Conclusão da resolução do 2º teste 2015/16. Esclarecimento de dúvidas.

Esclarecimento de dúvidas para o 2º teste.

Revisões para o teste: resolução do segundo teste do ano lectivo anterior (27.5.16). Resolução de outros exercícios de testes e exames de anos anteriores, a pedido dos alunos.

Resolução de exercícios de revisão (2º teste de 2016). Correcção do TPC (exercício 7 da página 59). Esclarecimento de dúvidas.

Esclarecimento de dúvidas.

Resolução do 2º teste de 2015/2016.

Esclarecimento de dúvidas para o 2ª teste.

Conclusão da resolução do 2º teste 2015/16. Esclarecimento de dúvidas.

Revisões.

Resolução do 2º teste de 2015-16 e esclarecimento de dúvidas.

Resolução do teste de 27 Maio 2016 e esclarecimento de dúvidas.

Correcção dos trabalhos de casa. Integrais duplos: Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares.

Exercícios sobre volumes e áreas: Exerc. 4 - 6, 7, 8 e 9 (pg. 59). Exercícios suplementares (fenix): Exerc. 1c). Segundo teste de 2015/16: 5 e 6.

 Cálculo de volumes usando o integral duplo (conclusão da matéria para o 2ª teste). Resolução de exercícios de revisão.

Exercícios sobre volumes: Exerc. 4 - 6, 7 e 8 (pg. 59). Exercícios suplementares (fenix): Exerc. 1c), 4. Segundo teste de 2015/16: 5 e 6.

Aplicação do integral duplo no cálculo volumes e de áreas. Resolução de exemplos. Resolução de exercícios: 6 e 9 (pág. 59), 2, 3 e 6 dos exercícios suplementares de integrais duplos. TPC: exercícios 7 da página 59.

Esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios da matéria correspondente ao 2º teste.

Cálculo de volumes usando o integral duplo (conclusão da matéria para o 2ª teste). Resolução de exercícios de revisão.

Revisão TPC: Exercícios 4 (p.58) 5b), 6 (acabado), 7. Integrais duplos no cálculo de áreas de regiões do plano x0y. Exemplo 40 (p.57), Exercícios 4 (p.58) 9. Exercícios Suplementares de integrais duplos: 4, 5 (iniciado - acabar como TPC). Aviso: na última aula (de 30.5.17) será discutida a resolução do segundo teste de 2015-16, resolvidos exercícios suplementares de integrais duplos e esclarecidas dúvidas.

Correcção do TPC (exercícios 4: 5c), 9, 6, 7). TPC: Exercícios Suplementares de integrais duplos.

Integrais duplos, coordenadas polares. Exemplos e exercícios.

Exercícios sobre integral duplo: Exerc. 4 – 4d)e); 5b).
Mudança de variável para coordenadas polares. Exerc. 4- 5a) também em coordenadas polares.
Aplicação do integral duplo ao cálculo de volumes e de áreas. Exemplo.
TPC: Exerc. 4 – 6, 7, 8, 9. Exercícios adicionais 1c)e), 4, 7 e 8.

Algumas propriedades do integral duplo. Resolução de exercícios envolvendo a mudança de ordem de integral. Teorema de mudança de variável no integral duplo para coordenadas polares. Aplicação do integral duplo ao cálculo de áreas de domínios elementares.

Coordenadas polares: definição; as regiões do plano bem descritas por coordenadas polares. Mudança de variáveis para coordenadas polares em integrais duplos (p.49). Exemplo 37 (p.52). Exercícios 4 (p.58) 5a)c) (com mudança para coordenadas polares). Aplicação do integral duplo no cálculo de volumes (p.52). Exemplo 38 (p.53). Exercícios 4 (p.58) 6 (acabar em TPC). TPC: Exercícios 4 (p.58) 5b), 6 (acabar), 7, 8.

Correcção do TPC: exercício 4, pág. 38; exercício 2d), pág. 58. Integral duplo: mudança de variável para coordenadas polares. Resolução de exemplos. Resolução de exercícios (pág. 59): 5a) e 5c), com alínea extra de mudança de variável para coordenadas polares.

Resolução de exercícios de volumes de superfícies.

Correcção dos trabalhos de casa. Troca dos limites de integração. Cálculo de volume e áreas.

Algumas propriedades do integral duplo. Resolução de exercícios envolvendo a mudança de ordem de integração no integral duplo. Cálculo do integral duplo efectuanto uma mudança de variável para coordenadas polares. Aplicação do integral duplo ao cálculo de áreas de domínios elementares.

TPC: concluir a resolução dos exercícios 4.1, 4.2 (calcular o integral e mudar a ordem de integração), 4.3, 4.4 e 4.5 (pp. 58 e 59). Exercícios suplementares de integral duplo 1,2,3, e 6. 

Exercícios sobre integral duplo: Exerc. 4 – 4b)d)e); 5b).
Mudança de variável para coordenadas polares. Exerc. 4- 5a) também em coordenadas polares.
Aplicação do integral duplo ao cálculo de volumes e de áreas. Exemplo e Exerc. 4 – 9.
TPC: Exerc. 4 – 6, 7, 8. Exercícios adicionais 1c)e), 4, 7 e 8.

Correcção do TPC (exercícios 4: 3 e 4 a) c). Integral duplo: mudança de variável para cordenadas polares. Aplicações do integral duplo ao cálculo de volumes e de áreas. Exemplos.

TPC: Texto de apoio Funções de Várias Variáveis - exercícios 4 (pags. 58-59): 5, 6, 7, 8 e 9.

Integrais duplos, mudança da ordem de integração. Exemplos e exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Integrais duplos e sua interpretação geométrica. Cálculo de integrais duplos em regiões limitadas de R².

 

Integral duplo sobre domínios elementares: mais exemplos; Exerc. 4 – 2a)c)d)e); 4a)b) (pg. 58). Aplicação do integral duplo ao cálculo de áreas.
TPC: Exerc. 4 – 3; 4(concluir); 5a)b) (pg. 58, 59). Exercícios adicionais (fenix) 1b)d), 2, 3, 6.

Correcção do TPC: exercício 4d) de equações diferenciais (pág.19) e exercício 3 de extremos (pág. 38). Integrais duplos: domínios de integração elementares. Troca de ordem de integração. Resolução de exercícios (pág. 58): 1a), 1c), 1d), 2a), 2b). TPC: terminar exercício 2.

Correção do TPC. Extensão do integral duplo aos domínios elementares. Exemplos.

TPC: Concluir os exercícios 4.1, 4.2 e 4.4 (página 58).

Integral duplo sobre domínios elementares: mais exemplos; Exerc. 4 – 1d); 2a)c)d)e); 4a) (pg. 58). Aplicação do integral duplo ao cálculo de áreas.
TPC: Exerc. 4 – 3; 4(concluir); 5a)b) (pg. 58, 59). Exercícios adicionais (fenix) 1b)d), 2, 3, 6.

Mudança de variável para coordenadas polares.

Aplicação do integral duplo ao cálculo de volumes e de áreas planas.

Resolução de exercícios.

Ainda os integrais duplos: Exercícios 4 (p.58) 1a)d)c). Propriedades gerais do integral duplo (p.43 e aditividade em relação ao domínio). Integração dupla em regiões elementares: Definição 8 (p.44) de regiões elementares de tipo I e de tipo II; especificação dos extremos de integração; troca de ordem de integração. Exercícios 4 (p.58) 2a)c)d), 3, 4 a)b)e). TPC: Exercícios 4 (p.58) 1 b),  2b)e), 4 c)d).

Correcção do TPC (ex. 3. 2 e 4. 1. b)). Propriedades do integral duplo. Dominios elementares de tipo I e de tipo II (definição). Integrais duplos em domínios elementares. Troca da ordem de integração em domínios elementares. Exemplos e resolução do ex. 4. 2 d).

TPC: Texto de apoio Funções de Várias Variáveis ex. 4 (pags. 58-59) 2, 3, 4.

Correção de TPC e resolução de exercícios envolvendo a classificação de pontos críticos de uma função de duas variáveis em que critério da Hessiana não pode ser aplicado.

Cálculo integral de funções contínuas definidas em rectângulos: motivação, teorema de Fubini e exemplos. Extensão do integral duplo aos domínios elementares.

TPC: Concluir o grupo de exercício 3 com excepção do exercício 3.5 (página 38) e os exercícios 4.1, 4.2 e 4.4 (página 58).

Correção do TPC sobre Extremos: Exerc. 3 – 3, 4 (pg. 38).
Integral duplo sobre domínios retangulares [a,b]×[c,d]: definição, propriedades e exemplos. Exerc. 4 – 1a)c) (pg. 58).
Domínios elementares. Inversão da ordem de integração. Exemplo.
TPC: Exerc: 4 – 1b)d) e 2 (pg. 58).

Revisão dos TPC: Exercícios 3 (p.38) 1c)d). Ainda o cálculo de extremos, também por inspecção directa: Exercícios 3 (p.38) 1b)e). Integral duplo: conceito. O caso dos domínios de integração rectangulares [a,b] x [c,d]. Exemplo 28 (p.42). TPC: Exercícios 3 (p.38) 2, 3, 4.

Resolução de exercícios sobre a classificação de pontos críticos de funções de duas variáveis.

Integrais duplos em rectângulos: motivação, teorema de Fubini e exemplos.

TPC: Da página 38, concluir as alíneas do exercício 3.1 e resolver os exercícios 3.2 e 3.4  e da página 58 os exercícios 4.1 e 4.2.

Correcção do TPC: alínea f) dos exercícios adicionais de equações diferenciais; exercício 5 dos exercícios adicionais sobre domínio, gráfico e conjuntos de nível. Extremos de funções de várias variáveis. Conclusão do exercício 1e) e resolução do exercício 2 da pág. 38. O integral duplo: conceito, domínios de integração rectangulares, propriedades e exemplo.

Cap. 2: Integrais duplos. Definição de: integral duplo de f em D; domínio elementar. Propriedades do integral duplo.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC sobre Extremos: Exerc. 3 – 3, 4 (pg. 38).
Integral duplo sobre domínios retangulares [a,b]×[c,d]: definição, propriedades e exemplos. Exerc. 4 – 1a)c) (pg. 58).
Domínios elementares. Inversão da ordem de integração. Exemplo.
TPC: Exerc: 4 – 1b)d) e 2 (pg. 58).

Extremos livres: noções de ponto crítico, extremo local e ponto sela. Critério da Hessiana para classificação dos pontos críticos de uma função de duas variáveis.

TPC: concluir o grupo de exercícios 2 (páginas 27 e 28) e resolver os exercícios 3.1 (b), (c), (d) e (e), com excepção da classificação dos pontos em que o critério da Hessiana é inconclusivo.

Correcção do TPC (Exercícios 3. 12 e 3-4 (extremos livres). Integrais duplos em domínios rectangulares: definição, troca da ordem de integração e exemplos.

TPC: Texto de apoio Funções de Várias Variáveis ex. 4 (pag. 58) 1.

Correcção dos trabalhos de casa. Exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Extremos relativos. Critério da matriz Hessiana para funções com duas variáveis. Nota: esta aula não foi dada neste horário por causa da tolerância de ponto decretada pelo Governo, mas no início da semana seguinte.

Exercícios sobre extremos locais: Exerc. 3 – 1a)b)c)e); 2.
TPC: Exerc. 3 - 3, 4. (pg.38).

Correcção do TPC: exercício de equações diferenciais (alínea g) dos exercícios adicionais; exercício sobre domínio (1f) da página 16), exercício sobre plano tangente (4c) da pág. 28). Resolução de exercícios sobre Extremos de funções de duas variáveis: 1b), 1c) e 1e) da página 38. TPC: terminar exercício 1.

Correção do TPC. Extremos livres de funções de 2 variáveis: noções de ponto crítico, extremo local e ponto sela. Classificação dos pontos críticos de uma função recorrendo ao critério da matriz Hessiana. Exemplos.

TPC: concluir o grupo de exercícios 2 das páginas 27 e 28. Exercício 3.1 da página 38.

Exercícios sobre extremos locais: Exerc. 3 – 1a)b)d)e); 2.
TPC: Exerc. 3 - 3, 4. (pg.38).

Definição de ponto crítico (ou de estacionaridade).

Extremos livres: máximo e mínimo. Critério da matriz Hessiana para a classificação de extremos.

Resolução de exercícios.

Plano tangente (p.21): conceito, equação e condições de existência. Exercícios 2 (p.28) 4a)c). Definição 3 (p.26): vector gradiente e matriz Jacobiana. Derivadas de ordem superior: conceito, convenções, discussão de propriedades (domínios, igualdade de derivadas mistas). Definição 4 (p.27): matriz Hessiana. Exercícios 2 (p.28) 5b). Extremos livres. Definição 5 (p.29) - máximos/mínimos locais/globais. Revisão dos critérios de identificação de extremos em funções duma só variável. Condição necessária para a existência de extremos em funções (bem comportadas) de duas variáveis. Definição 6 (p.31): pontos críticos. Definição 7 (p.32): pontos de sela.  Critério da matriz Hessiana para a classificação de pontos críticos (p.32). Exercícios 3 (p.38) 1a).

Correção do TPC. Vetor gradiente e matriz Jacobiana de uma função. Derivadas parciais de ordem superior. Função de classe C^k e o Teorema de Schwarz. Dedução da equação do plano tangente ao gráfico de uma função (de classe C¹ no seu domínio).

TPC: concluir o grupo de exercícios 2 das páginas 27 e 28.

Correcção do TPC (exercícios 2: 5 b, c). Definição de matriz Jacobiana, vector gradiente e matriz Hessiana. Extremos livres de funções de 2 variáveis. Definição de extremo, ponto critico e ponto de sela. Critério da Hessiana. Resolução de exercícios.

TPC: Texto de apoio Funções de Várias Variáveis ex. 3 (pag. 38) 1, 2, 3 e 4.

Extremos livres de funções de duas variáveis. Exercícios.

Correção do TPC sobre derivadas parciais e plano tangente (pg. 27/28): Exerc. 2 – 1f)g); 4c).
Derivadas parciais de ordem superior a 1. Vetor gradiente, matriz Jacobiana e matriz Hessiana. Exemplo.
Extremos locais de funções de duas variáveis. Pontos críticos e critério da Hessiana. Exemplos.
TPC: Exerc. 2 – 5 (pg. 28). Exerc. 3 – 1 a)c)d) (pg. 38)

Pano tangente ao gráfico de f(x,y) no ponto (a,b,f(a,b)).

Matriz Jacobiana e vetor gradiente de f(x,y) em (a,b).

Derivadas parciais de ordem superior a 1. Matriz Hessiana de f(x,y) em (a,b).

Resolução de exercícios (pgs. 27-28).

Revisão TPC: Exercícios 1 (p.16) 4a). Superfícies Quádricas: discussão da tabela das formas canónicas (Apêndice B, p.65) e duas generalizações simples (troca de eixos e translação da origem). Exercícios 1 (p.16) 5c). Derivadas parciais: definição e interpretação. Exercícios 2 (p.27) 1a)b)g) (inc), 2, 3. TPC: Exercícios 1 (p.16) 5b). Exercícios 2 (p.27) 1c)d)e)f) +  acabar g).

Correção do TPC. Noções de vetor gradiente e matriz Jacobiana. Derivadas parciais de ordem superior e matriz Hessiana. Função de classe C^k e Teorema de Schwarz. Plano tangente ao gráfico de uma função de C¹.

TPC: Concluir o grupo de exercícios 2 (páginas 27 e 28) e os exercícios adicionais sobre domínio e conjunto de nível que se encontram no Fénix.

Correcção do TPC: exercício de equações diferenciais (alínea c) dos exercícios adicionais; exercícios sobre domínio e conjuntos de nível (1c), 5b), 6a) das páginas 16 e 17). Resolução de exercício sobre plano tangente: 4a), pág. 28. Derivadas parciais de ordem superior. Vector gradiente, matriz Jacobiana e matriz Hessiana. Resolução do exercício 5b), pág. 28. Extremos de funções de várias variáveis: definição de extremos, de ponto critico e de ponto de sela. Critério da matriz Hessiana para a classificação de extremos.

Correção do TPC sobre derivadas parciais e plano tangente (pg. 27/28): Exerc. 2 – 1f)g); 2; 4c).
Derivadas parciais de ordem superior a 1. Vetor gradiente, matriz Jacobiana e matriz Hessiana. Exemplo.
Extremos locais de funções de duas variáveis. Pontos críticos e critério da Hessiana. Exemplos.
TPC: Exerc. 2 – 5 (pg. 28). Exerc. 3 – 1 a)c)d) (pg. 38)

Correcção do TPC (ex. 1.3(g) a), 1.5.c), ex. 2.1. f). Plano tangente ao gráfico duma função de duas variáveis. Exemplos. Derivadas parciais de ordem superior. Exemplos.

TPC: Exercícios 2 (pag. 28) 4. e 5.

Correção do TPC sobre conjuntos de nível, gráfico e contra-domínio. Conceito e interpretação geométrica de derivada parcial. 

TPC: concluir os exercícios 1.1, 1.2, 1.3 e 1.4 (páginas 16 e 17), exercícios 2.1, 2.2 e 2.3 (páginas 27 e 28) e todos os exercícios adicionais sobre domínio e conjunto de nível que estão no Fénix.

Correcção dos trabalhos de casa. Funcões com duas e três variáveis. Plano tangente. Derivadas parciais de ordem 2. Matriz Hessiana. Vector gradiente.

Extremos livres de funções de duas variáveis. Exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Funcões com duas e três variáveis. Derivadas parciais.

Correção do TPC:  Exerc. 1 – 2a)b)g); 3 para g); 4b), 6a)c) sobre domínio, conjunto de nível e gráfico (pg. 16/17).
Derivadas Parciais. Exerc. 2 – 3 e 1a) (pg.28).
Plano tangente. Exerc. 2 – 4a) (pg. 28)
TPC: Exerc. 2 – 1, 2, 4 (concluir)

Correção do TPC:  Exerc. 1 – 2a)b)e)g); 3 para g); 4b), 6a)c) sobre domínio, conjunto de nível e gráfico (pg. 16/17).
Derivadas Parciais. Exerc. 2 – 3 e 1a) (pg.28).
Plano tangente. Exerc. 2 – 4a) (pg. 28)
TPC: Exerc. 2 – 1, 2, 4 (concluir)

Correcção do TPC: exercício de equações diferenciais (alínea b) dos exercícios adicionais; exercícios sobre domínio e conjuntos de nível (1e), 2a), 5c) das páginas 16 e 17). Derivadas parciais de 1ª ordem: definição e interpretação geométrica. Exemplos. Resolução dos exercícios 1c), 2 e 3 (páginas 27 e 28). Plano tangente. TPC: exercício 1 da pág. 27.

Resolução de exercícios (domínios, conjuntos de nível e gráficos de funções reais com 2 ou mais variáveis).

Derivadas parciais de f(x,y): definição e interpretação. 

Resolução de exercícios (pgs. 27-28) .

Correção do TPC. Resolução de exercícios envolvendo funções reais de 3 variáveis.

Derivadas parciais: definição e interpretação geométrica. Exemplos.

TPC: concluir todos os exercícios do grupo 1 (páginas 16 e 17) e exercícios 2.1 página 27.

Revisão TPC: Exercícios 1 (p.16) 2a)d), 3a)d). Ainda conjuntos de nível de funções de várias variáveis: Exercícios 1 (p.16) 2g), 3g), 5a), 6b)c). Quadro-resumo de domínios, conjuntos de nível e gráficos de funções de 1, 2 e 3 variáveis. Revisão das curvas cónicas (Apêndice A, p.61). TPC: Exrcícios 1 (p.16) 4a), 6a)d).

Correção do TPC sobre domínios. Breve resumo sobre cónicas. Resolução de exercícios sobre conjunto de nível, contradomínio e gráfico de uma função.

TPC: Concluir o grupo de exercícios 1 até ao 1.4 (páginas 16 e 17).

Correcção do TPC (exercício 1. 1.g), 2. e 6.). Funções reais de várias variáveis: contradomínio e derivadas parciais. Exemplos.

TPC: Exercícios 2 (pag. 27-28) 1, 2, 3.

Matriz Jacobiana e Hessiana. Exercícios.

Extremos livres de funções de duas variáveis: definição, pontos críticos, e critério da matriz Hessiana. Exemplos.

Correção do TPC: Exerc. 1 - 1 sobre domínio de funções de 2 variáveis.
Gráfico, conjunto de nível e contradomínio de funções de 2 e de 3 variáveis. Exemplos.
TPC: Exerc. 1 - 2 (conclusão), 3, 4, 5 e 6 (pg. 16 e 17). Exercícios adicionais do fenix sobre domínio e conjuntos de nível.

Correcção do TPC: exercício de equações diferenciais (alínea a) dos exercícios adicionais. Funções de várias variáveis: gráfico e conjuntos de nível. Exemplos. Revisão de cónicas e quádricas Resolução de exercícios (pag.16 e 17): 2e), 2f), 2g), 3, 4a). TPC: concluir exercícios 2 e 4.

Revisão TPC EDs: Exercícios 1.5 (p.19) 7, 10. Funções de várias variáveis: ainda os gráficos. Exemplo 7 (p.7). Conjuntos de nível: Definição 2 (p-8). Exercícios 1 (p.16) 2e)b)a), 4b). TPC: Exercícios 1 (p.16) 2c)d)f) + 3 das mesmas alíneas).

Revisão de curvas em R² (cónicas). Superfícies em R³ (quádricas).

Resolução de exercícios (Pgs. 16 e 17).

Correção do TPC. Breve resumo sobre cónicas. Resolução de exercícios sobre domínio, conjunto do nível, contradomínio e gráfico. 

TPC: Exercício 1.1 (página 16)

Correcção dos trabalhos de casa. Funcões com duas e três variáveis. Conjunto de nível, gráfico de uma função e contradomínio.

Correção do TPC: Exerc 8 e 11 (pg. 21 e 22).
Modelo Malthusiano vs modelo logístico. Exerc. 13.
Funções de várias variáveis. Domínio. Exemplos. Exerc. 1 - 1a)b)
TPC: Conclusão dos Exerc. 1 - 1 de Funções de várias variáveis (pg. 16).

Modelo Malthusiano vs. modelo logístico. 

Parte 3. TÓPICOS DE CÁLCULO PARA FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS.

Cap.1. Tópicos de Cálculo Diferencial:  Domínio, curva de nível e gráfico de uma função real de duas variáveia reais.

Resolução de exercícios.

TPC: Exercícios da folha suplementar (domínio e conjunto de nível). 

Resolução de exercícios sobre equações diferenciais (1.5): 10b), 11 e 13. Funções de várias variáveis. Domínio. Exemplos e resolução de exercícios da pág. 16: 1a), b). TPC: terminar exercício 1.

Correção do TPC: Exerc. 1 - 1 sobre domínio de funções de 2 variáveis.
Gráfico, conjunto de nível e contradomínio de funções de 2 e de 3 variáveis. Exemplos.
TPC: Exerc. 1 - 2 (conclusão), 3, 4, 5 e 6 (pg. 16 e 17). Exercícios adicionais do fenix sobre domínio e conjuntos de nível.

Correção do TPC. Dinâmicas populacionais: modelos de Malthus (exponencial) e Verhulst (logístico).

Elementos para o estudo de funções de várias variáveis: domínio. conjunto de nível, contra-domínio e gráfico.

TPC: concluir todos os exercícios de equações diferenciais até ao exercício 14 a) (inclusivé) + exercícios adicionais sobre PVI.

Funções reais de várias variáveis: conjunto de nível k. Resolução de exercícios: 1 - 2 a) b) c) d) f).

TPC: Texto de apoio Funções de Várias Variáveis: ler secção sobre curvas em R2 e superfícies em R3 (pags. 12-14) e Apêndices A e B (pags.61-67); resolver ex. 1 - 2 e) g), 3 a 6 (pag. 16-17); resolver ex. adicionais sobre domínios e conjuntos de nível.

Correção do TPC. Dinâmicas populacionais: modelo de Malthus (exponencial)  e de Verhulst (logístico).

Elementos para o estudo de funções de várias variáveis: domínio, conjunto de nível, contradomínio e gráfico.

TPC: concluir todos os exercícios de equações diferenciais até ao exercício 14 a) (inclusivé) + exercícios adicionais sobre PVI

Derivadas parciais e interpretação geométrica. Exercícios.

Plano tangente. Exercícios.

Correção do TPC: texto de apoio exs. 4 b)c)f)g), 5 a)b).
Funções reais de várias variáveis: introdução, domínio e gráfico de funções de duas variáveis. Exemplos. TPC: exercícios adicionais de problemas de valor inicial; Texto de apoio Funções de Várias Variáveis (pag. 16) ex. 1 - 1.

Correção do TPC: Exerc 8 e 11 (pg. 21 e 22).
Modelo Malthusiano vs modelo logístico. Exerc. 13.
Funções de várias variáveis. Domínio. Exemplos.
TPC: Exerc. 1-1 de Funções de várias variáveis (pg. 16).

Correcção dos trabalhos de casa. Funções com duas e três variáveis. Domínio.

Correção do TPC e resolução de exercícios sobre equações diferenciais.

TPC: concluir todos os exercícios de equações diferenciais até ao exercício 12 e os exercícios de PVI adicionais.

Funções de várias variáveis: domínio, gráfico, e conjuntos de nível. Exemplos e exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Equações diferenciais ordinárias de ordem 1 com variáveis separáveis.

Resolução de exercícios de equações diferenciais lineares de 1ª ordem e com variáveis separáveis: Exerc. 4a)d)e)h), 5b), 6.
TPC: Exerc. 8 e 11 (pg.21 e 22). Excercícios adicionais sobre PVI no fenix.

Resolução de exercícios de equações diferenciais lineares de 1ª ordem e com variáveis separáveis: Exerc. 4a)d)e)h), 5b), 6.
TPC: Exerc. 8 e 11 (pg.21 e 22). Excercícios adicionais sobre PVI no fenix.

Correção do TPC. Resolução de problemas de valores iniciais e de problemas de aplicação que  envolvem a formulação e resolução de equações diferenciais (exercícios 8 e 11)

TPC: Concluir os exercícios 3, 4 e 5, e  resolver os problemas de aplicação 6, 7 e 9.

 

Revisões sobre equações diferenciais. Resolução de exercícios (1.5): 4a), 4b), 4h), 5a) e 10. TPC: concluir exercícios 4, 5 e 10 e fazer exercício 11.

Equações Diferenciais: Problemas de valores iniciais.

Resolução de exercícios.

Equações Diferenciais com variáveis separáveis: definição e discussão das soluções. Exemplo 8 (p.9), Exercícios 1.5 (p.19) 4a)b)c)e), 5a). Problemas de aplicação: os modelos de cresimento populacional exponencial e logístico (p.12). TPC: Exercícios 1.5 (p.19) 3a)d)e), 4f)h), 8, 9, 14a).

 

Resolução de equações diferenciais de primeira ordem lineares e com variáveis separáveis. Resolução de um problema de aplicação que  envolve a formulação e resolução de equações diferenciais (exercício 8).

TPC:  Exercício 2, concluir os exercícios 3 e 4, e resolver os problemas de aplicação 6 , 7, 9 e 11.

Exemplos de aplicação de eq. diferenciais: decaimento radioactivo, modelo de von Bertalanffy, arrefecimento de um objecto aquecido, dinâmica populacional (modelos Malthusiano e logístico). Resolução dos exs. 6 e 7. TPC: exs. 4 e) a i), 5, 8 a 15 (texto de apoio, pg. 19 a 24)  Exercícios complementares.

Exemplos de fenómenos modelados por equações diferenciais, formulação e resolução: exercícios 7, 8 (decaimento radiativo), e 13 (equação de Malthus e equação logística).

Resolução do 1º teste de 2015/16. Esclarecimento de dúvidas.

TPC para depois do teste: Exercícios 4, 5 e 6 (pg. 19/ 20). Exercícios adicionais (PVI) do fenix.

Revisões para o teste: resolução do primeiro teste do ano anterior (8.4.16); Exercícios 20 (p.79) 10.

Exercícios de revisão de: limites, Fórmula de Taylor.

Esclarecimento de dúvidas. Revisões para o teste: exercício 20 (texto de apoio, pg. 79) 1 a)c), 2 a)c)d), 4; resolução do primeiro teste do ano passado.

Resolução do teste de 8 Abril 2016 e esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios.

Revisões para o teste: exercício 20 (texto de apoio, pg. 79) 1 a)c), 2 a) c)d), 4; resolução do primeiro teste do ano passado.

Equações diferenciais: ainda a formulação de problemas, solução de uma equação diferencial e resolução de alguns exercícios. Resolução de exercícios de revisão. 

TPF: Concluir todos os exercícios da 1ª parte da matéria, isto é, até ao exercício 20 (pág. 79), com excepção dos exercícios 18 (pág. 75) e 19 (pág. 78). Exercícios adicionais e 1º teste de 2015-16 (Material de apoio no Fénix)

AULA DÚVIDAS: dia 19/4 (4ª feira), a partir das 8h30 na sala S2.

Revisões.

Resolução do teste de 8 Abril 2016 e esclarecimento de dúvidas.

Correcção dos trabalhos de casa. Equações diferenciais ordinárias de ordem 1 lineares.

Correção do TPC: Exerc. 1a), 2 e 3a)b)c) (sobre eq. lin. 1ª ordem).
Equações com variáveis separáveis. Exemplos. Exerc. 4b)
TPC para depois das férias: Exercícios 4, 5 e 6 (pg. 19/ 20). Exercícios adicionais (PVI) do fenix.
TPC para a próxima aula:Exerc. 20 - exceto 7 e 13c) (pg. 79 a 82).
Resolver o teste de 2015-16 (Material de Apoio no fenix).

Resolução de exercícios de equações diferenciais (1.5, pág.19): 3e) e 3 f). Equações diferenciais com variáveis separáveis: método de resolução e exemplos. TPC: exercícios 3 e 4.

Correção do TPC: Exerc. 1a), 2 e 3a)b)c) (sobre eq. lin. 1ª ordem).
Equações com variáveis separáveis. Exemplos. Exerc. 4b)
TPC para depois das férias: Exercícios 4, 5 e 6 (pg. 19/ 20). Exercícios adicionais (PVI) do fenix.
TPC para a próxima aula:Exerc. 20 - exceto 7 e 13c) (pg. 79 a 82).
Resolver o teste de 2015-16 (Material de Apoio no fenix).

Correção do TPC. Resolução de equações com variáveis separáveis.

EDO de variáveis separáveis: definição e método de resolução.

Resolução de exercícios.

Exercícios de revisão de: integral indefinido, integral impróprio, área de regiões planas.

Revisão TPC: Exercícios 20 (p.79) 1c)d), Exercícios 15 (demonstração do primeiro caso dos integrais de Dirichlet). Equações Diferenciais: conceitos, definição e notação. Dois exemplos (Exmplos 1 e 2, p.4): interpretação e resolução. Exercícios 1.5 (p.19) 1a)c). Soluções analíticas e soluções numéricas. As EDs lineares de primeira ordem: forma canónica, factor integrante e técnica de resolução. Exemplo 6 (p.8). Exercícios 1.5 (p.19) 3b)c)f).

Equações diferenciais lineares de 1ª ordem: sistematização das etapas de resolução e aplicação a alguns exercícios (ex. 1c), 2, 3a)c)). Eq. diferenciais com variáveis separáveis: método de resolução e exemplos. TPC: terminar exs. 1 e 3 e ex. 4 a) a d) (texto de apoio, pg.19).

Correção do TPC. Equações diferenciais: motivação e formulação de problemas.

 

Correção do TPC: Exerc. 16 - 1, 2 e 5 (pg. 75).
Equações diferenciais: introdução, exemplos. Exerc. 1c) (pg. 19)
Resolução de equações lineares de 1ª ordem. Exemplo.
TPC: Exercícios 1a)b), 2 e 3 (pg. 19).

Revisão TPC: Exercícios 14 (p.70) 6, Exercícios 20 (p.79) 2d), Exercícios 16 (p.75) 4, 8. Ainda os integrais impróprios: Exercícios 16 (p.75) 5; integrais duplamente impróprios; Exercícios 16 (p.75) 7,9; Exercícios 17 (p.75); Proposição 3.11 (p.73). TPC: Exercícios 20 (p.79) 1c)d), 3,6,8 e Exercícios 15 (p.74).

Equações diferenciais: introdução e exemplos. As equações lineares de 1ª ordem: método de resolução e exemplos. Resolução de exercícios (1.5): ex. 2 e 3a). TPC: Ex. 1.

Correção do TPC. Equações diferenciais. Motivação, terminologia e formulação de problemas. Resolução de equações diferenciais lineares de 1ª ordem pelo método do factor integrante.

TPC: Exercícios 1 e 3 das folhas equações diferenciais.

Integral Impróprio: a) em intervalo não limitado; b) de função não limitadas num dos extremos. Natureza do integral Impróprio.

Resolução de exercícios.

Parte 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS.

Definição e ordem de uma equação diferencial; solução geral. Definição de:  equação diferencial ordinária (EDO) e equação diferencial às derivadas parciais.

EDO linear de 1ª ordem: definição; resolver pelo método do fator integrante.

Resolução de exercícios. 

Correção do TPC: Exerc. 16 - 1, 2 e 5 (pg. 75).
Equações diferenciais: introdução, exemplos. Exerc. 1c) (pg. 19)
Resolução de equações lineares de 1ª ordem. Exemplo.
TPC: Exercícios 1a)b), 2 e 3 (pg. 19).

Correção do TPC. Integrais impróprios (fim da matéria para o 1º teste).

TPC: exercícios 16, 17 (ambos pág. 75) e 20 (pág. 79)

Equações diferenciais: introdução e exemplos de motivação (decaímento exponencial, modelo de von Bertalanfly, modelo Malthusiano e 2ª lei de Newton). Definições e principais tipos de eq. diferenciais. Equações lineares de 1ª ordem: método de resolução e exemplos.

Correcção dos trabalhos de casa. Equações diferenciais: Introdução.

Correcção dos trabalhos de casa. Propriedades do integral indefinido. Integrais impróprios.

Correção do TPC: Exerc. 14 (pg. 70).
Integral impróprio – definição e exemplos.
Nota: Não é lecionada a matéria a partir da pág. 76.
TPC:  Exerc. 16, 17 (pg. 75); Exerc. 20 - exceto 7 e 13c) (pg. 79 a 82).
Resolver o teste de 2015-16 (Material de Apoio no fenix).

Integral impróprio. Resolução de exercícios.

Correcção do TPC (ex. 14). Integral impróprio: definição, os diferentes tipos e exemplos. Integrais duplamente impróprios. Resolução do ex. 16.1. TPC: ex. 16, 17 e 20 (texto de apoio, pags. 75 e 79-82).

Correção TPC.

Resolução de exercícios de Cálculo Integral.

Integrais impróprios em ]-∞,+∞[. Exemplos e exercícios.

Integrais impróprios em ]a,b[. Exemplos e exercícios.

Revisão TPC: Exercícios 20 (p-79) 1a), 2a). Propriedades do Integral Indefinido (p. 68,69): Proposições 3.7, 3.8, 3.9 e 3.10. Exercícios 14 (p.70) 4, 5. Integrais impróprios: conceito e os dois tipos básicos de integrais impróprios; definição. Exemplos 34 (p.72) 1, 2, 3. Exercícios 16 (p.75) 1,3. TPC: Exercícios 14 (p.70) 6. Exercícios 20 (p.79) 2d), 5, 10. Exercícios 16 (p.75) 2,4,6,8.

Correção do TPC. Integral indefinido.

TPC: Concluir o exercício 14 (pág. 69)

Correcção do TPC (ex. 14). Integral impróprio: definição, os diferentes tipos e exemplos. Integrais duplamente impróprios. TPC: ex. 16, 17 e 20 (texto de apoio, pags. 75 e 79-82).

Integrais impróprios em ]-∞,+∞[. Exemplos e exercícios.

Integrais impróprios em ]a,b[. Exemplos e exercícios.

Correção do TPC: Exerc. 11 – 12; Exerc. 12 – 1d)e)f).
Integral indefinido: definição, propriedades e exemplos. Exerc. 14 – 1, 2 (pg. 70).
TPC: Concluir Exerc. 14 (pg. 70); Exerc. 20 – 1, 2, 3, 6 (pg. 79).
        Resolver o teste de 2015-16 (Material de Apoio no fenix)

Revisão TPC: Exercícios 11 (p.56) 10. Ainda o cálculo de áreas: Exercícios 12 (p.60) 1c)d)f) + Exercício extra (área da região definida por y>x, y<4x, y<1/x, x>0). O Integral indefinido: definição, conceito e observações. Exemplos 32 (p.66) 1, 2. Exercícios 14 (p.70) 1, 3.

Avisos: (i) a inscrição para os testes é obrigatória, via Fénix, e entre 30/3 e 17/4; (ii) não sai a matéria da secção "Outras aplicações" (p. 60-65) e dos critérios de convergência de integrais impróprios (p.76-79 até Exercícios 20, e Exercícios 20.7 e 20.13c).

Correcção do TPC. Integral indefinido: definição e propriedades (monotonia, continuidade e derivabilidade). Resolução de exercícios (ex.14.1). TPC: terminar ex. 14 (texto de apoio pag. 70).

Correção TPC.

Integral definido: cálculo de áreas planas.

Integral indefinido: definição e propriedades.

Resolução de exercícios. 

Exercícios: cálculo de áreas de regiões delimitadas pelo gráfico de funções.

Integral indefinido: definição e propriedades. Exemplos e exercícios.

Integral indefinido. Definição e propriedades. Resolução de exercícios.

Correção do TPC. Aplicações do cálculo integral: cálculo de áreas.

TPC: Concluir os exercícios 11 (pág. 56) e 12 (pág. 60)

Correcção do TPC. Integral indefinido: definição e propriedades (monotonia, continuidade e derivabilidade). Resolução de exercícios. TPC: ex. 14 (texto de apoio pag. 70).

Correcção dos trabalhos de casa. Integral indefinido e integral impróprio de [a,+∞[

Exercícios: cálculo de áreas de regiões delimitadas pelo gráfico de funções.

Integral indefinido: definição e propriedades. Exemplos e exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Propriedade dos integrais definidos. Fórmula fundamental do Cálculo Integral. Cálculo de áreas. Integração de funções definidas por ramos. Integração por substituição.

Correção do TPC: Exerc. 11 (pg 56) sobre integral definido.
Integração por substituição. Exemplos.
Áreas de regiões definidas pelos gráficos de duas funções. Exemplo. Exerc. 12 – 1a)b) (pg. 60).
TPC: Exerc. 11 – 12 (pg 56); concluir Exerc. 12 – 1, 2 e 3 (pg. 60).

Integração por partes e por substituição. Cálculo de áreas de regiões planas. Resolução de exercícios.

Motivação do integral definido.

Teorema da média e teorema fundamental do cálculo integral.

Cálculo de áreas de regiões delimitadas pelo gráfico de funções.

Correcção do TPC. Integração por substituição. Resolução de exercícios. Aplicações do cáculo integral: cálculo de áreas. Resolução de exercícios (ex. 12 1. b)). TPC: exs. 11 e 12 (texto de apoio, pags. 56, 60).

Correção TPC.

Integral definido: propriedades (conclusão).

Resolução de exercícios.

TPC (Folha adicional de Primitivas): 2.34; 2.39; 2.43; 2.44; 3.

A fórmula fundamental do cálculo integral (Teorema 3.5, p.54). Exemplos 25 (p.54) 3,4,6 e Exercícos 11 (p.56) 4,5,6,8. A integração por partes e a integração por substituição (Proposição 3.6). Exercícios 11 (p.56) 7, 9, 12. O cálculo de áreas de regiões do plano balizadas pelos gráficos de duas funções (p.57-59). Exercícios 12 (p.60) 1 a)b). TPC: Exemplos 25 (p.54) 1,2,5 e Exercícios 11 (p.56) 1,2,3,10,11.

Correção do TPC. Noção de integral definido e algumas propriedades. Teorema fundamental do cálculo integral. Integração por substituição.

TPC: Exercício 11 (pág. 56)

Motivação do integral definido.

Teorema da média e teorema fundamental do cálculo integral.

Cálculo de áreas de regiões delimitadas pelo gráfico de funções.

Correcção do TPC. Integração por substituição. Resolução de exercícios. Aplicações do cáculo integral: cálculo de áreas. Resolução de exercícios (ex. 12 1. b) d)). TPC: exs. 11 e 12 (texto de apoio, pags. 56, 60).

Integral definido: introdução, propriedades, teorema da média e fórmula fundamental do cálculo integral. Resolução de exercícios (exemplos 25 e ex. 11: 1 a 5). TPC: ex. 11: 6 a 12 (texto de apoio, pag. 56).

Revisão TPC: Exercícios 10 (p.42) 2 s)t)u)v)II). Ainda as primitivas de funções racionais: Exercícios 9 (p.40) 4 + exercício extra: P[(x-3)/(x^3+x)]. Capítulo 3: Cálculo Integral. O conceito: discussão e terminologia. Exemplo 24 (p.49). Propriedades do integral definido: Proposição 3.1 (p.49); Proposição 3.2 (p.50); Convenções (p.51); Proposição 3.3 (p.50).

Correcção do TPC. Integral definido: introdução (partição de um intervalo, norma de uma partição, somas de Riemann, definição de integral de Riemann). Fórmula fundamental do cálculo integral. TPC: exercícios adicionais de primitivas.

Revisão das propriedades da primitiva. Exemplos e exercícios.

Integral definido e fórmula de Barrow. Cálculo de integrais.

Correção TPC.

Cap. 3. Cálculo Integral. Integral Definido: definição e propriedades.

TPC: Primitivas da folha extra.

Introdução ao cálculo integral. Integral definido. Propriedades. Teorema da média. Fórmula fundamental do cálculo integral. Resolução de exercícios.

Correção do TPC. Primitivação de funções racionais (conclusão). Problemas de valores iniciais.

TPC: Concluir todos os exercícios sobre primitivas até ao exercício 10.3 (página 42) e fazer os exercícios adicionais sobre primitivas (secção material de apoio na página web da UC).

Correcção do TPC. Integral definido: introdução (partição de um intervalo, norma de uma partição, somas de Riemann, definição de integral de Riemann). Fórmula fundamental do cálculo integral. TPC: exercícios adicionais de primitivas.

Correcção dos trabalhos de casa. Família das primitivas de uma função. Conclusão da primitivação. Introdução ao Cálculo Integral.

Revisão das propriedades da primitiva. Exemplos e exercícios.

Integral definido e fórmula de Barrow. Cálculo de integrais.

Correcção dos trabalhos de casa. Primitivação de funções racionais. Primitivação por substituição.

Primitivação de funções racionais (continuação).
Correção do TPC: exercícios sobre primitivação. Exerc. 9 (pg. 40); Exerc. 10 – 2 II a VI (pg. 42).
TPC: Concluir os exercícios sobre primitivas, incluindo os exercícios adicionais do fenix.

Correção do TPC.

Método de primitivação por substituição (pgs. 35 e 36). Resolução de Exercícios 8 (pg. 36).

TPC: Exercício 10.2 (pg. 42):  II), V) VI), VII).

Primitivação por substituição. Resolução de exercícios.

Correcção do TPC. Esquema do método de primitivação de funções racionais. Resolução de exercícios de primitivação. TPC: ex. 9 (texto de apoio, pag. 40) e terminar ex. 10 (texto de apoio, pag. 42-43).

Primitivação de funções racionais. Exemplos e exercícios.

Revisão TPC: Exercícios 10 (p.42) 2a)b)c)m)o)q). A primitivação por substituição: Proposição 2.6 (p.35), Exemplos 18 (p.35) 2, Exercícios 8 (p.36) 1,2,3,4,5 (como primitiva imediata). A primitivação de funções racionais: funções racionais próprias e impróprias, e a decomposição destas últimas na soma de polinómios mais funções racionais próprias (Teorema 2.7 + Exemplo 19, p.36); a decomposição para primitivar funções racionais próprias: Teorema 2.8 (p.38) e Exercícios 9 (p.40) 1,2,3. TPC: Exercícios 10 (p.42) acabar as alíneas ainda não resolvidas do Ex.2 + Ex.5.

Correção do TPC. Decomposição de uma função racional imprópria como soma de um polinómio com uma função racional própria. Decomposição de funções racionais próprias quando o denominador apenas possui raízes reais (simples e/ou múltiplas) pelo método dos coeficientes indeterminados.

TPC: exercício 8 (página 36), 9 (página 40),  exercício 10.1, e concluir o exercício 10.2 (página 42), excepto se envolver a decomposição de funções racionais com raízes complexas.

Correcção do TPC. Esquema do método de primitivação de funções racionais. Resolução de exercícios de primitivação. TPC: ex. 9 (texto de apoio, pag. 40) e terminar ex. 10 (texto de apoio, pag. 42-43).

Primitivação de funções racionais. Exemplos e exercícios.

Correção do TPC - exercícios sobre primitivação:
Exerc. 7 – 2, 3, 5 (pg. 35); Exerc. 8 – 1, 2, 3, 5 (pg. 36);
Exerc. 10 – 2 a) a i)  (pg. 42).
Primitivação de funções racionais. Exemplos.
TPC: Exerc. 9 (pg. 40);
Exerc. 10 – 2 (restantes) e 10-3 (pg. 42/43);
Exercícios adicionais – ver fenix.

Revisão TPC: Exercícios 10 (p.42) 1c), 2g)i)k) e esclarecimento que 0 não é igual a 1... Os Exemplos 14 (na sequência do Teorema 2.1, p.31). Observação 2 (p.30) e Teorema 2.2 (p.32). A Primitivação por Partes (Proposição 2.5, p.33). Exemplos 17 (p.34) 1,2,3,4. Exercícios 7 (p.34). Exercícios 10 (p.42) 2d)j)h). TPC: Exercícios 10 (p.42) 3,4, 2a)b)c)m)o)p)q).

Correção do TPC.

Método de primitivação por decomposição (pgs. 36 à 40). Resolução de Exercícios 9 (pg. 40).

TPC: Exercício 10.2 (pgs. 42):  I), w) x). Exercício 9 (pg. 40): 3).

Correcção do TPC (primitivas imediatas e por partes). Resolução de exercícios (primitivação por substituição). Funções racionais: classificação e decomposição na soma de um polinómio e de uma função racional própria. Definição de fracção simples. TPC: exs. 8 (texto de apoio, pag. 36).

Exercícios: cálculo de primitivas por partes.

Primitivação por substituição. Prova, exemplos, heurísticas, e exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Decomposição de funções racionais.

Correcção do TPC (primitivas imediatas e por partes). Resolução de exercícios (primitivação por substituição). Funções racionais: classificação e decomposição na soma de um polinómio e de uma função racional própria. Definição de fracção simples. TPC: exs. 8 (texto de apoio, pag. 36).

Correção do TPC. Primitivação por partes e por substituição.

TPC: exercício 7 (pág. 34), exercício 10.1 a), b) e c) e 10.2. a) até v) (pág. 42).

Decomposição de funções racionais. Resolução de exercícios.

Exercícios: cálculo de primitivas por partes.

Primitivação por substituição. Prova, exemplos, heurísticas, e exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Ainda para que serve o resto de Lagrange? Primitivas. Definição. Primitiva da soma, do produto escalar e do produto de duas funções (primitivação por partes).

Correção do TPC - exercícios sobre primitivação: Exerc. 6 – 4 até 10 (pg. 30); Exerc. 10 – 1a)b) (pg. 42). Propriedades de primitivas.
Primitivação por partes. Demonstração e exemplos.
Primitivação por substituição. Exemplos.
TPC: Exerc. 7 (pg. 34/35); Exerc. 8 (pg. 36); Exerc. 10 – 2 a) a v) e 3 (pg. 42/43).

Correção do TPC (Fórmula de Taylor e Primitivas Imediatas).

Método de primitivação por partes (pgs. 33 à 35). Resolução de Exercícios 7 (pgs. 34 e 35).

Primitivas imediatas e por partes: resolução de alíneas de Exercícios 10.2 (pg. 42).

TPC: Exercício 10.2 (pg. 42):  b), e) p) s) v).

Correcção do TPC (primitivas imediatas). Primitivação por partes e por substituição. Resolução de exercícios. TPC: ex. 7 (texto de apoio, pags. 34-35); ex. 10, 2. até v) (texto de apoio, pag. 42).

Primitiva da soma. Primitivação por partes. Resolução de exercícios.

Exercícios: cálculo de primitivas imediatas e heurísticas.

Primitivação por partes. Prova, exemplos, heurísticas, e exercícios.

Revisão TPC: Exercícios 3 (p.15) 6,9. Primitivação: a tabela de primitivas imediatas. Exercícios 6 (p.30). Proposições 2.3 e 2.4 (p.33) Exemplos 15 e 16 (p.33). O Teorema 2.1 (p.31). "Demonstração" de que 0=1.

TPC: Exercícios 10 (p.42) 1, 2e)f)g)i)k)l) e ver se 0 é mesmo igual a 1 ou não (e se não, porquê)!

 

Primitivação: definição, algumas propriedades e resultados importantes. Primitivas imediatas que envolvem a derivada da função composta.

TPC: exercício 6 (página 30).

Correcção do TPC (primitivas imediatas). Primitivação por partes e por substituição. Resolução de exercícios. TPC: ex. 7 (texto de apoio, pags. 34-35); ex. 10, 2. até v) (texto de apoio, pag. 42).

Exercícios: cálculo de primitivas imediatas e heurísticas.

Primitivação por partes. Prova, exemplos, heurísticas, e exercícios.

Correção do TPC: exercícios sobre fórmula de Taylor e de MacLaurin com resto de Lagrange (Exerc. 3 – 3, 5, 7 e 9, pg. 15/16).
Primitivação: definição e teorema 2.1. Exemplos de problemas de valor inicial. Primitivas imediatas. Exerc. 6 - 1, 2, 3 (pg. 30).
TPC: Exerc. 6 (conclusão) e Exerc. 10 – 1a)b (pg. 42).

Fórmula de Taylor: Resolução de Exercício 3 (pgs. 15 e 16): 8; 7.

TPC: Provar que sin x>x-x³, 0<x<pi; 3 e 4 (pg.15).

Cap.2. Primitivação. 

Definição de primitiva; propriedades; primitivas imediatas (pgs. 29 à 33). 

Resolução de Exercício 6 (pg.30): 1; 2; 4; 3.

TPC: Exercício 6 (pg. 30): 5; 6; 8.

Revisão TPC: Exercícios 3 (p.15) 2e), 4, 3. O Resto de Lagrange (Teorema 1.4, p.14). Exercícios 3 (p.15) 8, 5, 7. Primitivação: Definição 1 (p.29); Exemplos 13 (p.29).

TPC: Exercícios 3 (p.15) 2a)c), 6, 9.

Correcção do TPC (ex. 3. 7, 8 e 9). Primitivas: definição e propriedades. Resolução de exercícios. TPC: Exame Matemática e Informática (20-6-2008): exs. 1 e 2; ex. 6 (texto de apoio, pag. 30); ex. 10, 1 e 2 a) a c) (texto de apoio, pag. 42).

Fórmula de Taylor e resto de Lagrange. Exercícios.

Primitivas: definição e propriedades. Exercícios: cálculo de primitivas imediatas.

Primitivas. Definição. Primitivas imediatas.. Problemas com valores iniciais. Resolução de exercícios.

Fórmula de Taylor com resto de Lagrange.

TPC: Concluir os exerc 3. (pag. 15 e 16). Exercícios adicionais sobre a fórmula de Taylor 1., 2. e 4.

Correcção dos trabalhos de casa. Para que serve o resto de Lagrange?

Correcção do TPC (ex. 3. 7 e 8). Primitivas: definição e propriedades. Resolução de exercícios. TPC: Exame Matemática e Informática (20-6-2008): exs. 1 e 2; ex. 6 (texto de apoio, pag. 30); ex. 10, 1 e 2 a) a c) (texto de apoio, pag. 42).

Fórmula de Taylor e resto de Lagrange. Exercícios.

Primitivas: definição e propriedades. Exercícios: cálculo de primitivas imediatas.

Correcção dos trabalhos de casa. Polinómio de Taylor. Fórmula de Taylor.

Correção do TPC: Exerc. 3- 1, 2, 4 (pg. 15).
Resto de Lagrange. Exemplos.
TPC:  Concluir Exerc. 3 (pág. 15/16). Exercícios adicionais sobre fórmula de Taylor (fenix).

Fórmula de Taylor e de Mac Laurin com resto de Lagrange. Resolução de exercícios.

Correcção do TPC. Fórmula de Taylor (e de MacLaurin) com resto de Lagrange. Resolução dos exercícios 3: 3, 4, 5 e 6. TPC: exercícios 3: 7, 8 e 9 (texto de apoio, pags. 15-16).

Revisões sobre funções reais de variável real: assíntotas verticais e não verticais (horizontais e oblíquas); estudo completo de uma função.

Resolução de exercícios (pg. 23).

Derivadas de ordem superior à primeira. Fórmula de Taylor e Fórmula de MacLaurin; Polinómio de Taylor e de MacLaurin; Resto de Taylor e de Lagrange.

Resolução de exercícios: Exercícios 3 (pgs. 15 e 16): 1; 2.c); 6.

Fórmula de Taylor e resto de Lagrange. Exemplos e exercícios.

Revisão TPC: Exercícios 2 (p.8) 1m)o)p).  Aproximação polinomial de funções: a fórmula de Taylor. Os polinómios de grau 1 (e sua relação com a recta tangente ao gráfico de f(x) em x=a) e 2, e suas propriedades. Generalização: o Teorema 1.3 (p.13). Exemplo 6 (p.12) e Exemplos 7 (p.13) 3a)c). Ilustração gráfica de alguns polinómios de MacLaurin para a exponencial e o seno. Exercícios 3 (p.15) 1.

TPC: Exercícios 3 (p.15) 2 b)d)e), 4, 3.

Correcção do TPC. Fórmula de Taylor (e de MacLaurin) com resto de Lagrange. Resolução dos exercícios 3: 3, 4, 5 e 6. TPC: exercícios 3: 7, 8 e 9 (texto de apoio, pags. 15-16).

Correção do TPC. Fórmulas de Taylor e de Maclaurin.

TCP: 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 (pag. 15)

Fórmula de Taylor e resto de Lagrange. Exemplos e exercícios.

Correção dos trabalhos de casa. 

Correção do TPC: exercícios sobre limites e indeterminações.
Fórmula de Taylor e de MacLaurin. Exemplos.
TPC: Exerc. 3 – 1, 2, 4 (pg. 15).

 

Interpretação da derivada de uma função num ponto. Equação da recta tangente ao gráfico de uma função nu m ponto. Polinómios de Taylor e de Mac Laurin. Resolução de exercícios.

Correcção do TPC. Polinómio de Taylor (e de MacLaurin). Fórmula de Taylor (e de MacLaurin).

TPC: Exercício 3, 1., 2. e 3. (texto de apoio, pag. 15). Mostrar que \(P_3(x)=x-x^3/3! \) e \( P_5(x)=x-x^3/3!+x^5/5! \) são os polinómios de MacLaurin de ordem 3 e 5, respectivamente, da função \( f(x)=sin(x)\). Utilizando a calculadora gráfica, compare os gráficos destas 3 funções perto da origem.

Cálculo de limites. 

Resolução de exercícios (pgs. 8 e 9).

Exercícios: cálculo de limites.

Fórmula de Taylor e de MacLaurin. Motivação, exemplos, e exercícios.

Revisão TPC: exercícios 1 (p.7) 1e), Exercícios 4 (p.22) 3c)e). Ainda as indeterminações do tipo potência: Exemplos 3 (p.7) 1,2,3 (modificado). Indeterminações do tipo infinito - infinito: Exemplos 4 (p.8) 1,2,3. Exercícios 2 (p.8) 1d)f)b)c)e)i)n). TPC: Acabar as restantes alíneas do Ex. 1 no grupo de Exercícios 2 (p.8).

Correção do TPC. Levantamento de indeterminações do tipo inf-inf. Aproximação linear.

TPC: Concluir todos os exercícios 1.1 e 1.2 (p.6)  2.1 e 2.2 (p.8), 4.1, 4.2 e 4.3 (p.22). Fazer os exercícios adicionais sobre derivadas e limites (secção material de apoio na página web da disciplina).

Correcção do TPC. Polinómio de Taylor (e de MacLaurin).

TPC: 1)  Exercício 3, 1. e 2.. (texto de apoio, pag. 15). 2) Escrever o polinómio de MacLaurin de ordem n da função \(f(x) = 1/(1-x) \).  3) Mostrar que \(P_3(x)=x-x^3/3! \) e \( P_5(x)=x-x^3/3!+x^5/5! \) são os polinómios de MacLaurin de ordem 3 e 5, respectivamente, da função \( f(x)=sin(x)\). Utilizando a calculadora gráfica, compare os gráficos destas 3 funções perto da origem.

Exercícios: cálculo de limites.

Fórmula de Taylor e de MacLaurin. Motivação, exemplos, e exercícios.

Correção do TPC. Demonstração da Proposição 1.2.
Indeterminações 0⁰, ∞⁰, 1^∞ e ∞ − ∞. Exemplos. Resolução dos Exerc. 2 (pág. 8/9) - 1b) até 1f).
TPC: Exerc. 2 - 1 (concluir). Exerc. 4 - 3 (pág. 22). Exercícios adicionais sobre limites.

Ainda a Regra de Cauchy. Exercícios 1 (p.6) 1d)a)b). Exercícios 4 (p.22) 3d)f). Três observações (ver duas na p.5). Exercícios 1 (p.6) 1e). Proposição 1.2 (p.6) e sua demonstração (Exercícios 1 (p.6) 2). Indeterminações do tipo zero x infinito (p.7) Exemplos 2 (p.7) 1,2. Exercícios 4 (p.22) 3a). Indeterminações do tipo potência (p.7). TPC: Exercícios 4 (p.22) 3b)c)e). Exercícios 1 (p.6) 1e).

Cálculo de limites. Indeterminações; REGRA DE CAUCHY.  

Resolução de exercícios (pgs. 6, 7, 8).

Regra de Cauchy. Levantamento de indeterminações 0⁰, ∞⁰, 1^∞, e ∞−∞.

Exercícios: cálculo de limites.

Correção do TPC. Levantamento de indeterminações do tipo 0^o, 1^inf  e inf⁰, por redução ao caso  0xinf.

TPC: Fazer os exercícios 1.1 (p. 6), 2.1, 2.2 (p. 8) e 4.1, 4.2, 4.3 (p. 22)  que faltam, com excepção das indeterminações do tipo inf-inf.

Novas indeterminações. Resolução de exercícios.

Correção dos trabalhos de casa.  Como transformar indeterminações diferentes de 0/0 ou ∞/∞ nestas indeterminações.

Regra de Cauchy. Levantamento de indeterminações 0⁰, ∞⁰, 1^∞, e ∞−∞.

Exercícios: cálculo de limites.

Correção dos trabalhos de casa. Regra de Cauchy.

Esclarecimento de dúvidas sobre derivadas. Resolução de exercícios sobre as funções inversas das funções trigonométricas. Exerc. 4 – 1, 2b)c) (pág. 22).
Regra de Cauchy para Indeterminações 0/0 e ∞/∞. Exemplos.
Indeterminações 0×∞.
TPC: Exerc. 1 – 1; 2 (pág. 7).

Cálculo de limites. Indeterminações. Regra de Cauchy. Resolução de exercícios.

Funções inversas das funções trignométricas (cont.): arccos, arctg. Resolução de exercícios.

Revisão das propriedades operatórias de limites. Regra de Cauchy. Resolução de exercícios.

TPC: Exercício 4 - 1, 2 (texto de apoio, pag. 22) e Exercício 1 - 1 (texto de apoio, pags. 6-7).

Funções trigonométricas - seno, cosseno, tangente; suas inversas - arco seno, arco cosseno, arco tangente; suas recíprocas - cossecante, secante, cotangente. 

Função exponencial e logaritmo.

Resolução de exercícios (pg.22).

Propriedades dos limites. Álgebra dos limites. Tipos de indeterminações: 0/0, ∞/∞, 0×∞, 0⁰, ∞⁰, 1^∞, e ∞−∞.

Regra de Cauchy e interpretação geométrica. Levantamento de indeterminações 0/0, ∞/∞, e 0×∞.

Exercícios: cálculo de limites.

Revisão TPC: Exercícios 4, p.22 1)d)e), 2a)c). As funções arco-cosseno e arco-tangente e suas propriedades. Exercícios 4, p.22 1)b)f), 2b).

Revisão sobre propriedades de limites e indeterminações. A Regra de Cauchy (Teorema 1.1, pg. 4). Exemplos (p.5) 4,3.

TPC: Rever a matéria dada. Fazer os recentes Exemplos de aplicação da Regra de Cauchy (p.5).

Correcção do TPC.

Funções inversas das funções trignométricas (cont.): arccos, arctg. Resolução de exercícios.

Revisão das propriedades operatórias de limites. Regra de Cauchy. Resolução de exercícios.

TPC: Exercício 4 - 1, 2 (texto de apoio, pag. 22) e Exercício 1 - 1 (texto de apoio, pags. 6-7).

As funções inversas trignométricas arcsin x (conclusão), arccos x e arctg x. Regra de Cauchy para levantamento de  indeterminações do tipo 0/0 e inf/inf. Redução de uma indeterminação do tipo 0xinf a 0/0 ou inf/inf.

TPC: exerc 1.1 (p.6), exerc 2.1 a)-d) (p.8) e exerc 4.1. e 4.2. (p.22).

Propriedades dos limites. Álgebra dos limites. Tipos de indeterminações: 0/0, ∞/∞, 0×∞, 0⁰, ∞⁰, 1^∞, e ∞−∞.

Regra de Cauchy e interpretação geométrica. Levantamento de indeterminações 0/0, ∞/∞, e 0×∞.

Exercícios: cálculo de limites.

Apresentação: regras de frequência e de avaliação e material de apoio. Revisões sobre funções reais de variável real. Funções inversas das funções trigonométricas: arcsin, arccos, arctg.
TPC: Exercícios adicionais de derivadas; Exerc. 4 – 1, 2 (pg.22).

Apresentação da UC: programa, avaliação de conhecimentos, frequência, horários de dúvidas e bibliografia (ver página da UC no Fénix).

Revisão de conceitos (classes de funções elementares: polinómios, funções racionais, exponenciais, logaritmos, trigonométricas; domínios e contradomínios; continuidade; derivabilidade; função inversa; injectividade).

A função arco-seno e as suas propriedades, incluindo a sua derivada. Exercícios 4 (pg.22) 1a)g)c), 2a) [incompleto] .

TPC: Exercícios 4 (pg.22) 1d)e), 2a) [acabar], c).

Apresentação: programa, regras de frequência e de avaliação e material de apoio.

Revisões sobre funções reais de variável real.

Funções inversas das funções trignométricas: arcsin.

TPC: Exercícios adicionais sobre derivadas

Apresentação da Unidade Curricular; programa e material de apoio; frequência e avaliação de conhecimentos; horário de dúvidas.

Parte 1. CÁLCULO DIFERENCIAL, PRIMITIVAS E CÁLCULO INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL.

Cap.1. Complementos sobre derivadas.

Revisões sobre funções reais de uma variável real: domínio, contradomínio; derivabilidade. Regras de derivação.

Resolução de exercícios.

Apresentação: regras de frequência e avaliação.

Revisões sobre funções elementares: potências, seno, coseno, tangente, exponencial, arcseno, arccoseno, arctangente e logarítmo. Domínios, gráficos, e limites.

Definição de derivada. Interpretação cinemática, geométrica.

A derivada como a melhor aproximação linear na vizinhança de um ponto.

Notação de Lagrange e de Leibniz. Regras de derivação.

Exercícios: cálculo de derivadas.

Revisões sobre funções reais de variável real. Funções trigonométricas inversas.

Apresentação da UC. Revisões sobre funções, injetividade e inversa de uma função. A função arcsin x.

Apresentação: programa, regras de frequência e de avaliação e material de apoio.

Revisões sobre funções reais de variável real.

Funções inversas das funções trignométricas: arcsin.

TPC: Exercícios adicionais sobre derivadas

Apresentação da UC. Revisões sobre derivadas e função inversa. Funções arcoseno, arcocoseno e arcotangente.

Apresentação: regras de frequência e avaliação.

Revisões sobre funções elementares: potências, seno, coseno, tangente, exponencial, arcseno, arccoseno, arctangente e logarítmo. Domínios, gráficos, e limites.

Definição de derivada. Interpretação cinemática, geométrica.

A derivada como a melhor aproximação linear na vizinhança de um ponto.

Notação de Lagrange e de Leibniz. Regras de derivação.

Exercícios: cálculo de derivadas.