º teste de 2014/15.

Exercícios de revisão.

Esclarecimento de dúvidas. Resolução de exercícios de 2º teste e de exames.

Resolução de exercícios sobre integrais duplos.

Aplicação do integral duplo ao cálculo de volumes e de áreas.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC: exercícios sobre integral duplo.
Resolução dos exercícios adicionais: domínio e conjunto de nível (2); problemas de valor inicial (b). Esclarecimento de dúvidas.

Correcção do T.P.C.: resolução de exercícios sobre integral duplo, exercícios 4 (pág.58) - 5a), 5b), 3, 4e).

Aplicação do integral duplo ao cálculo de volumes e áreas. Exemplos.

Resolução de exercícios suplementares de integrais duplos: 2, 3 e 6.

Revisão TPC: Exercícios 4 (p.58) 4c). O cálculo de áreas de regiões de R^2 através de integrais duplos: justificação e Exemplo 40 (p.57). Exercícios Suplementares 3, 6, 8. Exercícios 4 (p.58) 5c). TPC: Exercícios Suplementares 1 (todas as alíneas) e 2.

Integrais duplos, mudança da ordem de integração. Exercícios.

Excercícios de revisão.

Resolução de exercícios. Cálculo de áreas limitadas de R² através do integral duplo.

Correção do TPC: exercícios sobre integral duplo.
Resolução dos exercícios adicionais: domínio e conjunto de nível (2); problemas de valor inicial (b). Esclarecimento de dúvidas.

Integrais duplos, mudança da ordem de integração. Exemplos e exercícios.

Aplicação do integral duplo ao cálculo de volumes e de áreas.

Resolução de exercícios.

Integrais duplos: troca de ordem de integração; cálculo de volumes. Exercícios 4 (p.58) 4 a)b)e). Exercício extra: o velho exercício 4b) das folhas de 2010-11. p-58. Exercícios suplementares 4, 5, 7.

Resolução de exercícios sobre integral duplo, exercícios 4 (pág.58): 1a), 1c), 1d), 2a), 2b), 2c), 2d), 2e), 4a), 4b) e 4c).

TPC: terminar exercício 4 e fazer exercícios 3 e 5.

Algumas propriedades dos integrais duplos. Extensão dos integrais duplos aos domínios elementares. Mudança de ordem de integração. Interpretação do integral duplo da função constante igual a 1 como área do respetivo domínio de integração (Fim da matéria para o 2º teste). Resolução de exercícios sobre integral duplo.

Integrais duplos, mudança da ordem de integração. Exemplos e exercícios.

Inversão da ordem de integração de um integral duplo. 

Resolução de exercícios.

Integral duplo sobre domínios elementares: mais exemplos; Exerc. 4 – 2c)d)e); 3; 4a) (pg. 58).
Aplicação do integral duplo ao cálculo de volumes e áreas. Exemplo.
TPC: Exerc. 4 – 2, 4(concluir); 5a)b) (pg. 58, 59).
Exercícios adicionais (fenix) exceto 5, 7 e 8.

Resolução de exercícios. Integais duplos em domínios não retangulares.

Integral duplo sobre domínios elementares: mais exemplos; Exerc. 4 – 2c)d)e); 3; 4a) (pg. 58).
Aplicação do integral duplo ao cálculo de volumes e áreas. Exemplo.
TPC: Exerc. 4 – 2, 4(concluir); 5a)b) (pg. 58, 59).
Exercícios adicionais (fenix) exceto 5, 7 e 8.

Integrais duplos em domínios elementares. Exemplos e exercícios.

Inversão da ordem de integração de um integral duplo. 

Resolução de exercícios.

Critério da matriz hessiana para funções de 3 variáveis. Conclusão dos exercícios sobre extremos livres. Integrais duplos em rectângulos: motivação e teorema de Fubini. Exemplos.

2. Integrais duplos: definição; domínio elementar; propriedades.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC: Exerc. 3 – 4.
Integral duplo sobre domínios retangulares [a,b]×[c,d]: definição, propriedades e exemplos. Exerc. 4 – 1a)b)c) (pg. 58). Domínios elementares. Inversão da ordem de integração. Exemplo.
TPC: Exerc: 4 – 1d) e 2 (pg. 58)

Propriedades gerais do integral duplo (p.43 e aditivdade ao longo da região de integração). Integração dupla em regiões elementares de tipo I e de tipo II: Definição 8 (p.44), Exemplo 32 (p.46), Exercícios 4 (p.58) 2a)c)d)e), 3 (até à definição dos integrais). TPC: Exercícios 4 (p.58) 2b) e acabar 3.

Correcção do T.P.C.: exercício de equações diferenciais, exercício sobre domínio e exercício sobre extremos de funções (exercício 4 da pág. 38).

O integral duplo: conceito, domínios de integração rectangulares, propriedades e exemplos. Domínios de integração elementares de tipo I e de tipo II. Exemplo.

Integrais duplos em domínios elementares. Exemplos e exercícios.

Correção do TPC: Exerc. 3 – 4.
Integral duplo sobre domínios retangulares [a,b]×[c,d]: definição, propriedades e exemplos. Exerc. 4 – 1a)b)c) (pg. 58). Domínios elementares. Inversão da ordem de integração. Exemplo.
TPC: Exerc: 4 – 1d) e 2 (pg. 58).

Resolução de exercícios. Integais duplos em domínios retangulares.

Primitivas parciais. Exemplos e exercícios.

Integrais duplos em domínios retangulares. Teorema de Fubini. Exemplos e exercícios.

2. Integrais duplos: definição; domínio elementar; propriedades.

Resolução de exercícios.

Revisão TPC: Exercícios 3 (p.38) 1c). Ainda o cálculo de extremos: Exercícios 3 (p.38)  2, 4. Integrais duplos: conceito, interpretação geométrica para funções integrandas não negativas. Integrais duplos em domínios rectangulares alinhados com os eixos. Exemplo 28 (p.42). Exercícios 4 (p.58) 1 a)d)c). TPC: Exemplos 3 (p-38) 3. Exemplos 4 (p.58) 1b).

Correcção do T.P.C.: exercício de equações diferenciais e exercício sobre domínio, gráfico e conjuntos de nível.

Resolução de exercícios sobre extremos de funções (exercícios 3 da pág. 38): 1e), 2 e 3). TPC: exercício 4.

Resolução de exercícios sobre extremos livres

Primitivas parciais. Exemplos e exercícios.

Integrais duplos em domínios retangulares. Teorema de Fubini. Exemplos e exercícios.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC - exercícios sobre extremos locais: Exerc. 3 – 1a)c)d)e); 2; 3.
TPC: Concluir Exerc. 3 (pg.38).

Resolução de exercícios.

Correção do TPC - exercícios sobre extremos locais: Exerc. 3 – 1a)b)c)e); 2; 3.
TPC: Concluir Exerc. 3 (pg.38).

Extremos livres de funções de duas variáveis. Exercícios.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC. Extremos livres de funções de 2 variáveis. Ponto crítico, extremo local e ponto sela. Critério da matriz hessiana para determinar a natureza de um ponto crítico.

Derivadas de ordem superior. Matriz Jacobiana e gradiente. Matriz Hessiana.

Extremos livres: máximo e mínimo; critério da matriz Hessiana.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC:
Exerc. 2 – 4c) sobre plano tangente; Exerc. 2 – 3 sobre derivadas parciais; Exerc. 2 – 5b)c) sobre vetor gradiente e matriz Hessiana.
Extremos locais de funções de duas variáveis. Pontos críticos e critério da Hessiana. Exerc. 3 - 1b)
TPC: Exerc. 3 (pg.38).

Correcção do T.P.C.: exercícios de equações diferenciais e exercício sobre domínio, gráfico e conjuntos de nível.

Extremos de funções de várias variáveis (continuação): critério da matriz Hessiana para a classificação de extremos. Resolução de exemplos. Resolução dos exercícios 3 da pág. 38: 1a) e 1b). TPC: terminar exercício 1.

Extremos de funções de duas variáveis: Definição 5; condição necessária para a existência de extremos (para funções que admitem plano tangente ao seu gráfico em todo o domínio); Definições 6 e 7 (ponto crítico e ponto de sela); critério da Hessiana para classificar pontos críticos de funções de duas variáveis (de classe C^2 no seu domínio). Classificação de pontos críticos pela definição de extremos. Exercício 3 (p.38) 1a) b) e). TPC: Exercícios 2 (p.27) restantes alíneas do Ex.4. Exercícios 3 (p.38) 1 c)d).

Extremos livres de funções de duas variáveis. Exercícios.

Resolução de exercícios. Extremos relativos de uma função de duas variáveis.

Extremos livres de funções de duas variáveis: definição, pontos críticos, e critério da matriz Hessiana. Exemplos e exercícios.

Correção do TPC:
Exerc. 2 – 4c) sobre plano tangente; Exerc. 2 – 3 sobre derivadas parciais; Exerc. 2 – 5b)c) sobre vetor gradiente e matriz Hessiana.
Extremos locais de funções de duas variáveis. Pontos críticos e critério da Hessiana. Exemplos.
TPC: Exerc. 3 (pg.38).

Matriz Jacobiana e gradiente. Matriz Hessiana.

Extremos livres: máximo e mínimo; critério da matriz Hessiana.

Resolução de exercícios.

Revisão TPC. Ainda as derivadas parciais: Exercícios 2 (p.27) 1d)g), 2, 3. Plano tangente a gráfico de funções de duas variáveis: conceito, condições de existência, equação. Exercícios 2 (p.28) 4a)c). Derivadas parciais de ordem superior. Definições 3 e 4: vector gradiente, matriz Jacobiana e matriz Hessiana. Exercícios 2 (p.28) 5b) e d) (incompleto). TPC: Exercícios 2 (p.28) 5 d) (acabar), a) c) e).

Correcção do T.P.C.: exercício de equações diferenciais e alguns exercícios de domínio, gráfico e conjuntos de nível.

Resolução de exercícios (pág.28) sobre plano tangente e derivadas parciais de ordem superior: 4b), 5c) e 5d).

Extremos livres: definição de extremo, de ponto crítico e de ponto de sela. Exemplos.                 

Extremos livres de funções de duas variáveis. Exercícios.

Correção do TPC. Vetor gradiente e matriz Jacobiana. Plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis. Derivadas parciais de ordem superior e matriz hessiana. 

Derivadas parciais de f(x,y): definição e interpretação. Plano tangente ao gráfico de f(x,y) em (a,b,f(a,b)). 

Resolução de exercícios.

Correção do TPC:
Exerc. 1 – 2e)g); 3 para g); 4, 5b) sobre domínio, conjunto de nível e gráfico (pg. 16/17);
Exerc. 2 – 1b)d) sobre derivadas parciais (pg. 27/28).
Plano tangente. Derivadas parciais de ordem superior a 1. Vetor gradiente e matriz Hessiana.
TPC: Exerc. 2 – 4, 5 com vetor gradiente em vez de matriz Jacobiana (pg.28).

Resolução de exercícios. Derivadas parciais. Plano tangente.

Correção do TPC:
Exerc. 1 – 2e)g); 3 para g); 4, 5b) sobre domínio, conjunto de nível e gráfico (pg. 16/17);
Exerc. 2 – 1b)d)e) sobre derivadas parciais (pg. 27/28).
Plano tangente. Derivadas parciais de ordem superior a 1. Vetor gradiente e matriz Hessiana.
TPC: Exerc. 2 – 4, 5 com vetor gradiente em vez de matriz Jacobiana (pg.28).

Matriz Jacobiana e Hessiana. Exercícios.

Plano tangente. Exercícios.

Derivadas parciais de f(x,y): definição e interpretação. Plano tangente ao gráfico de f(x,y) em (a,b,f(a,b)). Derivadas de ordem superior.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC e resolução de exercícios sobre domínios, curva de nível, contra-domínio e gráfico de uma função. Noção de derivada parcial e sua interpretação geométrica. Exemplos.

Resolução de exercícios.

Funções reais de várias variáveis.
Correção do TPC (sobre domínio).
Conjunto de nível e contradomínio: definição e exemplos. Exerc. 1 – 2a)b)c)d).
Derivadas parciais: definição e exemplos.
TPC: Exerc. 1 – 2 (concluir), 3, 4, 5 e 6 (pg. 16 e 17). Exercícios adicionais do fenix sobre domínio e conjunto de nível.
Exerc. 2 – 1, 2, 3 (pg. 27 e 28).

Revisão das curvas cónicas (Apêndice A, p.61). As superfícies quádricas (Apêndice B, p.65). Exercícios 1 (p.16) 5b)c), interpretação geométrica de 6c). Derivadas parciais: definição e interpretação do conceito para funções de duas variáveis. Exercícios 2 (p.27) 1a)b) e exercício suplementar com a função do Exercício 5d) (por engano apresentada como o Exercício 1d)). TPC: Exercícios 1 (p.16) 6d), Exercícios 2 (p.27) 1 c)e)f). 

Correcção do T.P.C.: exercício de equações diferenciais e alguns exercícios de domínio, gráfico e conjuntos de nível.

Plano tangente (continuação). Derivadas parciais de ordem superior. Vector gradiente, matriz Jacobiana e matriz Hessiana. Resolução de exemplos.

Resolução de exercícios (pág.28): 3, 4a) e 5b).

TPC: exercícios (pág.28):  2 e terminar 4 e 5.

Plano tangente. Exercícios.

Extremos livres de funções de duas variáveis: definição, pontos críticos, e critério da matriz Hessiana. Exemplos.

Resolução de exercícios. Gráfico de uma função de duas variáveis. Conjuntos de nível e contradomínio.

Funções reais de várias variáveis.
Correção do TPC (sobre domínio).
Conjunto de nível e contradomínio: definição e exemplos. Exerc. 1 – 2a)b)c)d).
Derivadas parciais: definição e exemplos.
TPC: Exerc. 1 – 2 (concluir), 3, 4, 5 e 6 (pg. 16 e 17). Exercícios adicionais do fenix sobre domínio e conjunto de nível.
Exerc. 2 – 1, 2, 3 (pg. 27 e 28).

Derivadas parciais e interpretação geométrica. Exercícios.

Quádricas (conclusão). Domínio, conjuntos de nível e gráfico de uma função real de várias variáveis.

Resolução de exercícios.

Ainda conjuntos de nível e gráficos de funções de duas ou três variáveis. Exercícios 1 (p.16) 2a)c)g), 3 (função da 2g), 4a)b), 5a), 6a)b)c). Quadro-resumo de domínios, conjuntos de nível e gráficos de funções de k=1,2,3 variáveis.  TPC: Estudar Apêndices A e B (p. 61 e 65).

 Resolução de exercícios sobre domínio, gráfico e conjuntos de nível de funções reais de várias variáveis: exercícios (pag.16 e 17): 3a), 3b), 4, 5c) e 6.

Derivadas parciais de 1ª ordem: definição e interpretação geométrica. Resolução de exemplos. Plano tangente.

TPC: exercícios adicionais sobre domínio e conjunto de nível. Exercício 1 da página 27.

Revisão sobre cónicas. Conjunto de nível, conjunto imagem e gráfico de funções de 2 variáveis.

Derivadas parciais e interpretação geométrica. Exercícios.

Matriz Jacobiana e Hessiana. Exercícios.

Quádricas (conclusão). Domínio, conjuntos de nível e gráfico de uma função real de várias variáveis.

Resolução de exercícios.

Feriado 25 de abril.

Feriado.

Feriado 25 de abril.

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AULA NÃO LECIONADA.

Correção do TPC. Formulação e resolução de problemas de EDs. Funções de várias variáveis: motivação e alguns conceitos. Determinação do domínio de funções de 2 variáveis.

Resolução de exercícios de equações diferenciais.

Parte III - Tópicos de Cálculo para Funções de Várias Variáveis.

1. Tópicos de cálculo diferencial: Domínio. revisão de cónicas. Superfícies quádricas.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC: Exerc. 13, 8, 9 e 11 de Eq. Diferenciais.
Funções de várias variáveis. Domínio e contradomínio. Exemplos.
TPC: Exerc. 1-1 de Funções de várias variáveis (pg. 16) e exercícios adicionais (fenix) sem conjunto de nível.

Esclarecimento de algumas dúvidas do TPC.

Funções de várias variáveis: domínio, gráfico e conjuntos de nível. Exemplos.

Resolução de exercícios da pág. 16: 1b), 1c), 1e), 2e), 2g), 3c). TPC: terminar exercícios 1, 2 e 3.

Revisão TPC: Exercícios Eq.Dif. 1.5 (p.19) Ex.13, discussão do Ex.12. Funções de várias variáveis: Exercícios 1 (p.16) 1e). Gráficos de funções de duas e de três variáveis. Exemplos 6, 7 (p.6-7). Conjuntos de nível de funções de 2 e 3 variáveis: Definição 2 (p.8) Exercícios 1 (p.16) 2 e)b). TPC: Exercícios 1 (p.16) 1d)f), 2d)f).

Funções de várias variáveis: domínio, gráfico, e conjuntos de nível. Exemplos e exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Funções com duas e três variáveis: domínios.

Correção do TPC: Exerc. 13, 8, 9 e 11 de Eq. Diferenciais.
Funções de várias variáveis. Domínio e contradomínio. Exemplos.
TPC: Exerc. 1-1 de Funções de várias variáveis (pg. 16) e exercícios adicionais (fenix) sem conjunto de nível.

Funções de várias variáveis: domínio, gráfico, e conjuntos de nível. Exemplos e exercícios.

Resolução de exercícios de equações diferenciais.

Parte III - Tópicos de Cálculo para Funções de Várias Variáveis.

1. Tópicos de cálculo diferencial: Domínio. Revisão de cónicas. Superfícies quádricas.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios de aplicações com equações diferenciais: Exercícios 1.5 (p.19) 7,10,11. Capítulo III: funções de várias variáveis. Conceitos introdutórios, domínios e contradomínios. Exemplos 1, 3, 4, 5 (pg.4-5). Exercícios 1 (p.16) 1a)b)c). TPC: Exercícios EDs 1.5 (p.19) 9, 13, 14a), 15a). Exercícios Funções várias variáveis 1 (p.16) 1e).

Resolução de exercícios envolvendo equações diferenciais (1.5): 5a), 5b), 8, 10, e 11. Exercícios adicionais sobre problemas de valor inicial: a) c) e g).

TPC: exercício 13 e acabar exercícios adicionais sobre problemas de valor inicial.

Resolução de exercícios sobre equações diferenciais.

Exemplos de fenómenos modelados por equações diferenciais, formulação e resolução: exercícios 7, 8 (decaimento radiativo), e 13 (equação de Malthus e equação logística).

O modelo Malthusiano e o modelo logístico.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC: Exerc. 4b)e)f)g)h)i), 5, 6 de equações diferenciais.
Modelo Malthusiano vs modelo logístico.
TPC: Exerc. 8, 9, 11 e 13. Concluir Exerc. adicionais.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC: Exerc. 4b)e)f)g)h)i), 5, 6 de equações diferenciais.
Modelo Malthusiano vs modelo logístico.
TPC: Exerc. 8, 9, 11 e 13. Concluir Exerc. adicionais.

Exemplos de fenómenos modelados por equações diferenciais, formulação e resolução: exercícios 7, 8 (decaimento radiativo), e 13 (equação de Malthus e equação logística).

O modelo Malthusiano e o modelo logístico.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC. Resolução de equações diferenciais de 1ª ordem com variáveis separáveis.

1.2. Equações diferenciais com variáveis separáveis: resolver a equação.

Exercícios 1.5- resolução de 4a), b), g).

Exemplos de aplicação de equações diferenciais.

Exercícios 1.5- resolução de 2, 11.

Correção do TPC: Exerc. 2 e 3 (sobre eq. lineares de 1ª ordem).
Equações com variáveis separáveis. Exemplos.
TPC: Exercícios 4, 5 e 6 (pg. 19 e 20). Exercícios adicionais (PVI) do fenix.

Equações diferenciais com variáveis separáveis: método de resolução e exemplos. Modelo exponencial e modelo logístico. Resolução de exercícios (1.5): 3e), f), 4a), b) e h).

TPC: concluir exercícios 3 e 4.

EDs com variáveis separáveis: forma canónica, soluções constantes, solução geral. Exemplo 8 (p.9). Exercícios 1.5 (p.19) 4a)b)c)e)f)h), 5a). Modelos de crescimento populacional (p.12): modelo exponencial e modelo logístico (derivação da ED e sua solução). TPC: Exercícios 1.5 (p.19) 4d)g)i), 5b), 13.

Equações diferenciais de 1ª ordem de variáveis separáveis. Exercícios.

Resolução de exercícios. Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem com variáveis separáveis.

Correção do TPC: Exerc. 2 e 3 (sobre eq. lineares de 1ª ordem).
Equações com variáveis separáveis. Exemplos.
TPC: Exercícios 4, 5 e 6 (pg. 19 e 20). Exercícios adicionais (PVI) do fenix.

1.2. Equações diferenciais com variáveis separáveis: resolver a equação.

Exercícios 1.5- resolução de 4a), b), g).

Exemplos de aplicação de equações diferenciais.

Exercícios 1.5- resolução de 2, 11.

Equações diferenciais de 1ª ordem de variáveis separáveis. Exercícios.

Equações diferenciais: conceito e terminologia. As três taxas. Dois exemplos. As EDs lineares de primeira ordem: forma canónica e técnica de resolução. Exemplo 6. Exercícios 1.5 (p.19) 1 a)c), 2, 3a)b)c)f), 8.  TPC: Exercícios 1.5 (p.19) 3d)e).

Equações diferenciais: introdução e exemplos. As equações diferenciais lineares de primeira ordem: método de resolução e exemplos.

Resolução de exercícios (1.5): Ex. 1, 2 e 3a). TPC: Ex.3b) e 3c).

Equações diferenciais: motivação, formulação de problemas e alguma terminologia. Resolução de equações diferenciais lineares de 1ª ordem pelo método do fator integrante.

Parte 2. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Equação diferencial: definição, ordem. Definição de: equação diferencial ordinária e equação diferencial às derivadas parciais; solução geral de uma equação diferencial.

Resolução de exercícios: 1.5: 1a), b), c). 

1.1. Equações diferenciais ordinárias lineares de 1ª ordem: resolver a equação pelo método do fator integrante.

Resolução de exercícios: 1.5: 3a), b), d), e), f). 

Equações diferenciais: introdução e exemplos.

Equações diferenciais de 1ª ordem lineares ou de variáveis separáveis. Métodos de resolução e exemplos.

Equações diferenciais lineares de 1ª ordem. Exercícios.

Equações diferenciais: introdução, exemplos.
Resolução de equações lineares de 1ª ordem. Exemplos. Exerc. 1, 2 (início).
TPC: Exerc. 2 (conclusão) e 3 (pg. 19).

Equações diferenciais: introdução, exemplos.
Resolução de equações lineares de 1ª ordem. Exemplos. Exerc. 1, 2 (início).
TPC: Exerc. 2 (conclusão) e 3 (pg. 19).

Equações diferenciais: Lei de Malthus e lei de Verhulst. Tipos de equações lineares. Equações ordinárias de 1ª ordem lineares. Resolução de exercícios.

Parte 2. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Equação diferencial: definição, ordem. Definição de: equação diferencial ordinária e equação diferencial às derivadas parciais; solução geral de uma equação diferencial.

Resolução de exercícios: 1.5: 1a), b), c). 

1.1. Equações diferenciais ordinárias lineares de 1ª ordem: resolver a equação pelo método do fator integrante.

Resolução de exercícios: 1.5: 3a), b), d), e), f).

Equações diferenciais: introdução e exemplos.

Equações diferenciais de 1ª ordem lineares ou de variáveis separáveis. Métodos de resolução e exemplos.

Equações diferenciais lineares de 1ª ordem. Exercícios.

Aula de esclarecimento de dúvidas para o 1º teste

Revisões. Esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios. Esclarecimento de dúvidas para o teste.

Aula de revisões para o teste: resolução do teste de 17 Abril 2015; Exercícios 20 (p.79) 10, 11d). Exercícios 12 (p.60) 4. Exercícios 14 (p.69) 3.

Integrais impróprios em ]-∞,+∞[ e integrais impróprios em ]a,b[. Revisões.       

Resolução do teste de 17 Abril 2015 e esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios.

Aula de revisões para o teste: resolução do teste de 17 Abril 2015; Exercícios 20 (p.79) 10, 11d).

Integrais impróprios em ]-∞,+∞[ e integrais impróprios em ]a,b[. Revisões.       

Revisões. Esclarecimento de dúvidas.

Ainda os integrais impróprios:Proposição 3.11 (Integrais de Dirichlet - p.73); integrais duplamente impróprios. Exercícios 16 (p.75) 5, 7, 9. Revisões: Exercícios Suplementares de fórmula de Taylor: 1, 3, 5, 9a). Exercícios Suplementares de Primitivas: 2.17. TPC: Resolver Teste do ano passado (distribuído na aula) e Exercícios 20 (p.79) 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 15.

Revisões.

Resolução de exercícios sobre integral indefinido e impróprio.

Integral Impróprio: a) em intervalos não limitados; b) de funções não limitadas num dos extremos de integração. Natureza do integral impróprio.

Resolução de exercícios.

Exercícios de revisão: Limites e Fórmula de Taylor.

Integrais impróprios em ]a,b[. Exemplos e exercícios.

Correção do TPC:
Exerc. 16 - 1, 2 4, 5, 9 sobre integrais impróprios (pg. 75);
Exerc. 12 - 1d)e)f) sobre áreas (pg. 60).

Exerc. 5 (sobre áreas) do teste do ano passado.

Esclarecimento de dúvidas.

Integrais impróprios.

Resolução de exercícios.

Ainda os integrais impróprios:Proposição 3.11 (Integrais de Dirichlet - p.73); integrais duplamente impróprios. Exercícios 16 (p.75) 3, 5, 7, 9. Revisões: Exercícios 3 (p.15) 6, 9, Exercícios 12 (p.60) 4. TPC: Resolver Teste do ano passado (distribuído na aula) e Exercícios 20 (p.79) 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 15.

Revisões.

Integral Impróprio: a) em intervalos não limitados; b) de funções não limitadas num dos extremos de integração. Natureza do integral impróprio.

Resolução de exercícios.

Exercícios de revisão: Limites e Fórmula de Taylor.

Correção do TPC. Integral indefinido: definição, propriedades fundamentais e exemplos. Integrais impróprios de 1ª e 2ª espécie: definição e exemplos.

Cálculo de áreas: resolução de exercícios.

Integral Indefinido: definição e propriedades.

Resolução de exercícios.

Integral indefinido – propriedades e exemplos.
Correção do TPC: Exerc. 14 – 3, 4, 5 e 6 (sobre integral indefinido).
Integral impróprio – definição e exemplos.
TPC: Exerc. 16, 17 (pg. 75); Exerc. 20 - exceto 7 e 13c) (pg. 79 a 82)

O integral indefinido. Propriedades do integral indefinido (Proposições 3.7, 3.8, 3.9 e 3.10, p.68-69). O conceito de integral impróprio: duas causas de impropriedade; definição; integrais impróprios convergentes e divergentes.  Exemplos 32 (p.66) 1, 2. Exercícios 14 (p.70) 1,3,4,5. Exemplos 34 (p.72) 1,2,3. Exercícios 16 (p. 75) 1, 3(começo). TPC: Exercícios 14 (p.70) 2,6. Exercícios 20 (p.79) 2d), 3, 5. Exercícios 16 (p.75) 2,4,6,8 e acabar 3.

Integral indefinido: definição e propriedades. Exemplos e exercícios.
Integrais impróprios em ]-∞,+∞[. Exemplos e exercícios.

Resolução de exercícios. Propriedades do integral indefinido. Integral impróprio por a função integranda não ser limitada no intervalo de integração.

Integral indefinido. Definição e propriedades.

Resolução de exercícios.

O integral indefinido. Propriedades do integral indefinido (Proposições 3.7, 3.8, 3.9 e 3.10, p.68-69). O conceito de integral impróprio: duas causas de impropriedade; definição; integrais impróprios convergentes e divergentes.  Exemplos 32 (p.66) 2. Exercícios 14 (p.70) 1,3,4,5. Exemplos 34 (p.72) 1,2. Exercícios 16 (p. 75) 1. TPC: Exercícios 14 (p.70) 2,6. Exercícios 20 (p.79) 2d), 3, 5. Exercícios 16 (p.75) 2,4,6,8.

Resolução de exercícios. Propriedades do integral indefinido. Integral impróprio por a função integranda não ser limitada no intervalo de integração.

Cálculo de áreas: resolução de exercícios.

Integral Indefinido: definição e propriedades.

Resolução de exercícios.

Férias da Páscoa

.

Périodo de férias

FÉRIAS DA PÁSCOA.

FÉRIAS DA PÁSCOA.

Férias da Páscoa

Ferias da Pascoa

Férias da Páscoa

FÉRIAS DA PÁSCOA.

FÉRIAS DA PÁSCOA.

Período da férias

FÉRIAS DA PÁSCOA.

Férias da Páscoa

Férias da Páscoa

.

FÉRIAS DA PÁSCOA.

Ferias da Pascoa

Férias da Páscoa

FÉRIAS DA PÁSCOA.

FÉRIAS DA PÁSCOA.

Integração por substituição. Aplicação do integral ao cálculo de áreas.

Avisos sobre inscrições para o teste e sobre a matéria não dada. Revisão TPC: Exercícios 11 (p.56) 3. Integração por partes. Integração por substituição (Proposição 3.6, p.55). Exercícios 11 (p.56) 9, 12. Cálculo de áreas definidas pelo gráfico de duas funções (p.57). Exercícios 12 (p.60) 1 a)b)c)f) + Exercício extra. TPC para a Páscoa: Exercícios 11 (p.56) 7, 10, 11. Exercícios 12 (p.60) 1d)e), 2, 3, 4. Exercícios 20 (p.79) 1 a)b), 2 a)b)c).

Resolução de exercícios. Integral definido de uma função definida por ramos. Integração por substituição. Integral indefinido. Integral impróprio quando o intervalo de integração não é limitado.

Correção do TPC. Cálculo integral: motivação, algumas propriedades  e exemplos. Teorema fundamental do cálculo integral.

Motivação do integral definido.

Cálculo de áreas de regiões delimitadas pelo gráfico de funções.

Integral Definido: propriedades (conclusão); cálculo de áreas planas.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC - Exercícios 11 (pg 56) sobre integral definido.
Áreas de regiões definidas pelos gráficos de duas funções. Exemplo. Exerc. 12 -1a).
Integral indefinido: definição, algumas propriedades e exemplos.
TPC: Concluir Exerc. 11 (pg 56); Exerc. 12 - 1c) a f), 2 e 3 (pg. 60). Exerc. 14 - 1, 2 e 3 (pg.70)

Cálculo de áreas.

Resolução de exercícios. Integral definido de uma função definida por ramos. Integração por substituição. Integral indefinido. Integral impróprio quando o intervalo de integração não é limitado.

Avisos sobre inscrições para o teste e sobre a matéria não dada. Revisão TPC: Exercícios 11 (p.56) 2,3. Integração por partes. Integração por substituição (Proposição 3.6, p.55). Exercícios 11 (p.56) 9, 12. Cálculo de áreas definidas pelo gráfico de duas funções (p.57). Exercícios 12 (p.60) 1 a)b)c)f) + Exercício extra. O integral indefinido: conceito (p.57)  e discussão. Exemplos 32 (p.66) 1.  TPC para a Páscoa: Exercícios 11 (p.56) 7, 10, 11. Exercícios 12 (p.60) 1d)e), 2, 3, 4. Exercícios 20 (p.79) 1 a)b), 2 a)b)c).

Integral Definido: propriedades (conclusão); cálculo de áreas planas.

Resolução de exercícios.

De acordo com o que ficou combinado com os alunos esta aula passou para 3ª feira dia 22 de Março, das 14h30 às 17h.

Integral Definido: definição e propriedades.

Resolução de exercícios.

Esclarecimento de dúvidas sobre primitivas.
Integral definido: definição, propriedades e convenções. Fórmula fundamental do cálculo integral.
Integração por substituição. Exemplos.
TPC: Exerc. 11 (pg 56)

Resolução de exercícios. Cálculo integral: integral definido; propriedades; fórmula fundamental do cálculo integral; cálculo das áreas das regiões limitadas pelos gráficos de duas funções.

Revisão TPC Primitivas: Exercícios 10 (p.42) 2 c),m),IV),VII). Cálculo Integral: conceitos introdutórios e dedução informal do conceito de integral definido. Exemplo 24 (p.49). Convenções (p.51). Propriedades do integral definido: Proposição 3.1 (p.49), Proposição 3.2 (p.50), Proposição 3.3 (p.50), Teorema 3.5 (Fórmula fundamental do cálculo integral, p.54). Exemplos 25 (p.54) 3,4,6. Exercícios 11 (p.56) 4,5,6,8. TPC: Exemplos 25 (p.54) 1,2,5. Exercícios 11 (p.56) 1,2,3.

Revisão das propriedades da primitiva. Exemplos e exercícios.

Integral definido e fórmula de Barrow. Cálculo de integrais.

Introdução ao cálculo integral. Integral definido. Propriedades. Teorema da média. Fórmula fundamental do cálculo integral. Integração por substituição. Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios. Cálculo integral: integral definido; propriedades; fórmula fundamental do cálculo integral; cálculo das áreas das regiões limitadas pelos gráficos de duas funções.

Revisão TPC Primitivas: Exercícios 10 (p.42) 2g) III)IV)V)VII). Cálculo Integral: conceitos introdutórios e dedução informal do conceito de integral definido. Exemplo 24 (p.49). Convenções (p.51). Propriedades do integral definido: Proposição 3.1 (p.49), Proposição 3.2 (p.50), Proposição 3.3 (p.50), Teorema 3.5 (Fórmula fundamental do cálculo integral, p.54). Exemplos 25 (p.54) 3,4,6. Exercícios 11 (p.56) 4,5,6,8. TPC: Exemplos 25 (p.54) 1,2,5. Exercícios 11 (p.56) 1,2,3.

Integral Definido: definição e propriedades.

Resolução de exercícios.

Revisão TPC: Exercícios 10 (p.42) 2g)m)n)r). A primitivação de funções racionais (funções racionais próprias e impróprias e a respectiva decomposição: Teoremas 2.7 e 2.8). Exemplo 19 (p.36), Exercícios 9 (p.40) 1,2,3,4. Exemplos 22 (p.39) 1, Exercícios 10 (p.42) 2 III). TPC: Exercícios 10 (p.42)  2 y), w), IV), VII), t), u), v), x), I), II), V), VI).

Resolução de exercícios. Primitivaçãopor substituição.

Correção do TPC. Primitivação por subsituição e primitivação de funções racionais.

Resolução de várias primitivas por decomposição da folha de Primitivas (em Exercícios Adicionais-página da U.C.).

Método da primitivação por substituição.

Resolução de EXERCÍCIOS 8 (pg. 36).

Primitivação de funções racionais. Exemplos e exercícios.

Correção do TPC: exercícios sobre primitivação.
Exerc. 7 – 5 (pg. 35); Exerc. 9 (pg. 40); Exerc. 10 – 2 II) a VII) (pg. 42).
TPC: Exercícios adicionais sobre primitivas (ver fenix).

Primitivação por substituição. Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios. Primitivaçãopor substituição.

Revisão TPC: Exercícios 10 (p.42) 2n)o)p)q)r) e o desafio da "demostração 0=1". A primitivação de funções racionais (funções racionais próprias e impróprias e a respectiva decomposição: Teoremas 2.7 e 2.8). Exemplo 19 (p.36), Exercícios 9 (p.40) 1,2,3,4. Exemplos 22 (p.39) 1, Exercícios 10 (p.42) 2 y) III). TPC: Exercícios 10 (p.42)  2 w), IV), VII), t), u), v), x), I), II), V), VI).

Resolução de várias primitivas por decomposição da folha de Primitivas (em Exercícios Adicionais-página da U.C.).

Método da primitivação por substituição.

Resolução de EXERCÍCIOS 8 (pg. 36).

Primitivação por partes e por substituição. Resolução de exercícios

Esclarecimento de dúvidas sobre trabalhos de casa: resolução de várias primitivas imediatas e por partes da folha de Primitivas (em Exercícios Adicionais-página da U.C.).

Primitivação de funções racionais; método da primitivação por decomposição aplicado a funções racionais próprias.

Resolução de EXERCÍCIOS 9 (pg. 40): 1, 2.

Correção do TPC - exercícios sobre primitivação:
Exerc. 7 – 2, 3 (pg. 34); Exerc. 8 – 1, 2, 3, 5 (pg. 36);  Exerc. 10 – 2 c) a h) (pg. 42).
Primitivação de funções racionais. Exemplos.
TPC: Exerc. 7 – 5 (pg. 35); Exerc. 9 (pg. 40); Exerc. 10 – 2 restantes (pg. 42);
Exercícios adicionais – ver fenix.

Resolução de exercícios. Primitivação de funções racionais.

Revisão TPC: Exercícios 10 (p.42) 1b)c), 2i) e esclarecimento do desafio da aula anterior. Ainda a primitivação por partes: Exercícios 7 (p.34) 5. A primitivação por substituição: Proposição 2.6 (p. 35). Exemplos 18 (p.35) 1,2,3. Exercícios 8 (p.36) 1,2,3,4, 5. TPC: Exercícios 10 (p.42) 2n)o)p)q)r).

Primitivação por partes e por substituição. Exemplos e exercícios.

Resolução de exercícios. Primitivação de funções racionais.

Revisão TPC: Exercícios 10 (p.42) 2i) . Ainda a primitivação por partes: Exercícios 7 (p.34) 5. A primitivação por substituição: Proposição 2.6 (p. 35). Exemplos 18 (p.35) 1,2,3. Exercícios 8 (p.36) 1,2,3,4, 5 (parcialmente). TPC: Acabar Exercícios 8 (p.36) 5. Exercícios 10 (p.42) 2n)o)p)q)r).

Esclarecimento de dúvidas sobre trabalhos de casa: resolução de várias primitivas imediatas e por partes da folha de Primitivas (em Exercícios Adicionais-página da U.C.).

Primitivação de funções racionais; método da primitivação por decomposição aplicado a funções racionais próprias.

Resolução de EXERCÍCIOS 9 (pg. 40): 1, 2.

Decomposição de funções racionais. Resolução de exercícios.

Revisão TPC: Exemplos 14 (p.31) 1,3. Propriedades das primitivas: Teorema 2.1 (p.31), Observação 3.2 (p.30), Teorema 2.2 (p.32), Proposições 2.3 e 2.4 (p.33). Exemplos 15 (p.33) 1,2,3. Exemplos 16 (p.33) 1,2. Exercícios 10 (p.42) 2a)b)c)d)h)j)m). A primitivação por partes: Proposição 2.5 (p.33), Exemplos 17 (p.34) 1,2,4. Exercícios 7 (p.34) 1,2,3,4. Um desafio: a "demonstração" de que 0=1 (!!). TPC: exercícios 10 (p.42) 1, 2e)f)g)i)k)l), 3.

Correção do TPC. Primitivas imediatas. Problema de valores iniciais. Resolução de exercícios

Primitivas. Definição. Primitivas imediatas. Família das primitivas de uma função. Interpretação geométrica da funçao a primitivar em relação às suas primitivas. Propriedades das primitivas: da soma, do produto escalar e primitivação por partes.

Esclarecimento de dúvidas sobre trabalhos de casa: resolução de várias primitivas imediatas da folha de Primitivas (em Exercícios Adicionais-página da U.C.).

Primitivação por partes: resolução de todos os exercícios de EXERCÍCIOS 7 (pgs. 34 e 35).

Primitivas: definição e propriedades. Exercícios: cálculo de primitivas imediatas.

Correção do TPC - exercícios sobre primitivação:
Exerc. 6 (pg. 30); Exerc. 10 – 1a)b), 2a)b), 3 (pg. 42).
Primitivação por partes. Demonstração e exemplos.
Primitivação por substituição. Exemplos.
TPC: Exerc. 7 (pg. 34); Exerc. 8 (pg. 36); Exerc. 10 – 2 c) a v) (pg. 42).

Primitivas imediatas. Primitivação da soma. Primitivação por partes.

Resolução de exercícios.

Propriedades das primitivas: Teorema 2.1 (p.31), Observação 3.2 (p.30), Teorema 2.2 (p.32), Proposições 2.3 e 2.4 (p.33). Exemplos 14 (p.31) 1,2,3. Exemplos 15 (p.33) 1,2,3. Exemplos 16 (p.33) 1,2. Exercícios 10 (p.42) 2a)b)c)d)h)j)m). A primitivação por partes: Proposição 2.5 (p.33), Exemplos 17 (p.34) 1,2,4. Exercícios 7 (p.34) 1,2,3,4. Um desafio: a "demonstração" de que 0=1 (!!). TPC: exercícios 10 (p.42) 1, 2e)f)g)i)k)l), 3.

Primitivas. Definição. Primitivas imediatas. Família das primitivas de uma função. Interpretação geométrica da funçao a primitivar em relação às suas primitivas. Propriedades das primitivas: da soma, do produto escalar e primitivação por partes.

Esclarecimento de dúvidas sobre trabalhos de casa: resolução de várias primitivas imediatas da folha de Primitivas (em Exercícios Adicionais-página da U.C.).

Primitivação por partes: resolução de todos os exercícios de EXERCÍCIOS 7 (pgs. 34 e 35).

Correção do TPC e resolução de exercícios envolvendo o resto de Lagrange. Primitivas: definição, algumas propriedades e exemplos.

EXERCÍCIOS 3 (pgs. 15 e 16): 7. 

EXERCÍCIOS 5 (pg. 23): 3 (acabar em casa).

Cap.2. Primitivação.

Definição de primitiva; propriedades; primitivas imediatas.

EXERCÍCIOS 6 (pg. 30): todos.

Correção do TPC: exercícios sobre fórmula de Taylor e de MacLaurin com resto de Lagrange (Exerc. 3 – 3, 6, 7, pg. 15 e 16). Ilustração no R dos gráficos das funções e polinómios de Taylor dos Exerc. 3 - 6, 7.
Primitivação: definição, propriedades e exemplos.
TPC: Exerc. 6 (pg. 30)
        Exerc. 10 – 1a)b), 2a)b), 3 (pg. 42).

Resolução de exercícios.

Revisão TPC: Exercícios 3 (p.15) 2e). Ilustração em computador dos gráficos de sin(x) e dos seus polinómios de MacLaurin de ordem 1, 3, 5, 7 e 9. Resto de Lagrange: Exercícios 3 (p.15) 5, 7.

Primitivas: Definição 1 e Exemplos 13 (p.29). Observação 1 (p-30). Tabela das primitivas imediatas. Exercícios 6 (p.30). Teorema 2.1 (p.31).

Fórmula de Taylor e resto de Lagrange. Exercícios.

Resolução de exercícios.

Revisão TPC: Exercícios 3 (p.15) 6. Ilustração em computador dos gráficos de sin(x) e dos seus polinómios de MacLaurin de ordem 1, 3, 5, 7 e 9. Resto de Lagrange: Exercícios 3 (p.15) 5, 7.

Primitivas: Definição 1 e Exemplos 13 (p.29). Observação 1 (p-30). Tabela das primitivas imediatas. Exercícios 6 (p.30).

Resolução de exercícios sobre formula de Taylor.

Primitivas. Definição e algumas propriedades. Problemas com valores iniciais.

EXERCÍCIOS 3 (pg 15 e 16): 8.b).

Cap.2. Primitivação.

Definição de primitiva; propriedades; primitivas imediatas.

EXERCÍCIOS 6 (pg.30): todos.

Revisão da Fórmula de Taylor: Teorema 1.3 (p.13) e sua demonstração, Exemplos 6 e 7. Resto de Lagrange: Teorema 1.4 (p.14). Exercícios 3 (p.15) 1, 2b), 3, 4, 8. TPC: Exercícios 3 (p.15) 2d)e), 6, 9.

Aproximação por funções quadráticas. Polinómio de Taylor e MacLaurin. Resto de Lagrange

Resolução de exercícios. Fórmula de Taylor: Resto de Lagrange. Anexo: Mais exercícios Fórmula de Taylor com soluções.

Fórmula de Taylor, de ordem n, de f(x), no ponto a - com Resto de Taylor ou com Resto de Lagrange.

Resolução de: EXERCÍCIOS 3 (pgs. 15 e 16): 2.c); 3; 4; 5; 6; 8.

Fórmula de Taylor e resto de Lagrange. Exemplos e exercícios.

Correção do TPC: Exerc. 3  - 1, 2, 4 sobre fórmula de Taylor.
Resto de Lagrange. Exemplos 8 - 1, 2 (pág.14).
Exemplo 3 - Seja f(x)=arctg 1/x, x≠ 0.
  a) Escreva o polinómio de Taylor de ordem 2 de f em a=1.
  b) Prove que, para x>1, f(x)<P₂(x) em que P₂(x) é o polinómio da alínea anterior.
TPC: Concluir Exerc. 3 (pág. 15)

Formula de Taylor e de Mac Laurin com resto de Lagrange. Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios. Fórmula de Taylor: Resto de Lagrange. Anexo: Mais exercícios Fórmula de Taylor com soluções.

Fórmula de Taylor, de ordem n, de f(x), no ponto a - com Resto de Taylor ou com Resto de Lagrange.

Resolução de: EXERCÍCIOS 3 (pgs. 15 e 16): 2.c); 3; 4; 5; 6; 8.a).

Fórmula de Taylor: Teorema 1.3 (p.13) e sua demonstração, Exemplos 6 e 7. Resto de Lagrange: Teorema 1.4 (p.14). Exercícios 3 (p.15) 1, 2b), 3, 4, 8. TPC: Exercícios 3 (p.15) 2d)e), 6, 9.

Correção do TPC. Assíntotas. Derivabilidade e reta tangente. Aproximação linear.

Funções trigonométricas (inversas e recíprocas).

Resolução de: EXERCÍCIOS 4(pg.22)- várias alíneas do 1, 2 e 3.

Derivadas de ordem supeior à primeira. Fórmula de Taylor e Fórmula de MacLaurin; Polinómios de Taylor e de MacLaurin; Resto de Taylor e resto de Lagrange.

Resolução de: EXERCÍCIOS 3.1 (pgs.15 e 16).

Correção do TPC: exercícios sobre limites e indeterminações.
Fórmula de Taylor. Exemplos.
TPC: Exerc. 3 – 1, 2, 4 (pg. 15).

Resolução de exercícios. Polinómio de Taylor. Anexos: Mais exercícios Regra de Cauchy; Mais exercícios Fórmula de Taylor.

Revisão de TPC. Ainda as aplicações da Regra de Cauchy. Indeterminações do tipo infinito - infinito. Exercícios 2 (p.8) 1 e)i)n). Exemplos 4 (p.8) 1,2,3. Fórmula de Taylor. Conceitos introdutórios. Polinómio e Resto de Taylor de ordens 1 e 2 e discussão das respectivas propriedades. Exemplo 6 (p.12). Caso geral da fórmula e resto de Taylor: Teorema 1.3 (p.13). TPC: Exercícios 2 (p.8) 1 o)p)q), 2.

Exercícios: cálculo de limites.

Fórmula de Taylor e de MacLaurin. Exemplos e exercícios.

Equação da recta tangente ao gráfico de uma função num ponto. Polinómios de Taylor e de MacLaurin.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios. Polinómio de Taylor. Anexos: Mais exercícios Regra de Cauchy; Mais exercícios Fórmula de Taylor.

Revisão de TPC. Ainda as aplicações da Regra de Cauchy. Indeterminações do tipo infinito - infinito. Exercícios 2 (p.8) 1 b)c)m)l)g)e)i). Exemplos 4 (p.8) 1,2,3. Fórmula de Taylor. Conceitos introdutórios. Polinómio e Resto de Taylor de ordens 1 e 2 e discussão das respectivas propriedades. TPC: Exercícios 2 (p.8) 1 h)j)k)n)o)p)q).

Funções trigonométricas (inversas e recíprocas).

Resolução de: EXERCÍCIOS 4(pg.22)- várias alíneas do 1, 2 e 3.

Derivadas de ordem supeior à primeira. Fórmula de Taylor e Fórmula de MacLaurin; Polinómios de Taylor e de MacLaurin; Resto de Taylor e resto de Lagrange.

Resolução de: EXERCÍCIOS 3.1 (pgs.15 e 16).

Revisão da Regra de Cauchy. Proposição 1.2 (p.6). Uso da Regra de Cauchy a partir de indeterminações do tipo 0 x infinito, ou dos 3 tipos de indeterminação resultantes de potências. Exemplos 2 (p.7) 1,2. Exemplos 3 (p.7) 1,2,3. Exercícios 1 (p.7) 1 c)e). Exercícios 4 (p.22) 3a)e)f). Exercícios 2 (p.8) 1d)f). TPC: Exercícios 2 (p.8) 1b)c)m)l)g).

Resolução de: EXEMPLOS 4.3, 4.2 (pg. 8); EXERCÍCIOS 2.1.n), e) (pg.9).

Revisões sobre funções reais de variável real: assíntotas verticais e não verticais (horizontais e oblíquas); estudo completo de uma função.

Resolução de: EXERCÍCIOS 2. 2.a) (pg. 9).

Funções trigonométricas - seno, cosseno, tangente; suas inversas - arco seno, arco cosseno, arco tangente. Função exponencial e sua inversa.

Resolução de exercicios.

Resolução de exercícios.

Regra de Cauchy. Levantamento de indeterminações 0⁰, ∞⁰, 1^∞ e ∞−∞.

Exercícios: cálculo de limites.

Correção do TPC. Exemplos de indeterminações 0 × ∞.
Indeterminações 0^0, ∞^0 e 1^∞. Exemplos.
Indeterminações ∞ − ∞. Exemplos.
TPC: Exerc. 2 - 1 (pág. 8/9). Exerc. 4 - 3 (pág. 22).

Novas indeterminações. Resolução de exercícios.

Resolução de: EXEMPLOS 4.3, 4.2 (pg. 8); EXERCÍCIOS 2.1.n) (pg.9).

Revisões sobre funções reais de variável real: assíntotas verticais e não verticais (horizontais e oblíquas); estudo completo de uma função.

Resolução de: EXERCÍCIOS 2. 2.a) (pg. 9).

Funções trigonométricas - seno, cosseno, tangente; suas inversas - arco seno, arco cosseno, arco tangente; suas recíprocas - cossecante, secante e cotangente (e inversas destas - arco cossecante, arco secante, arco cotangente).

Resolução de exercícios.

Revisão da Regra de Cauchy. Proposição 1.2 (p.6). Uso da Regra de Cauchy a partir de indeterminações do tipo 0 x infinito, ou dos 3 tipos de indeterminação resultantes de potências. Exemplos (p.5) 1,4. Exemplos 2 (p.7) 1,2. Exemplos 3 (p.7) 1. Exercícios 1 (p.7) 1b)c)d)e). Exercícios 4 (p.22) 3a)e)f). TPC: Exemplos 3 (p.7) 2,3. Exercícios 2 (p.8) 1d)f)b).

Derivadas das funções trignométricas inversas (conclusão). Levantamento de outras indeterminações recorrendo à regra de Cauchy.

Indeterminações. Regra de Cauchy.

Resolução de alíneas de: EXERCÍCIOS 1 (pg. 6 e 7) e  EXERCÍCIOS 2 (pg.8 e 9).

Esclarecimento de dúvidas sobre derivadas. A função arctg. Resolução de exercícios sobre as funções inversas das funções trigonométricas. Exerc. 4 – 1, 2 (pág. 22).
Regra de Cauchy para Indeterminações 0/0 e ∞/∞. Exemplos. Indeterminações 0 × ∞.
TPC: Exerc. 1 – 1; 2 (pág. 7).

As funções arco-cosseno e arco-tangente e suas propriedades. Exercícios 4 (p.22) Ex.1 b)f) Ex.2a)b)c).

Propriedades operatórias de limites e indeterminações. A Regra de Cauchy para as indeterminações 0/0 e infinito/infinito (Teorema 1.1, p.4). Exemplos (p.5) 1)4). Exercícios 1 (p.7) 1 d)b). TPC: Exercícios 1 (p.7) 1 a).

Propriedades dos limites. Álgebra dos limites. Tipos de indeterminações: 0/0, ∞/∞, 0×∞, 0⁰, ∞⁰, 1^∞ e ∞−∞.

Regra de Cauchy e interpretação geométrica. Levantamento de indeterminações 0/0, ∞/∞ e 0×∞.

Exercícios: cálculo de limites.

Correção dos trabalhos de casa. Cálculo de limites. Indeterminações. Regra de Cauchy.

Cálculo de limites. Indeterminações. Regra de Cauchy. Resolução de exercícios.

As funções arco-cosseno e arco-tangente e suas propriedades. Exercícios 4 (p.22) Ex.1 b)c)d)e)f) Ex.2a)b)c).

Propriedades operatórias de limites e indeterminações. A Regra de Cauchy para as indeterminações 0/0 e infinito/infinito (Teorema 1.1, p.4). TPC: Ver Exemplos (p.5) e Exercícios 1 (p.7) 1 d).

Indeterminações. Regra de Cauchy.

Resolução de alíneas de: EXERCÍCIOS 1 (pg. 6 e 7) e  EXERCÍCIOS 2 (pg.8 e 9).

Correção dos trabalhos de casa. Cálculo de limites. Indeterminações. Regra de Cauchy.

Apresentação da disciplina. Programa, métodos de avaliação, horários de dúvidas e materiais de apoio (ver página web da UC).

Revisão de conceitos. Algumas ckasses importantes de funções. A funão arco-seno e suas propriedades.Exercícios 4 (pg.22) 1a)g)c)d)e).

TPC: Acabar Ex. 1 (pg.22)

Apresentação da UC. Revisões sobre funções reais de variável real. Funções trignométricas inversas. Regra de Cauchy para levantamento de indeterminações do tipo 0/0 e inf/inf. 

Apresentação da UC. Revisões sobre derivadas e função inversa. Funções arcoseno, arcocoseno e arcotangente.

Apresentação: regras de frequência e avaliação.

Revisões sobre funções elementares: potências, seno, coseno, tangente, exponencial, acrseno, arccoseno, arctangente e logarítmo. Domínios, gráficos e limites.

Definição de derivada. Interpretação cinemática, geométrica e de Carathéodory. Notação de Lagrange e de Leibniz. Regras de derivação.

Exercícios: cálculo de derivadas.

Apresentação da UC. Programa e material de apoio. Frequência e avaliação de conhecimentos. Horário de dúvidas.

Parte 1. CÁLCULO DIFERENCIAL, PRIMITIVAS E CÁLCULO INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL.

Cap.1. Complementos sobre derivadas.

Revisões sobre funções reais de variável real: domínio e contradomínio; continuidade; derivabilidade.

Cálculo de limites.

Resolução de alíneas de EXERCÍCIOS 1 (pg. 6 e 7).

Apresentação: regras de frequência e de avaliação e material de apoio.
Revisões sobre funções reais de variável real.
Funções inversas das funções trignométricas: arcsin, arccos.
TPC: Exercícios adicionais sobre derivadas. Exerc. 4 - 1, 2 (pág. 22).

Apresentação da disciplina.

Revisões sobre funções reais de uma variável real.

Funções trigonométricas inversas.

Apresentação da disciplina. Programa, métodos de avaliação, horários de dúvidas e materiais de apoio (ver página web da UC).

Revisão de conceitos. Algumas ckasses importantes de funções. A funão arco-seno e suas propriedades. TPC Exercícios 4 (pg.22) 1a)g)c)d)e)

Apresentação da UC. Revisões sobre derivadas e função inversa. Funções arcoseno, arcocoseno e arcotangente.

Apresentação da UC. Programa e material de apoio. Frequência e avaliação de conhecimentos. Horário de dúvidas.

Parte 1. CÁLCULO DIFERENCIAL, PRIMITIVAS E CÁLCULO INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL.

Cap.1. Complementos sobre derivadas.

Revisões sobre funções reais de variável real: domínio e contradomínio; continuidade; derivabilidade.

Cálculo de limites.

Resolução de alíneas de EXERCÍCIOS 1 (pg. 6 e 7).