Resolução de Exercícios de Inferência Estatística: 3.24, 3.29, 3.32, 3.34, 3.37, 3.38.

Resolução de Exercícios de Inferência Estatística: 3.32, 3.34, 3.37, 3.38, 3.24.

Intervalos de confiança e Testes de Hipóteses: correcção e resolução de exercícios: 3.25 e 3.34. Interpretação de outputs de R.

Intervalos de confiança e testes de hipóteses: cálculo manual e interpretação de outputs. Exercícios 3.25, 3.32 e 3.35.

Intervalos de confiança e Testes de hipóteses: Revisões e esclarecimento de dúvidas.

Ex.: 3.32; 3.35; 3.37; 3.38 (resolução parcial).

Introdução aos Testes de Hipóteses.
O conceito de p-value. Sua interpretação e utilização num teste de hipóteses.
O teste de normalidade de Shapiro-Wilk. Resolução detalhada do exercício 3.23 da folha de práticas.
Comentários finais -- análise de outputs do R.

Intervalos de confiança e testes de hipóteses: cálculo manual e interpretação de outputs. Exercícios 3.25, 3.32 e 3.35.

Intervalos de confiança e testes de hipóteses: cálculo manual e interpretação de outputs do R. Resolução dos exercícios: 3.28 b) c) (com recurso a testes de hipóteses e ao R), 3.25 a) b) c).

Introdução aos Testes de Hipóteses.
O conceito de p-value. Sua interpretação e utilização num teste de hipóteses.
O teste de normalidade de Shapiro-Wilk. Resolução detalhada do exercício 3.23 da folha de práticas.
Comentários finais -- análise de outputs do R.

Intervalos de confiança e testes de hipóteses: cálculo manual e interpretação de outputs do R. Resolução dos exercícios:  3.22 b), 3.28.

Intervalos de confiança e Testes de hipóteses: Revisões e esclarecimento de dúvidas.

Ex.: 3.32; 3.35; 3.37; 3.38  (resolução parcial).

Intervalos de confiança e Testes de hipóteses: Revisões e esclarecimento de dúvidas.

Ex.: 3.32; 3.35; 3.37; 3.38 (resolução parcial).

Intervalos de confiança e Testes de Hipóteses: correcção e resolução de exercícios: 3.17, 3.18, 3.21, 3.25. Interpretação de outputs de R.

Intervalos de confiança e testes de hipóteses: cálculo manual e interpretação de outputs do R. Resolução do exercício 3.28 (com recurso a intervalos de confiança, testes de hipóteses e ao R).

Introdução aos Testes de Hipóteses.
O conceito de p-value. Sua interpretação e utilização num teste de hipóteses.
O teste de normalidade de Shapiro-Wilk. Resolução detalhada do exercício 3.23 da folha de práticas.
Comentários finais -- análise de outputs do R.

[Nota: aula extraordinária para substituição da aula de dia 9/12/2016]

Intervalos de confiança e Testes de hipóteses.

Ex.: 3.17; 3.25.

TPC: 3.22; R3.10.

[Nota - Esta aula foi prolongada em 0.5h para compensar os feriados de Dezembro]

Introdução à Inferência Estatística: intervalos de confiança para a média e para a variância de uma população e para a razão de variâncias de duas populações; teste de hipóteses bilateral ao valor médio de uma população. Resolução dos exercícios: 3.13 b) c), 3.15, 3.17, 3.21.

TPC: acabar ex. 3.21 e resolver exs. 3.18, 3.19, 3.20 a) b), 3.24.

Intervalos de confiança e Testes de hipóteses.

Ex.: 3.13 (conclusão); 3.14, 3.15, 3.16 e  3.24.

TPC: 3,18, 3.21, 3.22; 3.25.

Conclusão da apresentação de Intervalos de Confiança para a diferença de duas médias populacionais para amostras independentes e para amostras emparelhadas. Exemplos, interpretação.

Introdução aos Testes de Hipóteses. Sua interpretação. Os testes paramétricos: 
a hipótese nula e a hipótese alternativa. O nível de significância de um teste.
Testes de hipóteses bilaterais e unilaterais.
Passos a seguir na construção de um teste de hipóteses.
Resolução do exercício do slide 165, usando I.C. e testes de hipóteses. 
Breve referência ao teste de normalidade, comno teste de hipóteses não paramétrico.
Início de resolução do exercício 6. do exame de 25.01.2016.

Nota: Esta aula teórica decorreu das 8h45 às 10h15.

Introdução à Inferência Estatística: resolução de exercícios sobre intervalos de confiança e testes de hipóteses. Ex. 3.13 (conclusão). 3.15 (usando int. conf. e testes), 3.16, 3.17, 3.24, 3.25 a) (feito à mão) .

Início de interpretação do output do R.

TPC: 3.21, 3.22, 3.25 (concluir)

Nota: Esta aula decorreu das 14h às 17h

Intervalos de confiança e Testes de hipóteses.

Ex.: 3.25.

TPC: 3.22; R3.10.

Intervalos de confiança e testes de hipóteses. Exercícios 3.21, 3.27, 3.28 e 3.29 (resolvidos pelas duas abordagens). TPC: exerc. 3.25.

Introdução aos Testes de Hipóteses. Sua interpretação. Os testes paramétricos:  
a hipótese nula e a hipótese alternativa. O nível de significância de um teste.
Testes de hipóteses bilaterais e unilaterais.
Passos a seguir na construção de um teste de hipóteses.
Resolução do exercício do slide 165, usando I.C. e testes de hipóteses.  
Breve referência ao teste de normalidade, como teste de hipóteses não paramétrico.
Início de resolução do exercício 6. do exame de 25.01.2016.

Introdução à Inferência Estatística: intervalos de confiança para a diferença de médias (amostras independentes) e para a razão de variâncias de 2 populações; teste de hipóteses bilateral para a comparação das variâncias de 2 populações. Resolução do exercício 3.26.

TPC: responder ao exercício 3.26b) efectuando um teste de hipóteses bilateral para a comparação das 2 médias; resolver exs. 3.21, 3.27 (só comparação de médias), 3.29.

Intervalos de confiança e Testes de hipóteses.

Ex.: 3.25.

TPC: 3.22; R3.10.

Introdução aos Testes de Hipóteses. Sua interpretação. Os testes paramétricos:  
a hipótese nula e a hipótese alternativa. O nível de significância de um teste.
Testes de hipóteses bilaterais e unilaterais.
Passos a seguir na construção de um teste de hipóteses.
Resolução do exercício do slide 165, usando I.C. e testes de hipóteses.  
Breve referência ao teste de normalidade, como teste de hipóteses não paramétrico.
Início de resolução do exercício 6. do exame de 25.01.2016.

Introdução à Inferência Estatística: intervalos de confiança para a média e para a variância de uma população. Resolução dos exercícios: 3.13 b) c), 3.15, 3.17.

TPC: resolver exs. 3.18, 3.19, 3.20 a) b).

Intervalos de confiança e testes de hipóteses. Exercícios 3.21, 3.27, 3.28 e 3.29 (resolvidos pelas duas abordagens). TPC: exerc. 3.25.

Foi combinado com os alunos que esta aula prática seria leccionada no dia 12.12 das 15h30 às 17h e repetida no dia 13.12 das 13h às 14h30.

Intervalos de confiança. Exercícios 3.13 b) e c), 3.15, 3.18, 3.24 e 3.26. TPC: exerc. 3.21 e 3.29.

Intervalos de confiança e Testes de hipóteses.

Ex.: 3.13 (conclusão); 3.16; 3.17; 3.21.

Esta aula teórica foi dada antecipadamente, no dia 2.12, das 8h30 às 9h30, em conjunto com as turmas 1,2,3 e 4.

Intervalos de confiança. Exercícios 3.13 b) e c), 3.15, 3.18, 3.24 e 3.26. TPC: exerc. 3.21 e 3.29.

Esta aula teórica foi dada antecipadamente, no dia 2.12, das 8h30 às 9h30, em conjunto com as turmas 5,6,7 e 8.

Intervalos de confiança e Testes de hipóteses.

Ex.: 3.13 (conclusão); 3.16; 3.17; 3.21.

FERIADO NACIONAL

Feriado Nacional

Feriado Nacional

(esta aula tem sido substituída prolongando as aulas práticas das terças-feiras)

Feriado Nacional ( têm sido dadas aulas de substituição dos feridados às terças-feiras iniciando a aula teórica 30 min mais cedo)

Distribuições de amostragem e estimadores.

Ex.: 3.4; 3.9.

Intervalos de confiança e Testes de hipóteses.

Ex.: 3.13a).

Realização do 2º Questionário.

Ainda exercicios sobre distribuições contínuas:  Ex  2.87 e 2.84.

Introdução à Inferência Estatística: a teoria da estimação . Amostra aleatória. Estimador de um parâmetro e propriedades. Resolução dos exercícios: 3.4.

Realização do 2º questionário.

TPC: resolver exs. 3.13, 315, 3.16, 3.17 e 3.18

Revisão da construção de intervalos de confiança a  (1-alpha)*100%  para o valor médio numa população normal com variância conhecida.
A precisão da estimativa do valor médio para uma dada confiança.
Resolução do exercício do slide 142.
Intervalos de confiança para o valor médio de uma população com distribuição qualquer, quando a amostra tem dimensão elevada.
Mais algumas distribuições de amostragem: a distribuição qui-quadrado e a distribuição t-Student.
Definição de variáveis com aquelas distribuições e sua aplicação na inferência.
Intervalo de confiança para a variância populacional  no caso de uma população normal  Intervalo de confiança para a média populacional no caso de uma população normal com variância desconhecida - dedução.
Resolução de um exemplo, para ilustrar também a leitura da tabela t-Student.

Nota: Esta aula teórica decorreu das 8h45 às 10h15.

Introdução à Inferência Estatística: a teoria da estimação . Resolução dos exercícios: 3.3, 3.8 (resolução ainda do TPC indicado na aula teórica, para provar que S^2 é um estimador centrado de sigma^2) e 3.11.

Realização do 2º questionário.

TPC: resolver exs. 3.13, 315, 3.16, 3.17 e 3.18

Distribuições de amostragem e estimadores.

Ex.: 3.4; 3.9.

Intervalos de confiança e Testes de hipóteses.

Ex.: 3.13a).

Realização do 2º Questionário.

Introdução à inferência estatística e intervalos de confiança. Exercícios 3.4, 3.2 (Turma 1), 3.1, 3.9 e 3.13a). Realização do 2º Questionário. TPC: exerc. 3.13 b) e c), 3.15.

Principais distribições contínuas: a distribuição exponencial e a propriedade da falta de memória. Resolução do ex. R2.28.

Introdução à Inferência Estatística: intervalos de confiança. Resolução do exercício: 3.13 a).

Realização do 2º Questionário.

TPC: resolver exs. 3.14, 315, 3.16, 3.17.

Revisão das distribuições de amostragem: a distribuição qui-quadrado e a distribuição t-Student.
Revisão dos intervalos de confiança (IC) dados:   para a média populacional no caso de uma população normal com variância desconhecida; para a variância de uma população normal e para uma proporção, em provas de Bernoulli independentes, com dimensão  elevada.
Intervalos de confiança para a diferença de valores médios em amostras independentes retiradas de populações normais com variâncias conhecidas, variâncias desconhecidas mas supostas iguais e ainda para o caso de populações quaisquer e amostars de dimensão "grande".
Intervalos de confiança para o valor médio da diferença numa amostra emparelhada -
conclusão do estudo de intervalos de confiança. 

Distribuições de amostragem e de estimadores.

Ex.: 3.4; 3.9.

Intervalos de confiança e Testes de hipóteses.

Ex.: 3.13a).

Realização do 2º Questionário.

Revisão das distribuições de amostragem: a distribuição qui-quadrado e a distribuição t-Student.
Revisão dos intervalos de confiança (IC) dados:   para a média populacional no caso de uma população normal com variância desconhecida; para a variância de uma população normal e para uma proporção, em provas de Bernoulli independentes, com dimensão  elevada.
Intervalos de confiança para a diferença de valores médios em amostras independentes retiradas de populações normais com variâncias conhecidas, variâncias desconhecidas mas supostas iguais e ainda para o caso de populações quaisquer e amostars de dimensão "grande".
Intervalos de confiança para o valor médio da diferença numa amostra emparelhada - conclusão do estudo de intervalos de confiança. 

Principais distribições contínuas: a distribuição exponencial e a propriedade da falta de memória. Resolução do ex. R2.28.

Introdução à Inferência Estatística: intervalos de confiança. Resolução do exercício: 3.13 a).

Realização do 2º Questionário.

TPC: resolver exs. 3.14, 315, 3.16, 3.17.

Introdução à inferência estatística e intervalos de confiança. Exercícios 3.4, 3.2 (Turma 1), 3.1, 3.9 e 3.13a). Realização do 2º Questionário. TPC: exerc. 3.13 b) e c), 3.15.

Ainda exercicios sobre distribuições contínuas:  Ex  2.77 e 2.84.

Introdução à Inferência Estatística - Ex. 3.2, 3.3 e início do 3.13

TPC: fazer exercícios do capítulo 2 e 3.8 e 3.11. Concluir 3.13.

Exerc. 2.82, R2.29. Introdução à inferência estatística. Exerc. 3.3. TPC: exerc. 3.1, 3.2 e 3.4.

Cap. 3 - Introdução à Inferência Estatística. Distribuições de amostragem e de estimadores.

Ex.: 3.1; 3.2; 3.12.

Revisão da construção de intervalos de confiança a  (1-alpha)*100%  para o valor médio numa população normal com variância conhecida.
Interpretação do conceito de  intervalo de confiança.
Resolução do exercício do slide 142.
Intervalos de confiança para o valor médio de uma população com distribuição qualquer, quando a amostra tem dimensão elevada.
Mais algumas distribuições de amostragem: a distribuição qui-quadrado e a distribuição t-Student.
Definição de variáveis com aquelas distribuições e sua aplicação na inferência.
Intervalo de confiança para a variância populacional  no caso de uma população normal -dedução. Intervalo de confiança para a média populacional no caso de uma população normal com variância desconhecida - dedução.
Início de resolução de um exemplo, para ilustrar também a leitura da tabela t-Student.

Nota: Esta aula teórica decorreu das 8h30-9h30 e das 9h30-10h30.

Exerc. 2.82, R2.29. Introdução à inferência estatística. Exerc. 3.2 e 3.3. TPC: exerc. 3.1, 3.4.

Correcção do TPC (ex. 2.66).

Introdução à Inferência Estatística: principais conceitos. Resolução dos exercícios: 3.2, 3.4.

TPC: resolver exs. 3.1, 3.3, 3.5, 3.9, 3.10, 3.12.

Revisão da construção de intervalos de confiança a  (1-alpha)*100%  para o valor médio numa população normal com variância conhecida.
Interpretação do conceito de  intervalo de confiança.
Resolução do exercício do slide 142.
Intervalos de confiança para o valor médio de uma população com distribuição qualquer, quando a amostra tem dimensão elevada.
Mais algumas distribuições de amostragem: a distribuição qui-quadrado e a distribuição t-Student.
Definição de variáveis com aquelas distribuições e sua aplicação na inferência.
Intervalo de confiança para a variância populacional  no caso de uma população normal -dedução. Intervalo de confiança para a média populacional no caso de uma população normal com variância desconhecida - dedução.
Início de resolução de um exemplo, para ilustrar também a leitura da tabela t-Student.

Nota: Esta aula teórica decorreu das 8h30-9h30 e das 9h30-10h30.

Correcção do TPC (ex. 2.66).

Introdução à Inferência Estatística: principais conceitos. Resolução dos exercícios: 3.2, 3.4.

TPC: resolver exs. 3.1, 3.3, 3.5, 3.9, 3.10, 3.12.

Cap. 3 - Introdução à Inferência Estatística. Distribuições de amostragem e de estimadores.

Ex.: 3.1; 3.2; 3.12.

FERIADO NACIONAL.

Feriado

Esta aula tem estado a ser leccionada prolongando o horário das aulas das terças-feiras

Feriado Nacional

Feriado

Esta aula foi dada antecipadamente.

Cap. 3 - Introdução à Inferência Estatística. Distribuições de amostragem e de estimadores.

Ex.: 3.1; 3.2; 3.12.

Principais distribuições discretas e contínuas. Ex.: 2.70; 2.88; 2.83.

Exercicios sobre a distribuição normal, suas propriedades. A normal como aproximação de outras leis (TLC):  Ex.  2.74, 2.73 , 2.79 e 2.77

Introdução à Inferência Estatística - Ex. 3.2 e 3.4 (início)

TPC: Ex. 2.84, 2.87 e 3.4 (concluir)

Nota: a aula teve mais 15 min de duração.

Introdução à Inferência Estatística e à Amostragem. Revisão da definição de amostra aleatória. A  amostra observada.  Referência  aos principais parâmetros a estudar.

Estimador e estimativa; definição e propriedades dos estimadores. 
Estimação pontual e estimação intervalar. Intervalos de confiança, definição.
Etapas necessárias à construção de intervalos de confiança. Construção de um intervalo de confiança a 95%  para o valor médio numa população normal com variância conhecida.
Interpretação do conceito de  intervalo de confiança.
Início de resolução do exercício do slide 142.

 Nota: Esta aula teórica decorreu das 8h45 às 10h15.

Exercicios sobre a distribuição normal, suas propriedades. A normal como aproximação de outras leis (TLC):  Ex.  2.74, 2.73 e 2.79.

Introdução à Inferência Estatística - Ex. 3.2 (início)

TPC: Ex. 2.77, 2.84, 2.87 e 3.2 (concluir ) e 3.4

Principais distribuições contínuas: soma de v.a. com distribuição Normal; teorema limite central. Distribuição exponencial. Exercícios 2.74, 2.75, 2.77, 2.80 e 2.83. TPC: 2.82, R2.29.

Principais distribuições discretas e contínuas. Ex.: 2.70b); 2.88a)b)c)e); 2.83.

Introdução à Inferência Estatística e à Amostragem. Revisão da definição de amostra aleatória. A  amostra observada.  Referência  aos principais parâmetros a estudar.

Estimador e estimativa; definição e propriedades dos estimadores. 
Estimação pontual e estimação intervalar. Intervalos de confiança, definição.
Etapas necessárias à construção de intervalos de confiança. Construção de um
intervalo de confiança a 95%  para o valor médio numa população normal com variância conhecida.

Principais distribições contínuas: continuação do estudo da normal, exponencial. Teorema do Limite Central. Aproximação da distribuição Poisson pela Normal. Resolução dos exercícios 2.70, 2.74 b), c), 2.77, 2.83.

TPC: resolver exs. 2.84, R2.28, R2.29.

INFORMAÇÃO: as aulas práticas das duas próximas sextas-feiras (2 e 9 de Dezembro) funcionarão nos seguintes horários:

2 Dezembro, das 12h15 às 13h15, sala P14

9 Dezembro, das 8h30 às 10h30, sala P14

Principais distribuições discretas e contínuas. Ex.: 2.70b); 2.88a)b)c)e); 2.83; 2.84a).

Introdução à Inferência Estatística e à Amostragem. Revisão da definição de amostra aleatória. A  amostra observada.  Referência  aos principais parâmetros a estudar.

Estimador e estimativa; definição e propriedades dos estimadores. 
Estimação pontual e estimação intervalar. Intervalos de confiança, definição.
Etapas necessárias à construção de intervalos de confiança. Construção de um
intervalo de confiança a 95%  para o valor médio numa população normal com variância conhecida.

 Principais distribuições contínuas: soma de v.a. com distribuição Normal; teorema limite central. Distribuição exponencial. Exercícios 2.74, 2.75, 2.77, 2.80 e 2.83. TPC: 2.82, R2.29.

Exercicios sobre a distribuição normal, suas propriedades. A normal como aproximação de outras leis (TLC):  Ex.  2.67 d),  2.68 e 2.70.

TPC: Ex. 2.74, 2.73,  2.79 e 2.84.

 Principais distribuições contínuas: somas e combinação linear de v.a. com distribuição Normal. Aproximação de distribuições discretas a contínuas: aproximação da Binomial e da Poisson à Normal, correcção de continuidade. Exercícios: 2.68, 2.69, 2.70 e 2.73.TPC: exerc. 2.74, 2.75, 2.77.

Principais distribuições discretas e contínuas. Ex.: 2.64c); 2.73; 2.78; 2.70a).

A distribuição exponencial: a função densidade, a função distribuição cumulativa,
o valor médio, a variância e a função geradora de momentos.
Estudo de duas propriedades do modelo exponencial - 1. a propriedade da falta de memória (ficou para demonstrar como TPC);
2. a relação entre a contagem de sucessos em intervalos de tempo (processo de Poisson)
e o tempo de ocorrência entre 2 sucessos consecutivos (modelo exponencial).

Introdução à Inferência Estatística e à Amostragem. A Probabilidade e a Inferência Estatística. Objectivos e conceitos fundamentais.
Conceito inicial de amostra aleatória e de amostra observada.  Referência  aos principais parâmetros a estudar.

Principais distribições contínuas: continuação do estudo da normal. Aproximação da distribuição binomial pela Poisson e pela Normal. Correcção de continuidade. Resolução dos exercícios 2.68, 2.69, 2.70 a).

TPC: resolver exs. 2.72, 2.74, 2.75, 2.77.

 Principais distribuições contínuas: somas e combinação linear de v.a. com distribuição Normal. Aproximação de distribuições discretas a contínuas: aproximação da Binomial e da Poisson à Normal, correcção de continuidade. Exercícios: 2.65c), 2.68c), 2.69, 2.70 e 2.73.TPC: exerc. 2.74, 2.75, 2.77.

A distribuição exponencial: a função densidade, a função distribuição cumulativa,
o valor médio, a variância e a função geradora de momentos.
Estudo de duas propriedades do modelo exponencial - 1. a propriedade da falta de memória (ficou para demonstrar como TPC);
2. a relação entre a contagem de sucessos em intervalos de tempo (processo de Poisson)
e o tempo de ocorrência entre 2 sucessos consecutivos (modelo exponencial).

Introdução à Inferência Estatística e à Amostragem. A Probabilidade e a Inferência Estatística. Objectivos e conceitos fundamentais.
Definição de amostra aleatória e de amostra observada.  Referência  aos principais parâmetros a estudar e respectivos estimadores.

Principais distribições contínuas: continuação do estudo da normal. Aproximação da distribuição binomial pela Poisson e pela Normal. Correcção de continuidade. Resolução dos exercícios 2.68, 2.69, 2.70 a).

TPC: resolver exs. 2.72, 2.74, 2.75, 2.77.

Principais distribuições discretas e contínuas. Ex.: 2.68c); 2.73; 2.78; 2.70a)

Principais distribuições discretas e contínuas. Ex.: 2.68c); 2.73; 2.78.

Exercicios sobre a distribuição normal, suas propriedades. A normal como aproximação de outras leis (TLC):  Ex.  2.67 d), 2.66, 2.68 e 2.70

TPC: Ex. 2.74, 2.73 e 2.79

Nota: a aula teve mais 15 min de duração.

Principais distribições contínuas: continuação do estudo da normal. Aproximação da distribuição binomial pela Poisson e pela Normal. Correcção de continuidade. Resolução dos exercícios 2.68, 2.69, 2.70.

TPC: resolver exs. 2.72, 2.74, 2.75, 2.77.

A distribuição exponencial: a função densidade, a função distribuição cumulativa,
o valor médio, a variância e a função geradora de momentos.
Estudo de duas propriedades do modelo exponencial - 1. a propriedade da falta de memória (ficou para demonstrar como TPC);
2. a relação entre a contagem de sucessos em intervalos de tempo (processo de Poisson)
e o tempo de ocorrência entre 2 sucessos consecutivos (modelo exponencial).

Introdução à Inferência Estatística e à Amostragem. A Probabilidade e a Inferência Estatística. Objectivos e conceitos fundamentais.
Definição de amostra aleatória e de amostra observada.  Referência  aos principais parâmetros a estudar e respectivos estimadores.
A  noção de  estimador e de estimativa de um parâmetro.

Principais distribuições: 2.67c)d); 2.68; 2.64a)c.i).

TPC: 2.64; 2.71.

Exercicios sobre as principais distribuições discretas e contínuas: 2.62, 2.65,  2.67 (com a utilização do teorema limite central numa alínea).

TPC: 2.66; 2.67 d), 2.68, 2.70 e ex 4. do exames de 25/1/16

Nota: a aula teve mais 15 min de duração.

Conclusão do estudo da distribuição normal: O teorema da estabilidade da soma de normais independentes e a sua generalização. Resolução de um exercício.
A distribuição da soma e da média de v.a.'s normais independentes e semelhantes.
O Teorema Limite Central (ilustração com apoio do R).
A aproximação da lei binomial pela normal (Teorema de De Moivre) e a aproximação da lei de Poisson pela lei normal.
Regras práticas de convergência daquelas distribuições.   
A correcção por continuidade. Exercício.

Introdução à distribuição exponencial: a função densidade.
TPC: Fazer a representação gráfica da função drensidade e obter a função distribuição cumulativa.

Nota: Esta aula teve a duração de 1h30min

Principais distribuições: 2.65 (conclusão); 2.67; 2.64; 2.68a)b).

TPC: 2.60c); 2.71.

Exercicios sobre as principais distribuições discretas e contínuas: 2.62, 2.66, 2.67 (com a utilização do teorema limite central numa alínea).

TPC: 2.68; 2.70 e ex 4. do exames de 25/1/16

 Principais distribuições contínuas: distribuição uniforme contínua e distribuição normal. Exerc. 2.65c), 2.64 (Uniforme contínua), 2.66 (Normal),  e 2.67 (média de v.a. normais). TPC: exerc 2.68, 2.69, 2.70.

Principais distribições contínuas: normal. Cálculo de probabilidades, aplicação dos teoremas da soma de normais independentes e de uma transformação afim de uma normal. Resolução dos exercícios 2.65, 2.73, 2.67 a) b) c).

TPC: resolver exs. 2.67 d), 2.68, 2.69, 2.70.

Principais distribuições: 2.67c)d); 2.64; 2.68a)b).

TPC: 2.68c); 2.71.

Conclusão do estudo da distribuição normal: generalização do teorema da estabilidade da soma de normais independentes.
A distribuição da soma e da média de v.a.'s normais independentes e semelhantes.
O Teorema Limite Central (ilustração com apoio do R).
A aproximação da lei binomial pela normal (Teorema de De Moivre) e a aproximação da lei de Poisson pela lei normal.
Regras práticas de convergência daquelas distribuições.   
A correcção por continuidade. Exercício.

Conclusão do estudo da distribuição normal: generalização do teorema da estabilidade da soma de normais independentes.
A distribuição da soma e da média de v.a.'s normais independentes e semelhantes.
O Teorema Limite Central (ilustração com apoio do R).
A aproximação da lei binomial pela normal (Teorema de De Moivre) e a aproximação da lei de Poisson pela lei normal.
Regras práticas de convergência daquelas distribuições.   
A correcção por continuidade. Exercício.

Principais distribições contínuas: normal. Cálculo de probabilidades, aplicação dos teoremas da soma de normais independentes e de uma transformação afim de uma normal. Resolução dos exercícios 2.65, 2.73, apresentação do ex. 2.67.

TPC: resolver exs. 2.67, 2.68, 2.69, 2.70.

Principais distribuições contínuas: distribuição uniforme contínua e distribuição normal. Exerc. 2.64 (Uniforme contínua), 2.66 (Normal),  2.67 e 2.68 a) b) (média e soma de v.a. normais). TPC: exerc 2.68c), 2.69, 2.70.

Exercícios com distribuições discretas:  2.61.
Exercícios com distribuições contínuas: 2.63 e 2.65

TPC: Exerc.  2.62, 2.64 e 2.67. Cálculo de E[X]e Var[X] sendo X~Uniforme(a,b)

Exercícios com distribuições discretas: 2,59b); 2.60.

Exercícios com distribuições contínuas: 2.63; 2.65a).

TPC: 2.67; 2.66; 2.61.

Distribuição de Poisson: exerc. 2.61 e) a g), 2.62. Principais distribuições contínuas: distribuição uniforme contínua e normal. Exerc. 2.63 (Uniforme contínua), 2.65 a) b)(Normal). TPC: exerc. 2.65 c), 2.64, 2.66.

O modelo normal ou de Gauss - a função geradora de momentos.
A normal reduzida. Transformação afim de uma variável aleatória normal (demonstração).
Redução de uma variável com distribuição normal. Início da resolução do exercício do slide 122. A consulta de tabelas da normal. O teorema da estabilidade da soma de normais independentes. Conclusão da resolução do exercício.

TPC:  Sendo X um v.a. normal com valor médio mu e variância sigma, calcular: P[mu-sigma<X<mu+sigma];  
P[mu-2sigma<X<mu+2sigma] e P[mu-3sigma<X<mu+3sigma]

Principais distribições discretas (Poisson) e contínuas (uniforme e normal). Resolução dos exercícios 2.61, 2.63, apresentação do ex. 2.65.

TPC: resolver exs. 2.64, 2.65, 2.66.

Distribuição de Poisson: exerc. 2.61 e) a g), 2.62. Principais distribuições contínuas: distribuição uniforme contínua e normal. Exerc. 2.63 (Uniforme contínua), 2.65 a) b)(Normal). TPC: exerc. 2.65 c), 2.64, 2.66.

O modelo normal ou de Gauss - a função geradora de momentos.
A normal reduzida. Transformação afim de uma variável aleatória normal (demonstração).
Redução de uma variável com distribuição normal. Início da resolução do exercício do slide 122. A consulta de tabelas da normal. O teorema da estabilidade da soma de normais independentes. Conclusão da resolução do exercício.

TPC:  Sendo X um v.a. normal com valor médio mu e variância sigma, calcular: P[mu-sigma<X<mu+sigma];  
P[mu-2sigma<X<mu+2sigma] e P[mu-3sigma<X<mu+3sigma]

Exercícios com distribuições discretas: 2.60.

Exercícios com distribuições contínuas: 2.63; 2.65; 2.67a)b).

TPC: 2.67c)d); 2.66; 2.61.

Principais distribições discretas (Poisson) e contínuas (uniforme e normal). Resolução dos exercícios 2.61, 2.63, apresentação do ex. 2.65.

TPC: resolver exs. 2.64, 2.65, 2.66.

Exercícios com distribuições discretas: 2,59b); 2.60b).

Exercícios com distribuições contínuas: 2.63; 2.65; 2.67a)b).

TPC: 2.67c)d); 2.66; 2.61.

Exercícios com distribuições discretas: 2.60, 2.61.
Exercícios com distribuições contínuas: 2.63.

TPC: Exerc.  2.62, 2.64 e 2.65. Cálculo de E[X]e Var[X], sendo X~Uniforme(a,b)

Nota: A partir de 22 de Novembro (inclusive) todas as aulas práticas desta turma passam a terminar 15 minutos mais tarde, para tentar compensar os feriados.

Principais distribições discretas (Poisson) e contínuas (uniforme e normal). Resolução dos exercícios 2.61, 2.63, apresentação do ex. 2.65.

TPC: resolver exs. 2.64, 2.65, 2.66.

O modelo normal ou de Gauss - revisões sobre a função densidade; propriedades e interpretação.
O valor médio, a variância e a função geradora de momentos.
A normal reduzida. Transformação afim de uma variável aleatória normal (demonstração).
Redução de uma variável com distribuição normal. Início da resolução do exercício do slide 122. A consulta de tabelas da normal.

TPC:  Sendo X um v.a. normal com valor médio mu e variância sigma, calcular: P[mu-sigma<X<mu+sigma];  
P[mu-2sigma<X<mu+2sigma] e P[mu-3sigma<X<mu+3sigma]

Principais distribuições discretas: geométrica, hipergeométrica e Poisson.

Ex.: 2.56, 2.55, 2.58, 2. 62, 2.59a).

TPC.: 2.59 (conclusão) e 2.60.

Principais distribições discretas: binomial, geométrica, hipergeométrica. Resolução dos exercícios 2.57 a), 2.58, 2.59, 2.60.

TPC: resolver exs. 2.61, 2.62, 2.63.

Solução exercício adicional: a) E[X] = 2; Var[X] = 2; b) valor esperado = 2 €; variância = 162€^2.

Principais distribuições discretas. Exercícios de leis gemétricas, binomiais e  hipergeométricas.

Ex.: 2.55; 2.56; 2.57b); 2.58, 2.59, 2.60 a)

TPC: concluir 2.60, 2.61 a), b)  e 2.63.

O modelo de Poisson -- caracterização, estudo da função massa de probabilidade.
Cálculo da função geradora de momentos e do valor médio.  
O Teorema da estabilidade da soma  de v. a. independentes com distribuição de Poisson. Aproximação da binomial pela Poisson. Condições.

Os modelos contínuos: o modelo uniforme contínuo: definição, função densidade, parâmetros (TPC: Cálculo do valor médio e variância)
O modelo normal ou de Gauss - a função densidade; propriedades e interpretação.

Principais distribuições discretas. Exercícios de leis gemétricas, binomiais, hipergeométricas e início da Poisson.

Ex.: 2.55; 2.56; 2.57b); 2.58, 2.59, 2.60, 2.61a)

TPC: 2.61 b), c), d) e) e 2.63.

Principais distribuições discretas: geométrica, hipergeométrica e Poisson.

Ex.: 2.56, 2.55, 2.58, 2. 62, 2.59a).

TPC.: 2.59 (conclusão) e 2.60.

Principais distribuições discretas: distribuição hipergeométrica (aproximação da Hipergeométrica à Binomial) e distribuição de Poisson: exerc. 2.60, 2.58, R2.19, 2.61 a) – d). TPC: concluir exerc. 2.61 e 2.62.

O modelo de Poisson -- caracterização, estudo da função massa de probabilidade.
Cálculo da função geradora de momentos e do valor médio.  
O Teorema da estabilidade da soma  de v. a. independentes com distribuição de Poisson. Aproximação da binomial pela Poisson. Condições.

Os modelos contínuos: o modelo uniforme contínuo: definição, função densidade, parâmetros (TPC: Cálculo do valor médio e variância)
O modelo normal ou de Gauss - a função densidade; propriedades e interpretação.
O valor médio, a variância e a função geradora de momentos.
A normal reduzida. Cálculo de áreas sob a curva normal.
Início de resolução do exercício do slide 122.

Principais distribuições discretas: geométrica, hipergeométrica e Poisson.

Ex.: 2.56, 2.55, 2.58, 2. 62.

TPC.: 2.59 e 2.60.

Principais distribições discretas: binomial, geométrica, hipergeométrica e Poisson. Resolução dos exercícios 2.52 c)d), 2.58, 2.59, 2.60, 2.61 a).

TPC: resolver exs. 2.61, 2.62, 2.63.

Solução exercício adicional: a) E[X] = 2; Var[X] = 2; b) valor esperado = 2 €; variância = 162€^2.

O modelo de Poisson -- caracterização, estudo da função massa de probabilidade.
Cálculo da função geradora de momentos e do valor médio.  
O Teorema da estabilidade da soma  de v. a. independentes com distribuição de Poisson. Aproximação da binomial pela Poisson. Condições.

Os modelos contínuos: o modelo uniforme contínuo: definição, função densidade, parâmetros (TPC: Cálculo do valor médio e variância)
O modelo normal ou de Gauss - a função densidade; propriedades e interpretação.
O valor médio, a variância e a função geradora de momentos.
A normal reduzida. Cálculo de áreas sob a curva normal.
Início de resolução do exercício do slide 122.

Principais distribições discretas: binomial, geométrica, hipergeométrica. Resolução dos exercícios 2.57 a), 2.58, 2.59, 2.60.

TPC: resolver exs. 2.61, 2.62, 2.63.

Solução exercício adicional: a) E[X] = 2; Var[X] = 2; b) valor esperado = 2 €; variância = 162€^2.

Principais distribuições discretas: distribuição hipergeométrica (aproximação da Hipergeométrica à Binomial) e distribuição de Poisson: exerc. 2.60, 2.58, R2.19, 2.61 a) – d). TPC: concluir exerc. 2.61 e 2.62.

Principais distribuições discretas: dist. binomial, geométrica (cálculo de probabilidade, valor médio e variância função geradora de momentos). Exerc. 2.52, 2.54, 2.55, 2.56, 2.57, e 2.60 a). TPC: 2.60 b) e c), 2.58

 Principais distribuições discretas: a binomial e a geométrica: resoluçao dos exerc. 2.54 e 2.55 e  2.57. Revisão das propriedades da f.g.m. Propriedades da distribuição uniforme discreta.

Soma de 2 uniformes discretas independentes, ambas tomando os valores 1 e 2.  e f.g.m da sua  soma.  TPC:  2.55 e 2.58.

Principais distribuições discretas.

Ex.: 2.52; 2.54; 2.57a); R2.20d).

Recordando ainda a  função de distribuição cumulativa da distribuição geométrica.

Caracterização da  distribuição hipergeométrica. A função massa de probabilidade, valor médio e variância.
A aproximação da hipergeométrica pela binomial. Resolução de um exercício. Exemplificando a utilização do R no cálculo de probabilidades de uma v.a. hipergeométrica.
Breve introdução à distribuição de Poisson.

Principais distribições discretas: binomial, uniforme e geométrica. Resolução dos exercícios 2.52, 2.54, 2.55.

TPC: exs. 2.56, 2.57, 2.58, 2.60,

Exercício adicional:

O número de unidades de um produto procurado diariamente pelos clientes de uma empresa
é uma v.a. X com função massa de probabilidade
pi = P[X = i] =1/5 ,  i = 0, 1, 2, 3, 4.
Se o produto é vendido até ao fim do dia proporciona um lucro de 5 euros por unidade; se não
é vendido deve ser inutilizado, o que corresponde a um prejuízo de 4 euros por unidade.
a) Calcule o valor esperado e a variância de X.
b) Se no início de cada dia existirem 4 unidades do produto, determine o valor esperado e
a variância do lucro líquido diário (= lucro da venda - prejuízo da não venda).

Principais distribuições discretas: dist. binomial, geométrica (cálculo de probabilidade, valor médio e variância função geradora de momentos). Exerc. 2.52, 2.54, 2.55, 2.56, 2.57, e 2.60 a). TPC: 2.60 b) e c), 2.58

Recordando ainda a  função de distribuição cumulativa da distribuição geométrica.

Caracterização da  distribuição hipergeométrica. A função massa de probabilidade, valor médio e variância.
A aproximação da hipergeométrica pela binomial. Resolução de um exercício. Exemplificando a utilização do R no cálculo de probabilidades de uma v.a. hipergeométrica.
Breve introdução à distribuição de Poisson.

Principais distribuições discretas.

Ex.: 2.52; 2.54; 2.57a); R2.20d).

Principais distribições discretas: binomial, uniforme e geométrica. Resolução dos exercícios 2.52 a), 2.54, 2.55, 2.56, 2.57.

TPC: terminar ex. 2.52, resolver exs. 2.58, 2.60 e

Exercício adicional:

O número de unidades de um produto procurado diariamente pelos clientes de uma empresa
é uma v.a. X com função massa de probabilidade
pi = P[X = i] =1/5 ,  i = 0, 1, 2, 3, 4.
Se o produto é vendido até ao fim do dia proporciona um lucro de 5 euros por unidade; se não
é vendido deve ser inutilizado, o que corresponde a um prejuízo de 4 euros por unidade.
a) Calcule o valor esperado e a variância de X.
b) Se no início de cada dia existirem 4 unidades do produto, determine o valor esperado e
a variância do lucro líquido diário (= lucro da venda - prejuízo da não venda).

Principais distribuições discretas.

Ex.: 2.52; 2.54; 2.57a); R2.20d).

Correcção de algumas perguntas do 1º Teste.

A distribuição binomial: resolução dos exercícios 2.54 e 2.57 a). Estudo das propriedades da f.g.m. Estudo da distribuição da soma de duas variáveis uniformes discretas independentes e semelhantes, ambas tomando os valores 1 e 2.

TPC: Resolver os exercícios 2.55 e 2.56. 

Principais distribições discretas: binomial, uniforme e geométrica. Resolução dos exercícios 2.52, 2.54, 2.55.

TPC: resolver exs. 2.56, 2.57, 2.58, 2.60 e

Exercício adicional:

O número de unidades de um produto procurado diariamente pelos clientes de uma empresa
é uma v.a. X com função massa de probabilidade
pi = P[X = i] =1/5 ,  i = 0, 1, 2, 3, 4.
Se o produto é vendido até ao fim do dia proporciona um lucro de 5 euros por unidade; se não
é vendido deve ser inutilizado, o que corresponde a um prejuízo de 4 euros por unidade.
a) Calcule o valor esperado e a variância de X.
b) Se no início de cada dia existirem 4 unidades do produto, determine o valor esperado e
a variância do lucro líquido diário (= lucro da venda - prejuízo da não venda).

Recordando ainda a  propriedade da falta de memória da distribuição geométrica.
A função de distribuição cumulativa.

Caracterização da  distribuição hipergeométrica. A função massa de probabilidade, valor médio e variância.
A aproximação da hipergeométrica pela binomial. Resolução de um exercício. Exemplificando a utilização do R no cálculo de probabilidades de uma v.a. hipergeométrica.
Breve introdução à distribuição de Poisson.

Distribuição binomial. Ex. 2.51 (acabar); 2.49; 2.50.

Ex. nº 5 de 18/11/2011. Esclarecimento de dúvidas dos alunos.

A distribuição binomial: resolução dos exercícios 2.51, 2.49 e 2.52. Referência à distribuição uniforme discreta. Correcção do exercício 2.43.

[Nota - Esta aula foi prolongada em 0.5h para compensar o feriado de dia 1 de Novembro]

Pares aleatórios contínuos. Resolução do exercício 2.48.

Principais distribições discretas: binomial. Resolução do exercício 2.50.

Esclarecimento de dúvidas.

A distribuição do nº de insucessos em n provas de Bernoulli independentes.
O modelo geométrico (contagem de provas necessárias até ocorrer o 1º sucesso em provas de Bernoulli independentes). Caracterização e referência à soma dos termos de uma série geométrica de razão <1. Determinação da função geradora de momentos da variável geométrica.
Aplicação da f.g.m no cálculo do valor médio e variância da distribuição geométrica.
A propriedade da falta de memória da distribuição geométrica. Dedução e interpretação.
A distribuição uniforme discreta  ficará para ser caracterizada e aplicada nas aulas práticas.

A distribuição binomial: resolução dos exercícios 2.51,  2.49, 2.52 e 2.53. Referência à distribuição uniforme discreta. Correcção do exercício 6 do 1º teste de 18.11.2011

Distribuição binomial. Ex. 2.49; 2.50; 2.51.

Ex. nº 5 de 18/11/2011. Esclarecimento de dúvidas dos alunos.

Principais distribuições discretas: o modelo binomial (cálculo de probabilidade, utilização da tabela, valor médio e variância). Exercícios 2.50, 2.49, 2.51 e 2.53.

A distribuição do nº de insucessos em n provas de Bernoulli independentes.
O modelo geométrico (contagem de provas necessárias até ocorrer o 1º sucesso em provas de Bernoulli independentes). Caracterização e referência à soma dos termos de uma série geométrica de razão <1. Determinação da função geradora de momentos da variável geométrica.
Aplicação da f.g.m no cálculo do valor médio e variância da distribuição geométrica.
A propriedade da falta de memória da distribuição geométrica. Dedução e interpretação.
Breve introdução à distribuição uniforme discreta, que ficará para ser caracterizada e aplicada nas aulas práticas.

Distribuição binomial. Ex. 2.49; 2.50; 2.51.

Ex. nº 5 de 18/11/2011. Esclarecimento de dúvidas dos alunos.

Pares aleatórios contínuos. Resolução do exercícios 2.48 f) g) h).

Principais distribições discretas: binomial. Resolução dos exercícios 2.50.

Esclarecimento de dúvidas.

A distribuição do nº de insucessos em n provas de Bernoulli independentes.
O modelo geométrico (contagem de provas necessárias até ocorrer o 1º sucesso em provas de Bernoulli independentes). Caracterização e referência à soma dos termos de uma série geométrica de razão <1. Determinação da função geradora de momentos da variável geométrica.
Aplicação da f.g.m no cálculo do valor médio e variância da distribuição geométrica.
A propriedade da falta de memória da distribuição geométrica. Dedução e interpretação.
Breve introdução à distribuição uniforme discreta, que ficará para ser caracterizada e aplicada nas aulas práticas.

Principais distribições discretas: binomial. Resolução dos exercícios 2.50, 2.51.

Esclarecimento de dúvidas.

Principais distribuições discretas: o modelo binomial (cálculo de probabilidade, utilização da tabela, valor médio e variância). Exercícios 2.50, 2.49, 2.51 e 2.53.

Pares aleatórios contínuos. Conclusão da resolução do exercício 2.48. (com a dedução da propriedade de Cov[X,Y-X].)
A distribuição binomial: resolução dos exercícios 2.50 e 2.49
TPC: resolver exercícios até 2.54.

Pares aleatórios contínuos (densidade marginal, densidade condicional, domínio da função densidade, valor médio, variância e covariância): Exerc. 2.48, 2.45. TPC: 2.49, 2.50, 2.51, 2.52, 2.53.

Variáveis aleatórias e Pares aleatórios.

Ex.: 2.37; 2.29.

Distribuição binomial.

TPC: 2.51; 2.50.

A distribuição  binomial: caracterização (revisão). Cálculo e significados de combinações;  o binómio de Newton.
Determinação do valor médio, variância e função geradora de momentos da v.a. com distribuição binomial.
Consulta de tabelas e resolução de um exercício.
A distribuição do nº de insucessos em n provas de Bernoulli independentes.
Resolução de um exercício.
TPC: resolução dos exercícios até 2.54 (inclusive).

Pares aleatórios contínuos. Resolução do exercício 2.48.

TPC: terminar ex. 2.48 (calcular Var[X] e Var[Y] e mostrar que Cov(X,Y-X)=Cov(X,Y)-Var[X]), 2.46, 2.47; exs. de Binomial 2.50, 2.51 e 2.53. Estudar para o 1º teste.

 Pares aleatórios contínuos (densidade marginal, densidade condicional, domínio da função densidade, valor médio, variância e covariância): Exerc. 2.48, 2.45. Principais distribuições discretas: o modelo binomial. Exerc. 2.50 a) e b). TPC: 2.49, 2.50 (conclusão), 2.51, 2.52, 2.53.

A distribuição  binomial: caracterização (revisão). Cálculo e significados de combinações;  o binómio de Newton.
Determinação do valor médio, variância e função geradora de momentos da v.a. com distribuição binomial.
Consulta de tabelas e resolução de um exercício.
A distribuição do nº de insucessos em n provas de Bernoulli independentes.
Resolução de um exercício.
TPC: resolução dos exercícios até 2.54 (inclusive).

Variáveis aleatórias e Pares aleatórios.

Ex.: 2.37 b)c)d)e); 2.29.

Distribuição binomial.

TPC: 2.51; 2.50.

Pares aleatórios contínuos. Resolução dos exercícios 2.45, 2.48 a) a e).

TPC: terminar ex. 2.48 e resolver ex. 2.46, 2.47; exs. de Binomial 2.50, 2.51 e 2.53. Estudar para o 1º teste.

Variáveis aleatórias e Pares aleatórios.

Ex.: 2.37 e); 2.43d); 2.48 g)h); pergunta 6 do 1º teste de 2015/16 - 11/11/2015.

Distribuição binomial. Ex.: 2.51 a)b).

TPC: 2.51 (acabar); 2.50.

Correcção e resolução de exercícios sobre pares aleatórios.
Ex.:  2.41 d) e revisão do conceito de independência das componentes de um par aleatório;  2.48 g) e h).
A distribuição binomial. Resolução do ex: 2.50
TPC: Resolver ex. 2.49 e 2.51

A distribuição  binomial: caracterização (revisão). Cálculo e significados de uma combinação  e o binómio de Newton.
Determinação do valor médio, variância e função geradora de momentos da v.a. com distribuição binomial.
Consulta de tabelas e resolução de um exercício.
A distribuição do nº de insucessos em n provas de Bernoulli independentes.
Resolução de um exercício.
TPC: resolução dos exercícios até 2.54 (inclusive).

Ex.: 2.37b)c)d).

FERIADO DE 1 de novembro.

FERIADO DE 1 de novembro.

Feriado Nacional.

Dia de Feriado.

Esta aula foi leccionada antecipadamente no dia 25. 10

Continuação de correcção e resolução de exercícios sobre pares aleatórios.

Ex.:  2.42 (conclusão).  2.45  e  2.48 (correcção)

Variáveis aleatórias e Pares aleatórios.

Ex.: 2.42 b)c)d); 2.48 g)h); pergunta 6 do teste de 11/11/2015.

TPC:2.37; 2.38.

Pares aleatórios contínuos (densidade marginal, densidade condicional, domínio da função densidade):  exercício 2.42. TPC: exerc. 2.45, 2.48.

A função geradora de momentos de uma variável aleatória: propriedades, resolução de um exemplo -- cálculo da f.g.m e determinação de E[X] e E[X^2].

Estudo das principais distribuições discretas: a distribuição de Bernoulli (definição de prova de Bernoulli, caracterização da v.a.). Cálculo dos parâmetros e da função geradora de momentos. Introdução à distribuição binomial. Caracterização da experiência binomial e construção da distribuição de probabilidades da v.a. para um exemplo.

Variáveis aleatórias e Pares aleatórios.

Ex.: 2.43 c)d); 2.48 g)h); 2.37a); pergunta 6 do teste de 11/11/2015.

TPC:2.37(concluir); 2.38.

Pares aleatórios contínuos: função densidade conjunta, funções densidade marginais, independência de 2 v.a. contínuas, função densidade condicional, cálculo de probabilidades e do valor médio de uma função de (X,Y). Resolução do exercício 2.42 e introdução ao ex. 2.45.

TPC: resolver exs. 2.43, 2.44, 2.45, 2.48.

A função geradora de momentos de uma variável aleatória: propriedades, resolução de um exemplo -- cálculo da f.g.m e determinação de E[X] e E[X^2].

Estudo das principais distribuições discretas: a distribuição de Bernoulli (definição de prova de Bernoulli, caracterização da v.a.). Cálculo dos parâmetros e da função geradora de momentos. Introdução à distribuição binomial. Caracterização da experiência binomial e construção da distribuição de probabilidades da v.a. para um exemplo.

Pares aleatórios contínuos: função densidade conjunta, funções densidade marginais, independência de 2 v.a. contínuas, função densidade condicional, cálculo de probabilidades e do valor médio de uma função de (X,Y). Resolução do exercício 2.42.

TPC: resolver exs. 2.43, 2.44, 2.45, 2.48.

Pares aleatórios contínuos (densidade marginal, densidade condicional, domínio da função densidade):  exercício 2.42. TPC: exerc. 2.45, 2.48.

Pares aleatórios contínuos.

Ex.: 2.48a)- f); 2.43a).

TPC: Concluir o 2.43 e o 2.48.

Continuação de correcção e resolução de exercícios sobre pares aleatórios.

Ex.: 2.39 (conclusão); Ex 2. do exame de 11.01.2016;  2.42 com alínea extra g) Cálculo de uma prob. condicionada.

TPC: 2.45  e  2.48.

Pares aleatórios discretos e contínuos (continuação): exerc. 2.40 (conclusão), 2.38, 2.41 e 2.42 a). TPC. Conclusão do exerc. 2.42, exerc. 2.45 e 2.48.

Resolução de exercícios para cálculo de valores médios de funções de um par aleatório.

A variância da soma (e da diferença) das componentes do par aleatório (X,Y) (dedução).
Definição de covariância. Popriedades da covariância.
O coeficiente de correlação. Definição e propriedades.

A função geradora de momentos de uma variável aleatória: definição, propriedades (ínício), Início da resolução de um exemplo.
TPC: concluir a resolução do exemplo.

Correcção do TPC: exercício 2.37 c) d) e).

Pares aleatórios discretos: distribuição conjunta e função massa de probabilidade conjunta (tabela de contigência), distribuições marginais, independência de v.a.s, valor médio e propriedades, covariância e propriedades. Resolução do exercício 2.40.

TPC: rever cálculo de integrais duplos; resolver exs. 2.42, 2.45 e 2.48.

Pares aleatórios discretos e contínuos (continuação): exerc. 2.40 (conclusão), 2.38, 2.41 e 2.42 a). TPC. Conclusão do exerc. 2.42, exerc. 2.45 e 2.48.

Resolução de exercícios para cálculo de valores médios de funções de um par aleatório. 

A variância da soma (e da diferença) das componentes do par aleatório (X,Y) (dedução).
Definição de covariância. Popriedades da covariância.
O coeficiente de correlação. Definição e propriedades.

A função geradora de momentos de uma variável aleatória: definição, propriedades (ínício), Início da resolução de um exemplo.
TPC: concluir a resolução do exemplo.

Pares aleatórios contínuos.

Ex.: 2.48a)- f); 2.43.

TPC: Concluir o 2.48.

Correcção do TPC: exercício 2.37 c) d) e). Pares aleatórios discretos: distribuição conjunta e função massa de probabilidade conjunta (tabela de contigência), distribuições marginais, independência de v.a.s, valor médio e propriedades, covariância e propriedades. Resolução do exercício 2.40.

Pares aleatórios contínuos.

Ex.: 2.48a)- f); 2.43a), b), c).

TPC: Concluir o 2.43 e o 2.48.

Pares aleatórios contínuos.

Ex.: 2.48a)- f); 2.43a), b).

TPC: Concluir o 2.43 e o 2.48.

Correcção do TPC: exercício 2.37 e) ii) iii).

Pares aleatórios discretos: distribuição conjunta e função massa de probabilidade conjunta (tabela de contigência), distribuições marginais, independência de v.a.s, valor médio e propriedades, covariância e propriedades. Resolução do exercício 2.40.

Pares aleatórios contínuos: função densidade conjunta. Resolução do exercício 2.42 a)

TPC: rever cálculo de integrais duplos; acabar ex. 2.42 e resolver exs. 2.43 a 2.48.

A função geradora de momentos de uma variável aleatória: definição, propriedades, resolução de um exemplo.
Estudo das principais distribuições discretas: a distribuição de Bernoulli (definição de prova de Bernoulli, caracterização da v.a.). Cálculo dos parâmetros e da função geradora de momentos. Introdução à distribuição binomial.

Variáveis aleatórias. Pares aleatórios discretos.

Ex.: 2.32c), d), e); 2.38.

TPC: 2.37; 2.48.

[Nota - Esta aula foi prolongada em 0.5h para compensar o feriado de dia 1 de Novembro]

Variáveis aleatórias contínuas: cálculo do quantil de ordem teta e interpretação geométrica, propriedades do valor médio, variância e desvio padrão. Resolução dos exercícios 2.33 d), 2.36, 2.37 a) b). Resolução do problema 2.37 e) i) (determinação da função densidade de probabilidade de uma transformação de X v.a. contínua).

TPC: terminar o ex. 2.37 e resolver exs. 2.38 a 2.41.

Variáveis aleatórias. Pares aleatórios discretos.

Ex.: 2.32c), d), e); 2.38.

TPC: 2.37; 2.48.

Pares aleatórios:  estudo de parâmetros.  O valor médio de uma função do par.
Propriedades do valor médio de uma função do par: o valor médio da soma (dedução). Cálculo de E[X+Y] no ex. 2.48[A] usando a definição e a propriedade.
O valor médio do produto quando há independência.
Resolução do exercício do slide 91 para mostrar que E[XY]=E[X]E[Y] não implica independência.
A variância da soma (e da diferença) das componentes do par aleatório (dedução).
Definição de covariância. Popriedades da covariância.
O coeficiente de correlação. Definição e propriedades.
A função geradora de momentos. Introdução e explicação da sua utilização na obtenção de E[X], E[X^2], E[X^3],...

Nota: esta aula decorreu das 8h30 às 10h15 para compensar a aula que devia decorrer  no dia 1 de Novembro (feriado). 

Variáveis aleatórias e pares aleatórios.

Ex.: 2.36; 2.39.

Variáveis aleatórias contínuas e pares aleatórios. 

Correcção do TPC:  ex.  2.36,   2.37 e 2.39. Correcção breve e comentários ao 1º Questionário.

TPC: Resolução do ex. 2 do exame de 11.01.2016; concluir 2.39 e 2.42

Variáveis aleatórias e pares aleatórios.

Ex.: 2.36; 2.39; 2.32b).

TPC: 2.32c)d)e); 2.38.

Variáveis aleatórias contínuas: exerc. 2.33. Pares aleatórios discretos e contínuos (noção de distribuição de probabilidade conjunta, distribuições de probabilidade marginais, de probabilidade condicional e de independência e  propriedades do valor esperado): exerc. 2.39 e 2.40 a) a c). TPC: conclusão do exerc. 2.40 e 2.38

Pares aleatórios: definição e estudo de parâmetros.  O valor médio de uma função do par.
Propriedades: valor médio da soma (dedução). Cálculo de E[X+Y] no ex. 2.48[A] usando a definição e a propriedade.
O valor médio do produto quando há independência (esboço da dedução).
Resolução do exercício do slide 91 para mostrar que E[XY]=E[X]E[Y] não implica independência.
A variância da soma das componentes do par aleatório (dedução): definição de covariância.  
TPC. Deduzir Var[X-Y].

Variáveis aleatórias e pares aleatórios.

Ex.: 2.36b)-e); 2.32b)-e); 2.39.

TPC: 2.37; 2.38.

Variáveis aleatórias contínuas: cálculo do quantil de ordem teta e interpretação geométrica, propriedades do valor médio, variância e desvio padrão. Resolução dos exercícios 2.33 d), 2.36, 2.37 a) b). Introdução à resolução do problema 2.37 e) i) (determinação da função densidade de probabilidade de uma transformação de X v.a. contínua).

TPC: terminar o ex. 2.37 e resolver exs. 2.38 a 2.41.

Pares aleatórios: definição e estudo de parâmetros.  O valor médio de uma função do par.
Propriedades: valor médio da soma (dedução). Cálculo de E[X+Y] no ex. 2.48[A] usando a definição e a propriedade.
O valor médio do produto quando há independência (esboço da dedução).
Resolução do exercício do slide 91 para mostrar que E[XY]=E[X]E[Y] não implica independência.
A variância da soma das componentes do par aleatório (dedução): definição de covariância.  
TPC. Deduzir Var[X-Y].

Variáveis aleatórias contínuas: cálculo do quantil de ordem teta e interpretação geométrica, propriedades do valor médio, variância e desvio padrão. Resolução dos exercícios 2.33 d), 2.36, 2.37 a) b). Introdução à resolução do problema 2.37 e) i) (determinação da função densidade de probabilidade de uma transformação de X v.a. contínua).

TPC: terminar o ex. 2.37 e resolver exs. 2.38 a 2.41.

Variáveis aleatórias contínuas: exerc. 2.33. Pares aleatórios discretos e contínuos (noção de distribuição de probabilidade conjunta, distribuições de probabilidade marginais, de probabilidade condicional e de independência e  propriedades do valor esperado): exerc. 2.39 e 2.40 a) a c). TPC: conclusão do exerc. 2.40 e 2.38

Variáveis aleatórias contínuas:  Resolução dos exercícios  2.32 d) e)  (propriedades do valor médio). 2. 31 (estudo dos quantis) e 2.36 (início)

TPC: resolver ex.  2.36 (concluir), 2.37, 2.39.

Breve resolução do 1º Questionário. Variáveis aleatórias contínuas: Exerc. 2.32 b) a e), 2.36. TPC: exerc. 2.39

Correção TPC.: 2.21.

Variáveis aleatórias discretas e contínuas.

Ex.: 2.31b)d); 2.33.

TPC: 2.36

Pares aleatórios contínuos. Funções densidade marginais e funções densidade condicionais. 
Continuação da resolução do Exercício R2.20.
Resolução do exercício 2.48[A] a), b) i) e iii).
Independência das componentes de um par aleatório: definição. Exemplos.

TPC. Conclusão da resolução do ex: 2.48[A] e cálculo de valores médios das componente e do produto do par (X,Y) do slide 91.

Variáveis aleatórias discretas: quantil de ordem p. Resolução do ex. 2.27 b) c) d).

Variáveis aleatórias contínuas: funções densidade e distribuição cumulativa e respectivas propriedades; cálculo de probabilidades e da média. Resolução do ex. 2.33 a) b) c).

TPC: resolver ex. 2.33 d), 2.34, 2.35, 2.36.

Breve resolução do 1º Questionário. Variáveis aleatórias contínuas: Exerc. 2.32 b) a e), 2.36. TPC: exerc. 2.39

Pares aleatórios contínuos. Funções densidade marginais e funções densidade condicionais. 
Continuação da resolução do Exercício R2.20.
Resolução do exercício 2.48[A] a), b) i) e iii).
Independência das componentes de um par aleatório: definição. Exemplos.

TPC. Conclusão da resolução do ex: 2.48[A] e cálculo de valores médios das componente e do produto do par (X,Y) do slide 91.

Correção TPC.: 2.21.

Variáveis aleatórias discretas e contínuas.

Ex.: 2.31b)d); 2.33c)d); 2.36a).

TPC: 2.36

Variáveis aleatórias discretas: quantil de ordem p. Resolução do ex. 2.27 b) c) d).

Variáveis aleatórias contínuas: funções densidade e distribuição cumulativa e respectivas propriedades; cálculo de probabilidades, da média e da mediana. Resolução do ex. 2.33 a) b) c).

TPC: resolver ex. 2.33 d), 2.34, 2.35, 2.36.

Correção TPC.: 2.18; 2.21.

Variáveis aleatórias discretas e contínuas.

Ex.: 2.31b)d); 2.33; 2.36a).

TPC: 2.36

Correção TPC.: 2.18; 2.21.

Variáveis aleatórias discretas e contínuas.

Ex.: 2.31b)d); 2.33.

TPC: 2.36

Variáveis aleatórias discretas: quantil de ordem p. Resolução do ex. 2.27 b) c) d).

Variáveis aleatórias contínuas: funções densidade e distribuição cumulativa e respectivas propriedades; cálculo de probabilidades e da média. Resolução do ex. 2.33 a) b) c).

TPC: resolver ex. 2.33 d), 2.34, 2.35, 2.36.

Pares aleatórios contínuos. Funções densidade marginais e funções densidade condicionais. 
Continuação da resolução do Exercício R2.20.
Resolução do exercício 2.48[A] a), b) i) e iii).
Independência das componentes de um par aleatório: definição. Exemplos.
Estudo de parâmetros definidos num par aleatório.  O valor médio de um função do par (X,Y).
Propriedades: valor médio da soma e valor médio do produto quando há independência (só enunciado)
TPC. Conclusão da resolução do ex: 2.48[A] e estudo do par (X,Y) do slide 91.

Variáveis aleatórias e Pares aleatórios.

Ex.: 2.26d); 2.28c); 2.27; 2.31a),c).

Realização do 1º questionário.

Variáveis aleatórias discretas: função massa de probabilidade e função de distribuição cumulativa e suas propriedades; cálculo de probabilidades; valor esperado e variância. Resolução dos exercícios 2.26 e 2.27 a).

Realização do 1º Questionário.

TPC: terminar ex. 2.27, e exs. 2.31, 2.32 e 2.33.

Variáveis aleatórias e Pares aleatórios.

Ex.: 2.26d); 2.28c); 2.27; 2.31a),c).

Realização do 1º questionário.

O par aleatório (X,Y): definição e tipos de pares aleatórios que iremos estudar.
O par aleatório discreto, formalização: a função massa de probabilidade conjunta,
distribuição de probabilidades marginais e distribuição de probabilidades condicional.
Resolução de um Exercício.
O par aleatório contínuo: função densidade de probabilidade conjunta. Função densidade de probabilidade marginal.
Resolução do exercício R2.20 (início).
TPC: Determinar as funções densidade marginais do exercício R2.20

Exercício 2.18 (Teorema da probabilidade Total e Teorema de Bayes)

Variáveis aleatórias discretas e contínuas:  Exercícios 2.27 e 2.32.

Realização do 1º Questionário.

TPC: exs. 2.31, 2.36 e 2.37

Variáveis aleatórias e Pares aleatórios.

Ex.: 2.26d); 2.27; 2.31a),c); 2.33a).

Realização do 1º questionário.

Variáveis aleatórias contínuas: Exerc. 2.37. Resolução do primeiro Questionário.TPC: Exerc. 2.32, 2.36.

Variáveis aleatórias discretas: função massa de probabilidade e função de distribuição cumulativa e suas propriedades; cálculo de probabilidades; valor esperado e variância. Resolução dos exercícios 2.26 e 2.27 a).

Realização do 1º Questionário.

TPC: exs. 2.31, 2.32 e 2.33

O par aleatório (X,Y): definição e tipos de pares aleatórios que iremos estudar.
O par aleatório discreto, formalização: a função massa de probabilidade conjunta,
distribuição de probabilidades marginais e distribuição de probabilidades condicional.
Resolução de um Exercício.
O par aleatório contínuo: função densidade de probabilidade conjunta. Função densidade de probabilidade marginal.
Resolução do exercício R2.20.
TPC: Determinar as funções densidade marginais do exercício R2.20

Variáveis aleatórias e Pares aleatórios.

Ex.: 2.26d); 2.27; 2.31a),c); 2.33a).

Realização do 1º questionário.

O par aleatório (X,Y): definição e tipos de pares aleatórios que iremos estudar.
O par aleatório discreto, formalização: a função massa de probabilidade conjunta,
distribuição de probabilidades marginais e distribuição de probabilidades condicional.
Resolução de um Exercício.
O par aleatório contínuo: função densidade de probabilidade conjunta. Função densidade de probabilidade marginal.
Resolução do exercício R2.20.
TPC: Determinar as funções densidade marginais do exercício R2.20

Variáveis aleatórias discretas: função massa de probabilidade e função de distribuição cumulativa e suas propriedades; cálculo de probabilidades; valor esperado e variância. Resolução dos exercícios 2.26 e 2.27 a).

Realização do 1º Questionário.

TPC: exs. 2.31, 2.32 e 2.33

Variáveis aleatórias contínuas: Exerc. 2.37. Resolução do primeiro Questionário.TPC: Exerc. 2.32, 2.36.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): Teorema da probabilidade total e Teorema de Bayes.  Resolução dos exercícios 2.15, 2.16, 2.20.

Variáveis aleatórias discretas: distribuição de probabilidades e função distribuição cumulativa. Parâmetros de uma v.a. aleatória: Resolução do exercício 2.26

TPC: ex. 2.18, 2.27 e 2.32

Conclusão da revisão de Probabilidade de acontecimentos. Exercícios 2.17, 2.18 e 2.20. Variáveis aleatórias discretas (conceitos de massa de probabilidade e função distribuição cumulativa, cálculo de probabilidades, valor esperado e variância e suas propriedades): exerc. 2.26. TPC 2.32 e 2.37.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisão- slides 48 a 63): teorema de Bayes.

Ex.: 2.11c); 2.17; 2.20.

Variáveis aleatórias e pares aleatórios.

Ex.: 2.26a)-c).

TPC: 2.18; 2.21; 2.27.

Variáveis aleatórias (continuação).
Resolução dos exercícios 2.28, 2.30, e 2. 32 a).
Continuação do estudo de parâmetros de uma variável aleatória: propriedades da variância. Definição de quantil no caso de uma v.a. contínua e de uma v.a. discreta. Exemplos.

TPC: Exercício 2.36 para corrigir nas aulas práticas.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): teorema de Bayes. Correcção do TPC (ex. 2.11 b) c), 2.14). Resolução dos exercícios 2.20, 2.13.

Introdução às variáveis aleatórias: classificação e função massa de probabilidade de uma v.a discreta.

TPC: ex. 2.15 a 2.19, 2.21, 2.22, 2.26, 2.28

Conclusão da revisão de Probabilidade de acontecimentos. Exercícios 2.17, 2.18 e 2.20. Variáveis aleatórias discretas (conceitos de massa de probabilidade e função distribuição cumulativa, cálculo de probabilidades, valor esperado e variância e suas propriedades): exerc. 2.26. TPC 2.32 e 2.37.

Variáveis aleatórias (continuação).
Resolução dos exercícios 2.28, 2.30, e 2. 32 a).
Continuação do estudo de parâmetros de uma variável aleatória: propriedades da variância. Definição de quantil no caso de uma v.a. contínua e de uma v.a. discreta. Exemplos.

TPC: Exercício 2.36 para corrigir nas aulas práticas.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): teorema de Bayes. Correcção do TPC (ex. 2.11 b) c), 2.14). Resolução dos exercícios 2.20, 2.13.

Introdução às variáveis aleatórias: classificação e função massa de probabilidade de uma v.a discreta.

TPC: ex. 2.15 a 2.19, 2.21, 2.22, 2.26, 2.28

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisão- slides 48 a 63): teorema de Bayes.

Ex.: 2.11c); 2.17; 2.20.

Variáveis aleatórias e pares aleatórios.

Ex.: 2.26a)-c).

TPC: 2.18; 2.21; 2.27.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisão- slides 48 a 63): teorema de Bayes.

Ex.: 2.11c); 2.17; 2.20.

Variáveis aleatórias e pares aleatórios.

Ex.: 2.26a)-c).

TPC: 2.18; 2.21; 2.27.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisão- slides 48 a 63): teorema de Bayes.

Ex.: 2.11c); 2.17; 2.20.

Variáveis aleatórias e pares aleatórios.

Ex.: 2.26a)-c).

TPC: 2.18; 2.21; 2.27.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): teorema de Bayes. Resolução dos exercícios 2.13, 2.14, 2.20.

Introdução às variáveis aleatórias.

TPC: ex. 2.15 a 2.19, 2.21, 2.26, 2.28

Variáveis aleatórias (continuação).
Resolução dos exercícios 2.28, 2.30, e 2. 32 a) e b).
Continuação do estudo de parâmetros de uma variável aleatória: propriedades da variância. Definição de quantil no caso de uma v.a. contínua e de uma v.a. discreta. Exemplos.

TPC: Exercício 2.36 para corrigir nas aulas práticas.

Estatística descritiva.

Ex.: Perg.1 do exame de 13 janeiro 2014.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisão- slides 48 a 63): probabilidade condicional de A dado B; particão do espaço de resultados; teorema da probabilidade total.

Ex.: 2.5; 2.9; 2.11a)b).

Estatística descritiva.

Ex.: Perg.1 do exame de 13 janeiro 2014.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisão- slides 48 a 63): probabilidade condicional de A dado B; particão do espaço de resultados; teorema da probabilidade total.

Ex.: 2.5; 2.9; 2.11a)b).

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): probabilidade condicional, acontecimentos independentes e acontecimentos mutuamente exclusivos, partição de um espaço de resultados, teorema da probabilidade total. Resolução dos exercícios 2.7, 2.10, 2.11 a) b).

TPC: terminar ex. 2.11, 2.9, 2.12, 2.14, 2.15

Variáveis aleatórias (continuação).
Resolução do exercício 2.23. Cálculo de probabilidades usando a função massa de probabilidade e a função de distribuição cumulativa.
Parâmetros de uma variável aleatória: o valor médio - definição  e  propriedades. O valor médio de uma função de uma variável aleatória. Definição de variância.
Cálculo do valor médio e da variância no exercício 2.23
TPC: Ex 2.28, 2.30 e 2.32 

Revisões de Probabilidade de acontecimentos: independência e incompatibilidade de acontecimentos , probabilidade condicional, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Exercícios 2.3 b), 2.7, 2.10, 2.13 e 2.14. TPC: Exerc. 2.17, 2.18 e 2.20.

Probabilidade de acontecimentos (revisões): os conceitois de independência e incompatibilidade de acontecimentos. Independência de mais de 2 acontecimentos. Probabilidade condicional do complementar. O teorema da probabilidade total.

Exercícios 2.5, 2.9, 2.10, 2.13 e 2.15 (inicio) .

TPC: Exerc. 2.15, 2.14, 2.16 e 2.20.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisão- slides 48 a 63): espaço de resultados; acontecimentos certo e impossível; leis básicas das Probabilidades; acontecimentos independentes e mutuamente exclusivos; probabilidade condicional de A dado B; particão do espaço de resultados; teorema da probabilidade total.

Ex.: 2.1; 2.3; 2.5; 2.9; 2.11a)b).

Variáveis aleatórias (continuação).
Resolução do exercício 2.23. Cálculo de probabilidades usando a função massa de probabilidade e a função de distribuição cumulativa.
Parâmetros de uma variável aleatória: o valor médio - definição  e  propriedades. O valor médio de uma função de uma variável aleatória. Definição de variância.
Cálculo do valor médio e da variância para o exercício 2.23
TPC: Ex 2.28, 2.30 e 2.32 

Estatística descritiva.

Ex.: Perg.1 do exame de 13 janeiro 2014.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisão- slides 48 a 63): probabilidade condicional de A dado B; particão do espaço de resultados; teorema da probabilidade total.

Ex.: 2.5; 2.9; 2.11a)b).

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): probabilidade condicional, acontecimentos independentes e acontecimentos mutuamente exclusivos, partição de um espaço de resultados, teorema da probabilidade total. Resolução dos exercícios 2.7, 2.10, 2.11 a)b).

TPC: terminar ex. 2.11, 2.9, 2.12, 2.14, 2.15

Variáveis aleatórias (continuação).
Resolução do exercício 2.23. Cálculo de probabilidades usando a função massa de probabilidade e a função de distribuição cumulativa.
Parâmetros de uma variável aleatória: o valor médio - definição  e  propriedades. O valor médio de uma função de uma variável aleatória. Definição de variância.
Cálculo do valor médio e da variância para o exercício 2.23
TPC: Ex 2.28, 2.30 e 2.32 

Revisões de Probabilidade de acontecimentos: independência e incompatibilidade de acontecimentos , probabilidade condicional, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Exercícios 2.3 b), 2.7, 2.10, 2.13 e 2.14. TPC: Exerc. 2.17, 2.18 e 2.20.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): probabilidade condicional, acontecimentos independentes e acontecimentos mutuamente exclusivos, partição de um espaço de resultados, teorema da probabilidade total. Resolução dos exercícios 2.3, 2.7, 2.10, 2.11 a).

TPC: terminar ex. 2.11, 2.9, 2.12, 2.14, 2.15

Correcção dos exercício  1.37 e início do 1.37. Revisão da regressão linear no R.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): Acontecimentos, leis básicas da probabilidade. Resolução dos exercícios 2.1, 2.3, 2.7 e 2.5.

TPC: Exs. 2.9, 2.10, 2.11 e 2.12

Estatística descritiva a duas dimensões com recurso ao R: exercícios 1.32 e R1.3. Exerc. R1.11. Breve revisão dos conceitos de Probabilidade de acontecimentos: álgebra dos acontecimentos e leis básicas da probabilidade. Exerc 2.1 e 2.3 a). TPC: exerc. 2.3b), 2.7 e 2.10.

Estatística descritiva.

Ex.: 1.33;1.39.

Variáveis aleatórias. Tipos de variáveis aleatórias.
Revisão da função massa de probabilidade e da função densidade de probabilidade; correcção de exercícios.
A função de distribuição cumulativa: definição e propriedades.
Cálculo e representação gráfica para os exemplos 2 e 3 do slide 73.
TPC: Resolução do exercício 2.23

Correcção do TPC (exs. R1.3 e 1.35). Noção de indicadores relativos de dispersão: o coeficiente de variação.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): noções preliminares, álgebra de acontecimentos, leis básicas da probabilidade. Resolução do exercício 2.1.

TPC: resolver exs. 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.8

Estatística descritiva a duas dimensões com recurso ao R: exercícios 1.32 e R1.3. Exerc. R1.11. Breve revisão dos conceitos de Probabilidade de acontecimentos: álgebra dos acontecimentos e leis básicas da probabilidade. Exerc 2.1 e 2.3 a). TPC: exerc. 2.3b), 2.7 e 2.10.

Variáveis aleatórias. Tipos de variáveis aleatórias.
Revisão da função massa de probabilidade e da função densidade de probabilidade; correcção de exercícios.
A função de distribuição cumulativa: definição e propriedades.
Cálculo e representação gráfica para os exemplos 2 e 3 do slide 73.
TPC: Resolução do exercício 2.23

Correcção do TPC (exs. R1.3 e 1.35). Noção de indicadores relativos de dispersão: o coeficiente de variação.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): noções preliminares, álgebra de acontecimentos, leis básicas da probabilidade. Resolução dos exercícios 2.1, 2.3, 2.7.

TPC: terminar ex. 2.7 e resolver exs. 2.2, 2.4, 2.5, 2.8

Estatística descritiva.

Ex.: 1.33;1.39.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisão- slides 48 a 63): espaço de resultados; acontecimentos certo e impossíve; acontecimentos independentes e mutuamente exclusivos; Leis básicas das probabilidades.

Ex.: 2.1;2.3.

Estatística descritiva.

Ex.: 1.33;1.39.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisão- slides 48 a 63): espaço de resultados; acontecimentos certo e impossíve; acontecimentos independentes e mutuamente exclusivos; Leis básicas das probabilidades.

Ex.: 2.1;2.3.

Correcção do TPC (exs. R1.3 e 1.35). Noção de indicadores relativos de dispersão: o coeficiente de variação.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisões): noções preliminares, álgebra de acontecimentos, leis básicas da probabilidade. Resolução dos exercícios 2.1, 2.3, 2.7.

TPC: terminar ex. 2.7 e resolver exs. 2.2, 2.4, 2.5, 2.8

Estatística descritiva.

Ex.: 1.33;1.39.

Introdução à Teoria da Probabilidade (revisão- slides 48 a 63): espaço de resultados; acontecimentos certo e impossíve; acontecimentos independentes e mutuamente exclusivos; Leis básicas das probabilidades.

Ex.: 2.1;2.3.

Variáveis aleatórias. Tipos de variáveis aleatórias.
Revisão da função massa de probabilidade e da função densidade de probabilidade; correcção de exercícios.
A função de distribuição cumulativa: definição e propriedades.
Cálculo e representação gráfica para os exemplos 2 e 3 do slide 73.
TPC: Resolução do exercício 2.23

Estatística Descritiva.

Ex.: 1.25e)-h); 1.24a)-c).

Estatística Descritiva.

Ex.: 1.25e)-h); 1.24a)-c).

Estatística descritiva a duas dimensões: regressão linear simples e precisão da recta de regressão (o coeficiente de determinação). Transformações lineares (afins) das variáveis e seus efeitos na média, variância, desvio padrão, covariância e coeficiente de correlação. Resolução dos exercícios 1.32 c) d) e 1.33 a) b)i).

TPC: terminar ex. 1.33 e resolver exs. 1.25, R1.3. Rever os conceitos da Teoria da Probabilidade (slides 48 a 63)

Introdução ao Capítulo II - Espaço de resultados e acontecimento. A definição de probablidade e de probabilidade condicional. Probabilidade da intersecção de dois acontecimentos. 

Variáveis aleatórias: definição, estudo de um exemplo. Tipos de variáveis aleatórias.
Variáveis aleatórias discretas: definição; a função massa de probabilidade e suas propriedades. Representação gráfica da função massa de probabilidade.

Variáveis aleatórias contínuas: definição, a função densidade de probabilidade e suas propriedades. 

Início de resolução dos exercícios  2 e 3 do slide 73
TPC: Conclusão da resolução dos exercícios.

Estatística descritiva a uma e duas dimensões. O coeficiente de variação.Transformações afins das variáveis.   Resolução dos exercícios 1.24 (e da pergunta 2. do teste de 11.11.2015); 1.17 e 1.33.

TPC: Teoria da Probabilidade (rever slides  48 a 63). Ex. 2.1, 2.3, 2.5, 2.7

Estatística Descritiva.

Ex.: 1.25e)-h); 1.24a)-c).

Estatística descritiva a duas dimensões: conclusão do exerc. 1.25, exerc. 1.31 ,1.33 e R1.3 a). TPC: Conclusão do R1.3 e R.1.11.

Estatística descritiva a duas dimensões: regressão linear simples e precisão da recta de regressão (o coeficiente de determinação). Transformações lineares (afins) das variáveis e seus efeitos na média, variância, desvio padrão, covariância e coeficiente de correlação. Resolução dos exercícios 1.32 c) d) e 1.33.

TPC: terminar ex. 1.33 c) e resolver exs. 1.17, 1.25, R1.3. Rever os conceitos da Teoria da Probabilidade (slides 48 a 63)

Introdução ao Capítulo II - referência breve ao conceitos de fenómeno aleatório,
experiência aleatória, espaço de resultados e acontecimento. A definição de probablidade e de probabilidade condicional. Probabilidade da intersecção de dois acontecimentos. 

Variáveis aleatórias: definição, estudo de um exemplo. Tipos de variáveis aleatórias.
Variáveis aleatórias discretas: definição; a função massa de probabilidade e suas propriedades. Representação gráfica da função massa de probabilidade.

Variáveis aleatórias contínuas: definição, a função densidade de probabilidade e suas propriedades. 

Início de resolução dos exercícios  2 e 3 do slide 73
TPC: Conclusão da resolução dos exercícios.

Estatística Descritiva.

Ex.: 1.25e)-h); 1.24a)-d).

Introdução ao Capítulo II - referência breve ao conceitos de fenómeno aleatório,
experiência aleatória, espaço de resultados e acontecimento. A definição de probablidade e de probabilidade condicional. Probabilidade da intersecção de dois acontecimentos. 

Variáveis aleatórias: definição, estudo de um exemplo. Tipos de variáveis aleatórias.
Variáveis aleatórias discretas: definição; a função massa de probabilidade e suas propriedades. Representação gráfica da função massa de probabilidade.

Variáveis aleatórias contínuas: definição, a função densidade de probabilidade e suas propriedades. 

Início de resolução dos exercícios  2 e 3 do slide 73
TPC: Conclusão da resolução dos exercícios.

Estatística descritiva a duas dimensões: regressão linear simples e precisão da recta de regressão (o coeficiente de determinação). Transformações lineares (afins) das variáveis e seus efeitos na média, variância, desvio padrão, covariância e coeficiente de correlação. Resolução dos exercícios 1.32 c) d) e 1.33.

TPC: terminar ex. 1.33 c) e resolver exs. 1.17, 1.25, R1.3. Rever os conceitos da Teoria da Probabilidade (slides 48 a 63)

Estatística descritiva a duas dimensões: conclusão do exerc. 1.25, exerc. 1.31 ,1.33 e R1.3 a). TPC: Conclusão do R1.3 e R.1.11.

Estatística descritiva a uma e duas dimensões. Leitura de comandos do R. As funções cor() e lm(). Exercícios 1.22, 1.23 e 1.25

TPC:  1.24, 1.33 e 1.37

Estatística descritiva.

Leitura no R de ficheiros de dados: funções - read.table() e load(). Funções do R - sort(), table(), par(), plot(), boxplot(), seq(), cor().

Ex.: 1.8c)(conclusão), 1.14, 1.25a)-c).

TPC: 1.25 (acabar); 1.24.

Estatística descritiva a uma e a duas dimensões. Introdução ao software R. Exerc. 1.15 e 1.19 com recurso ao R, 1.23  e  1.25 a) b) e d). TPC: 1.25 c) e de e) em diante, 1.32  e 1.33.

Considerações finais sobre o Capítulo I (breve referência aos resíduos)
Os conceitos "correlação" e "regressão".  
Resolução dos exercício 1.40 (conclusão) e 1.34  

Estatística descritiva a uma e a duas dimensões. Introdução ao software R. Exerc. 1.15 e 1.19 com recurso ao R, 1.23  e  1.25 a) b) e d). TPC: 1.25 c) e de e) em diante, 1.32  e 1.33.

Introdução à aplicação R: função boxplot. Resolução do ex. 1.32 a)

Estatística descritiva a duas dimensões: diagrama de dispersão, covariância, coeficiente de correlação. Regressão linear simples: equação da recta de regressão dos mínimos quadrados. Resolução do ex. 1.32 b).

TPC: Terminar o ex. 1.32 e resolver os exs. 1.22, 1.23, 1.24, 1.25, 1.28, 1.29.

Considerações finais sobre o Capítulo I (breve referência aos resíduos)
Os conceitos "correlação" e "regressão".  
Resolução dos exercício 1.40 (conclusão) e 1.34  

Estatística descritiva.

Leitura no R de ficheiros de dados: funções - read.table() e load(). Funções do R - sort(), table(), par(), plot(), boxplot(), seq(), cor().

Ex.: 1.8c)(conclusão), 1.14, 1.25a)-d).

TPC: 1.25 (acabar); 1.24.

Introdução à aplicação R: função boxplot. Resolução do ex. 1.32 a)

Estatística descritiva a duas dimensões: diagrama de dispersão, covariância, coeficiente de correlação. Regressão linear simples: equação da recta de regressão dos mínimos quadrados. Resolução do ex. 1.32 b).

TPC: Terminar o ex. 1.32 e resolver os exs. 1.22, 1.23, 1.24, 1.25, 1.28, 1.29.

Estatística descritiva.

Leitura no R de ficheiros de dados: funções - read.table() e load(). Funções do R - sort(), table(), par(), plot(), boxplot(), seq(), cor(). Ex.: 1.8c)(conclusão), 1.14, 1.25a)-d).

TPC: 1.25 (acabar); 1.24.

Introdução à aplicação R: os ficheiros do R - ficheiros de comandos (scripts, com extensão .R) e ficheiros de objectos/dados (workspace, com extensão .RData); leitura de ficheiros .txt com dados no RStudio e os objectos data.frame. Funções table, cumsum, cbind, plot e boxplot. Resolução dos exs. 1.11 a), 1.32 a).

Estatística descritiva a duas dimensões: diagrama de dispersão, covariância, coeficiente de correlação, regressão linear simples (equação da recta de regressão dos mínimos quadrados). A função lm do R. Resolução do ex. 1.32 b).

TPC: Resolver os exs. 1.22, 1.23, 1.24, 1.25, 1.28, 1.29.

Estatística descritiva.

Leitura no R de ficheiros de dados: funções - read.table() e load(). Funções do R - sort(), table(), par(), plot(), boxplot(), seq(), cor(). Ex.: 1.8c)(conclusão), 1.14, 1.25a)-d).

TPC: 1.25 (acabar); 1.24.

Considerações finais sobre o Capítulo I (breve referência aos resíduos).
Os conceitos "correlação" e "regressão".  
Resolução dos exercício 1.40 (conclusão) e 1.34  

Introdução ao Capítulo II - referência breve ao conceitos de fenómeno aleatório,
experiência aleatória, espaço de resultados e acontecimento.

Estatística descritiva a uma dimensão (revisão).

Ex.: 1.12 (conclusão), 1.11, 1.13a), 1.17, 1.19.

TPC: para a 6ª aula (aula do R) - 1.8c); para a 7ª aula - 1.22; 1.23; 1.24.

Estatística descritiva a uma dimensão (revisão).

Ex.: 1.12 (conclusão), 1.11, 1.13a), 1.17, 1.19.

TPC: para a 6ª aula (aula do R) - 1.8c); para a 7ª aula - 1.22; 1.23; 1.24.

Estatística descritiva a uma dimensão: cálculo de indicadores com dados agrupados (média, mediana, quantis, variância e desvio padrão); definição de observação atípica (outlier) e desenho da caixa de bigodes (com e sem observações atípicas). Resolução dos ex. 1.12 e 1.15.

TPC: terminar ex. 1.15 e resolver exs. 1.11, 1.14, 1.18, 1.20, 1.21.

Interpretação do coeficiente de regressão.
Estudo da "qualidade" da recta de regressão. O coeficiente de determinação,
dedução e interpretação.
Resolução do exercício  1.40 (alíneas a),  c)i).
TPC: 1.34, R1.8 e R1.9 e concluir 1.40

Estatística descritiva a uma dimensão: boxplot; outliers. Histogramas para classes
de amplitude igual e de amplitude variável.
Cálculo de indicadores para dados agrupados em classes.
Resolução dos exercício 1.8b), 1.15 e 1.12, com aplicação dos conceitos acabados de dar.
TPC 1.22, 1.23 e 1.25

Estatística descritiva a uma dimensão: Exercícios 1.15 b), c) e d), 1.12, 1.17 (dedução da fórmula operacional da variância), 1.22 e apresentação do exerc. 1.19. Indicadores adequados para variáveis quantitativas e qualitativas. Interpretação de boxplots. TPC: 1.15 e 1.19 com recurso ao software R.

Estatística descritiva a uma dimensão (revisão).

Ex.: 1.12 (conclusão), 1.11, 1.13a), 1.17, 1.19.

TPC: para a 6ª aula (aula do R) - 1.8c); para a 7ª aula - 1.22; 1.23; 1.24.

Estatística descritiva a uma dimensão: cálculo de indicadores com dados agrupados (mediana e quantis); definição de observação atípica (outlier) e desenho da caixa de bigodes (com e sem observações atípicas). Resolução dos ex. 1.12 e 1.15.

TPC: terminar ex. 1.15 e resolver exs. 1.16, 1.18, 1.20,1.21.

Interpretação do coeficiente de regressão.
Estudo da "qualidade" da recta de regressão. O coeficiente de determinação,
dedução e interpretação.
Resolução do exercício  1.40 (alíneas a), b) c)i).
TPC: 1.34, R1.8 e R1.9

Estatística descritiva a uma dimensão (revisão).

Ex.: 1.12 (conclusão), 1.11, 1.13a), 1.17, 1.19.

TPC: para a 6ª aula (aula do R) - 1.8c); para a 7ª aula - 1.22; 1.23; 1.24.

Interpretação do coeficiente de regressão.
Estudo da "qualidade" da recta de regressão. O coeficiente de determinação,
dedução e interpretação.
Resolução do exercício  1.40 (alíneas a), b) c)i).
TPC: 1.34, R1.8 e R1.9

Estatística descritiva a uma dimensão: cálculo de indicadores com dados agrupados (média, mediana, quantis, variância e desvio padrão); definição de observação atípica (outlier) e desenho da caixa de bigodes (com e sem observações atípicas). Resolução dos ex. 1.12 e 1.15.

TPC: terminar ex. 1.15 e resolver exs. 1.16, 1.18, 1.20,1.21.

Estatística descritiva a uma dimensão: Exercícios 1.15 b), c) e d), 1.12, 1.17 (dedução da fórmula operacional da variância), 1.22 e apresentação do exerc. 1.19. Indicadores adequados para variáveis quantitativas e qualitativas. Interpretação de boxplots. TPC: 1.15 e 1.19 com recurso ao software R.

Estatística descritiva no R. Leitura de dados. Construção de tabelas de frequências.
Funções  no R: read.table, sum, cumsum,  quantile.
Funções gráficas plot,  hist e boxplot. A construção do boxplot.

Tabelas de frequências para dados de natureza discreta (como um nº elevado de valores distintos  e dados de natureza contínua). Identificação de candidatos a "outliers".
TPC: Exers 1.8 b) (concluir), e b) . 2.15

Introdução ao software R: objetos, funções, operações com vectores, leitura de ficheiros. Funções table, plot, barplot, boxplot, hist. Objecto data.frame. Resolução dos exercícios 1.8a) e b) (para dados exactos e agrupados). Início da resolução do exerc. 1.15 (alínea a)). TPC: 1.15 e 1.19.

Introdução ao software R.  Tipos de objetos; criar um vetor e data.frame. Funções estatísticas no R - min, max, mean, median, quantile, summary, var, sd, hist, ; outras funções - sort, length, attach e detach, round, seq, par.

Leitura de dados em ficheiros txt - função read.table.

Exercícios: 1.1.(acabar); 1.2.

Resolução do Ex. 1.27 a) b). Ainda a interpretação do coeficiente de correlação.
A regressão linear simples.
A determinação dos coeficientes da recta pelo método dos mínimos quadrados.
O declive da recta, interpretação.
Resolução do exemplo apresentado no slide 36 usando o R.
TPC: Ex. 1.34 e 1.40

Introdução ao software R: objetos, funções, operações com vectores, leitura de ficheiros. Funções table, plot, barplot, boxplot, hist. Objecto data.frame. Resolução dos exercícios 1.8a) e b) (para dados exactos e agrupados). Início da resolução do exerc. 1.15 (alínea a)). TPC: 1.15 e 1.19.

Introdução à aplicação R: os ficheiros do R - ficheiros de comandos (scripts, com extensão .R) e ficheiros de objectos/dados (workspace, com extensão .RData); leitura de ficheiros .txt com dados no RStudio e os objectos data.frame. Funções para o cálculo de indicadores numéricos e para o agrupamento de dados: mean, median, max, min, quantile, var, sd, IQR, table, plot, hist. Ex. 1.8.

TPC: Estudar a definição de outlier; resolver ex. 1.11, 1.12, 1.13.

Resolução do Ex. 1.27 a) b). Ainda a interpretação do coeficiente de correlação.
A regressão linear simples.
A determinação dos coeficientes da recta pelo método dos mínimos quadrados.
O declive da recta, interpretação.
Resolução do exemplo apresentado no slide 36 usando o R.
TPC: Ex. 1.34 e 1.40

Introdução ao software R.  Tipos de objetos; criar um vetor e data.frame. Funções estatísticas no R - min, max, mean, median, quantile, summary, var, sd, hist, ; outras funções - sort, length, attach e detach, round, seq, par.

Leitura de dados em ficheiros txt - função read.table.

Exercícios: 1.1.(acabar); 1.2; 1.8c).

Introdução à aplicação R: os ficheiros do R - ficheiros de comandos (scripts, com extensão .R) e ficheiros de objectos/dados (workspace, com extensão .RData); leitura no RStudio de ficheiros .txt com dados e os objectos data.frame. Funções para o cálculo de indicadores numéricos e para o agrupamento de dados: mean, median, max, min, quantile, var, sd, IQR, table, plot, hist. Ex. 1.8.

Estatística descritiva a uma dimensão: definição de observação atípica (outlier).

TPC: averiguar a existência de outliers nos 3 conjuntos de dados do ex. 1.8; resolver ex. 1.11, 1.12, 1.14.

Introdução ao software R.  Tipos de objetos; criar um vetor e data.frame. Funções estatísticas no R - min, max, mean, median, quantile, summary, var, sd, hist, ; outras funções - sort, length, attach e detach, round, seq, par.

Leitura de dados em ficheiros txt - função read.table.

Exercícios: 1.1.(acabar); 1.2; 1.8c).

Introdução ao software R.  Tipos de objetos; criar um vetor e data.frame. Funções estatísticas no R - min, max, mean, median, quantile, summary, var, sd, hist, ; outras funções - sort, length, attach e detach, round, seq, par.

Leitura de dados em ficheiros txt - função read.table.

Exercícios: 1.1.(acabar); 1.2; 1.8c).

TPC: 1.13; 1.14.

Estatística descritiva a uma dimensão: agrupamento dos dados em classes de amplitude constante e construção do respectivo histograma. Ex. 1.8 b).

Introdução à aplicação R: funções para o cálculo de indicadores numéricos e para a construção de um histograma (mean, median, max, min, quantile, var, sd, IQR, hist). Ex. 1.8 b).

TPC: resolver ex. 1.8 c) no R e ex. 1.12.

Ainda a interpretação do coeficiente de correlação.
A regressão linear simples.
A determinação dos coeficientes da recta pelo método dos mínimos quadrados.
O declive da recta, interpretação.
Resolução do Ex. 1.27 a) b)
Resolução do exemplo apresentado no slide 36 usando o R.
TPC: Ex. 1.34 e 1.40

Estatística descritiva a uma dimensão (revisão): Dados observados e dados agrupados. Indicadores numéricos (média, moda, quantis, mediana) e indicadores de dispersão (amplitude total, amplitude inter-quartis, variância, desvio padrão, coeficiente de variação). Propriedades da média e da variância.

Exercícios: 1.12 

Estatística descritiva a uma dimensão: cálculo manual de medidas de localização e dispersão e representação gráfica de um conjunto de dados; construção de histogramas com classes de amplitude constante. Correcção do TPC (ex. 1.19) e resolução dos exercícios 1.10. TPC: dedução das diferentes fórmulas para o cálculo da variância; exercícios 1.8 b) c) e respectivos histogramas.

Estatística descritiva a uma dimensão (revisão): Dados observados e dados agrupados. Indicadores numéricos (média, moda, quantis, mediana) e indicadores de dispersão (amplitude total, amplitude inter-quartis, variância, desvio padrão, coeficiente de variação). Propriedades da média e da variância.

Exercícios: 1.12 

 A covariância: estudo das propriedades. Revisão da propriedade da média, variância e desvio padrão relativa a uma  transformação afim dos dados.
O coeficiente de correlação (de Pearson). Definição, Propriedades, Interpretação. Exercício de aplicação.

Utilização do R no inicio da resolução do exercício do slide 36.
TPC: para o exercício do slide 36 calcular o coeficiente de correlação. Ex. 1.27 b),c) e 1.29.

Estatística descritiva a uma dimensão: revisão das medidas de localização (média, mediana, moda e quantis) e de  dispersão (amplitude total e interquartil, variância e desvio padrão). Cálculo dessas medidas no Ex 1.8a) .  Representação gráfica. 

Conclusão do Ex  1.10 e  Ex R.1.11 a) .  Dedução das diferentes fórmulas de cálculo da variância e dedução da variância quando os dados sofrem uma transformação afim.

TPC: 1.8 b) c) 1.15 e 1.12

Estatística descritiva a uma dimensão [slides 15-30]: representação gráfica de dados (gráfico de barras e histograma), cálculo (manual) de indicadores de localização e de dispersão para dados exactos (média, moda, mediana e quantis; amplitude total e interquartil, variância e desvio padrão), utilizando os dados do Exerc. 1.8a). Propriedades da média e da variância. Esboço de caixa de bigodes. Cálculo (manual) de indicadores de localização (média, moda, mediana e quantis) para dados agrupados com os dados do exerc. 1.8b). Exerc. 1.11. TPC: dedução da fórmula operacional da variância, cálculo dos indicadores para os dados exactos do exerc. 1.8b) e 1.8c) com recurso ao software R.

Estatística descritiva a uma dimensão (revisão): Dados observados e dados agrupados. Indicadores numéricos (média, moda, quantis, mediana) e indicadores de dispersão (amplitude total, amplitude inter-quartis, variância, desvio padrão, coeficiente de variação). Propriedades da média e da variância.

Exercícios: 1.10; 1.12 

Estatística descritiva a uma dimensão: cálculo manual de medidas de localização e dispersão e representação gráfica de um conjunto de dados; construção de histogramas com classes de amplitude constante. Correcção do TPC (ex. 1.19) e resolução dos exercícios 1.10 e 1.8 b). TPC: dedução das diferentes fórmulas para o cálculo da variância; exercício 1.8 c) e respectivo histograma.

 A covariância: estudo das propriedades. Revisão da propriedade da média, variância e desvio padrão relativa a uma  transformação afim dos dados.
O coeficiente de correlação (de Pearson). Definição, Propriedades, Interpretação. Exercício de aplicação.

Utilização do R no inicio da resolução do exercício do slide 36.
TPC: para o exercício do slide 36 calcular o coeficiente de correlação. Ex. 1.27 b),c) e 1.29.

Estatística descritiva a uma dimensão (revisão): Dados observados e dados agrupados. Indicadores numéricos (média, moda, quantis, mediana) e indicadores de dispersão (amplitude total, amplitude inter-quartis, variância, desvio padrão, coeficiente de variação). Propriedades da média e da variância.

Exercícios: 1.1 e)f); 1.12 

A covariância: estudo das propriedades. Revisão da propriedade da média, variância e desvio padrão relativa a uma  transformação afim dos dados.
O coeficiente de correlação (de Pearson). Definição, Propriedades, Interpretação. Exercício de aplicação.

Utilização do R no inicio da resolução do exercício do slide 36.
TPC: para o exercício do slide 36 calcular o coeficiente de correlação. Ex. 1.27 b),c) e 1.29.

Estatística descritiva a uma dimensão: cálculo manual de medidas de localização e dispersão e representação gráfica de um conjunto de dados; construção de histogramas com classes de amplitude constante. Correcção do TPC (ex. 1.19) e resolução dos exercícios 1.10 e 1.8 b). TPC: dedução das diferentes fórmulas para o cálculo da variância; exercício 1.8 c) e respectivo histograma.

Estatística descritiva a uma dimensão [slides 15-30]: representação gráfica de dados (gráfico de barras e histograma), cálculo (manual) de indicadores de localização e de dispersão para dados exactos (média, moda, mediana e quantis; amplitude total e interquartil, variância e desvio padrão), utilizando os dados do Exerc. 1.8a). Propriedades da média e da variância. Esboço de caixa de bigodes. Cálculo (manual) de indicadores de localização (média, moda, mediana e quantis) para dados agrupados com os dados do exerc. 1.8b). Exerc. 1.11. TPC: dedução da fórmula operacional da variância, cálculo dos indicadores para os dados exactos do exerc. 1.8b) e 1.8c) com recurso ao software R.

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO).  Exercícios: 1.8a)b).

Introdução à aplicação R. Ambiente de trabalho; janelas: consola e script.  Exercício 1.1 (início).  

Introdução ao software R.  Como trabalhar em ambiente R: operações aritméticas e objectos- criação de vectores. Funções estatística no R: mean, median, var, length.  Criação de scripts, leitura de ficheiros. Revisão de indicadores de localização (média, mediana) e dispersão (variância, amplitude total). Ex 1.1., 1.8a)

TPC: Ex 1.8b) e 1.19.

Breve revisão sobre os indicadores de localização e dispersão [slides 15-17, 19-22,25]. Introdução ao software R (abertura da sessão, descarga de ficheiros de dados, objectos, principais funções, vantagens da utilização do script). Criação de vectores, importação de dados, cálculo de tabelas de frequências e de alguns indicadores de localização e dispersão com recurso ao software. Exerc. 1.1 e 1.8a). TPC Exerc. 1.8b) e c).

Estatística Descritiva a duas dimensões: tabela de contingência e diagrama de dispersão.
Médias e variâncias marginais. As fórmulas de cálculo da variância. Cálculo destes indicadores para o exemplo do slide 36.
A covariância: definição e  interpretação. As fórmulas de cálculo da variância.
TPC:Deduzir as fórmulas de cálculo da variância e covariância.
Calcular todas as medidas dadas para o exemplo do slide 36. Resolver Ex 1.27 a) das folhas de práticas.

Breve revisão sobre os indicadores de localização e dispersão [slides 15-17, 19-22,25]. Introdução ao software R (abertura da sessão, descarga de ficheiros de dados, objectos, principais funções, vantagens da utilização do script). Criação de vectores, importação de dados, cálculo de tabelas de frequências e de alguns indicadores de localização e dispersão com recurso ao software. Exerc. 1.1 e 1.8a). TPC Exerc. 1.8b) e c).

Introdução à aplicação R no ambiente RStudio. Criação de scripts. Principais funcionalidades do R: atribuição, criação de vectores, operações aritméticas, utilização de algumas funções, geração de sequências com o operador : . Revisão de indicadores de localização (média, mediana, moda). Diferença entre ficheiros de dados (.RData) e scripts (.R). Exercício 1.1. TPC: calculo manual de indicadores de localização e dispersão para os dados do ex. 1.1. d).

Estatística Descritiva a duas dimensões: tabela de contingência e diagrama de dispersão.
Médias e variâncias marginais. As fórmulas de cálculo da variância. Cálculo destes indicadores para o exemplo do slide 36.
A covariância: definição e  interpretação. As fórmulas de cálculo da variância.
TPC:Deduzir as fórmulas de cálculo da variância e covariância.
Calcular todas as medidas dadas para o exemplo do slide 36. Resolver Ex 1.27 a) das folhas de práticas.

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO).  Exercícios: 1.10; 1.8a)b).

Introdução à aplicação R. Ambiente de trabalho; janelas: consola e script.  Exercício 1.1 (início).  

Introdução à aplicação R no ambiente RStudio. Criação de scripts. Principais funcionalidades do R: atribuição, criação de vectores, operações aritméticas, utilização de algumas funções, geração de sequências com o operador : . Revisão de indicadores de localização (média, mediana, moda). Diferença entre ficheiros de dados (.RData) e scripts (.R). Exercício 1.1. TPC: calculo manual de indicadores de localização e dispersão para os dados do ex. 1.1. d).

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO).  Exercícios: 1.10; 1.8a)b).

Introdução à aplicação R. Ambiente de trabalho; janelas: consola e script.  Exercício 1.1 (início).  

Introdução à aplicação R no ambiente RStudio. Criação de scripts. Principais funcionalidades do R: atribuição, criação de vectores, operações aritméticas, utilização de algumas funções, geração de sequências com o operador : . Revisão de indicadores de localização (média, mediana, quantis, moda) e dispersão (variância, desvio padrão, amplitude total, amplitude inter-quartil). A função mean e median do R. Exercício 1.1.

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO).  Exercícios: 1.10; 1.8a)b).

Introdução à aplicação R. Ambiente de trabalho; janelas: consola e script.  Exercício 1.1 (início).

Estatística Descritiva a duas dimensões: tabela de contingência e diagrama de dispersão.
Médias e variâncias marginais. As fórmulas de cálculo da variância. Cálculo destes indicadores para o exemplo do slide 36.
A covariância: definição e  interpretação. As fórmulas de cálculo da variância.
TPC:Deduzir as fórmulas de cálculo da variância e covariância.
Calcular todas as medidas dadas para o exemplo do slide 36. Resolver Ex 1.27 a) das folhas de práticas.

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO). População, unidade estatística, amostra, variável, dado estatístico. Natureza dos dados.

Revisão das propriedades dos somatórios.

Exercícios: 1.9; 1.7.

TPC: 1.8a),b); 1.10; 1.11.

Estátistica descritiva a uma dimensão: natureza das variáveis (e respectivos dados); organização dos dados em Tabelas de frequência. Exercícios 1.7, 1.8 a).

Revisão de somatórios. Exercício 1.9.

TPC: Exs. 1.9 b) d) e 1.19

Estatística descritiva a uma dimensão . Noções estatísticas: população, unidade estatística, amostra, variável, dado estatístico. Natureza dos dados. Construção da tabela de frequências, absoluta, relativa, acumulada - exercício 1 dos slides.  Exercícios 1.7, 1.9 e 1.10 (início).

TPC: 1.8 a) 1.10 (concluir ) e 1.11.

Apresentação. Objectivos,  programa e normas de avaliação da UC.
Estatística Descritiva a uma dimensão. 
Os conceitos de população, unidade estatística, amostra, variável e dado estatístico.  Dados de natureza qualitativa e quantitativa - discreta e contínua.  
Informações aos alunos: -- os assuntos tratados na Estatística descritiva a uma dimensão serão objecto de revisão efectuada apenas nas aulas práticas [slides 12-30]
TPC:. 1.7, 1.8 a) b), 1.9, 1.10, 1.11

Estatística descritiva a uma dimensão . Noções estatísticas: população, unidade estatística, amostra, variável, dado estatístico. Natureza dos dados. Construção da tabela de frequências, absoluta, relativa, acumulada - exercício 1 dos slides.

Exercícios 1.7, 1.9 e 1.10 (início).

TPC: 1.8 a) 1.10 (concluir ) e 1.11.

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO). População, unidade estatística, amostra, variável, dado estatístico. Natureza dos dados.

Revisão das propriedades dos somatórios.

Exercícios: 1.9; 1.7.

TPC: 1.8a),b); 1.10; 1.11.

Estatística descritiva a uma dimensão [slides 11 a 14]: natureza dos dados, tabela de frequências (revisão). Propriedades dos somatórios (revisão). Cálculo de alguns indicadores (média). Exerc. 1.7, 1.8 a), 1.9, 1.10. TPC: Exerc.1.19 e 1.15.

Apresentação. Objectivos,  programa e normas de avaliação da UC..
Estatística Descritiva a uma dimensão. 
Os conceitos de população, unidade estatística, amostra, variável e dado estatístico.  Dados de natureza qualitativa e quantitativa - discreta e contínua.  
Informações aos alunos: -- os assuntos tratados na Estatística descritiva a uma dimensão
serão objecto de revisão efectuada apenas nas aulas práticas [slides 12-30]
TPC:. 1.7, 1.8 a) b), 1.9, 1.10, 1.11

Estátistica descritiva a uma dimensão: natureza das variáveis (e respectivos dados); organização dos dados em Tabelas de frequência. Exercícios 1.7, 1.8 a).

Revisão de somatórios. Exercício 1.9.

TPC: Exs. 1.9 b) d) e 1.19

Estatística descritiva a uma dimensão (REVISÃO). População, unidade estatística, amostra, variável, dado estatístico. Natureza dos dados.

Revisão das propriedades dos somatórios.

Exercícios: 1.9; 1.7.

TPC: 1.8a),b); 1.10; 1.11.

Apresentação. Objectivos,  programa e normas de avaliação da UC..
Estatística Descritiva a uma dimensão. 
Os conceitos de população, unidade estatística, amostra, variável e dado estatístico.  Dados de natureza qualitativa e quantitativa - discreta e contínua.  
Informações aos alunos: -- os assuntos tratados na Estatística descritiva a uma dimensão
serão objecto de revisão efectuada apenas nas aulas práticas [slides 12-30]
TPC:. 1.7, 1.8 a) b), 1.9, 1.10, 1.11

Estatística descritiva a uma dimensão [slides 11 a 14]: natureza dos dados, tabela de frequências (revisão). Propriedades dos somatórios (revisão). Cálculo de alguns indicadores (média). Exerc. 1.7, 1.8 a), 1.9, 1.10. TPC: Exerc.1.19 e 1.15.

Estátistica descritiva a uma dimensão: natureza das variáveis (e respectivos dados); organização dos dados em Tabelas de frequência. Exercícios 1.7, 1.8 a).

Revisão de somatórios. Exercício 1.9.

TPC: Exs. 1.9 b) d) e 1.19