Resolução de exercícios de revisão: 2º teste de 2017. Esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios de testes dos anos anteriores. Esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios de revisão: 2º teste de 2017. Esclarecimento de dúvidas.

Resolução do teste de 31 Maio 2017 e esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios e correção do 2ª teste do ano lectivo 2016-17 e esclarecimento de dúvidas para o 2º teste. 

Resolução de exercícios de testes dos anos anteriores. Esclarecimento de dúvidas.

Aula de revisões para o teste. Reasolução completa do segundo teste de 2016-17 (31 de Maio de 2017). Esclarecimento de dúvidas.

Revisões.

Aula de revisões para o teste. Reasolução completa do segundo teste de 2016-17 (31 de Maio de 2017). Esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios sobre integrais duplos: 9, 6, 7 (pág.58 e 59) e 6 (exercícios suplementares). Resolução de exercícios de revisão sobre domínio, equações diferenciais e extremos de funções de duas variáveis.

Resolução de exercícios sobre integrais duplos: 9, 6, 3, 7 (pág.58 e 59). Resolução de exercícios de revisão sobre domínio, equações diferenciais e extremos de funções de duas variáveis.

Correção do TPC. Resolução dos exercícios 2e, 5a)b)c). 

Mudança de variável no integral duplo para coordenadas polares e  cálculo de volumes.  Resolução dos exercícios 6, 7 e 9 (fim da matéria para o 2º teste). 

Exercícios de cálculo de volumes: Exercícios 4 (p.58) 6, 7, 8. Exemplo 39 (p.54). O cálculo de áreas de regiões de R^2 através de integrais duplos: o conceito. Exemplo 40 (p.58). Exercícios 4 (p.58) 9. Exercícios Suplementares de intgrais duplos: Ex.3.

Aplicação do integral duplo ao cálculo de áreas. Resolução de exercícios sobre integral duplo, cálculo de volumes e de áreas: Exerc. 4 - 9, 5a)b), 6 e 7 (pg. 59). Exercícios suplementares sobre integral duplo - 1b).

Integrais duplos, coordenadas polares. Exemplos e exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Cálculo de áreas e volumes com integrais duplos.

Exercícios de cálculo de volumes: Exercícios 4 (p.58) 6, 7, 8. O cálculo de áreas de regiões de R^2 através de integrais duplos: o conceito. Exemplo 40 (p.58). Exercícios 4 (p.58) 9. Exercícios Suplementares de intgrais duplos: Ex.3.

Resolução de exercícios sobre integral duplo, cálculo de volumes e de áreas: Exerc. 4 - 9, 5a)b), 6 e 7 (pg. 59). Exercícios suplementares sobre integral duplo - 1b)c), 6.

Correcção do TPC: integrais duplos, troca de ordem de integração, exercício 4e) da pág. 59. Integral duplo: mudança de variável para coordenadas polares. Resolução de exemplo. Resolução de exercícios (pág. 59): 5a) e 5c). Aplicação do integral duplo no cálculo volumes e de áreas. Exemplos. TPC: exercícios 6, 7, 8 e 9 da página 59.

Correção do TPC. 

Algumas propriedades de integral duplo em rectângulos (linearidade, monotonia e aditividade). Extensão do integral duplo aos domínios elementares. Mudança de ordem de integração. Exemplos em que a mudança simplifica e/ou permite efectuar o cálculo do integral. Aplicação ao cálculo de áreas de domínios elementares. Resolução dos exercícios 2c)d)b) (efectuando também a mudança de ordem de integração) e 4 a)b)d)e)

TPC: concluir as alíneas do exercício 2 (efectuando também a mudança de ordem de integração) e do exercício 4. 

Correcção do TPC: integrais duplos, troca de ordem de integração, exercício 4e) da pág. 59. Integral duplo: mudança de variável para coordenadas polares. Resolução de exemplo. Resolução de exercícios (pág. 59): 5a) e 5c). Aplicação do integral duplo no cálculo volumes e de áreas. Exemplos. TPC: exercícios 6, 7, 8 e 9 da página 59.

Correção do TPC sobre integral duplo: Exerc. 4 – 2d)e) e 4b) (pg. 58).
Mudança de variável para coordenadas polares. Exemplo.
Aplicação do integral duplo ao cálculo de volumes. Exemplos.
TPC: Exerc. 4 – 5b), 6, 7, 8 (pg. 59). Exercícios suplementares sobre integral duplo.

Integrais duplos, mudança da ordem de integração. Exemplos e exercícios.

Revisão TPC: Exercícios 4 (p.58) 2b), 4c). Ainda a troca de ordem de integração: Exercícios 4 (p.58) 5b). A mudança de variáveis para coordenadas polares (p.49). Exemplo 37, Exercícios 4 (p.58) 5a)c). Aplicação de integral duplo no cálculo de volumes (p.52). Exemplo 38 (p.53). TPC: Acabar contas do Exemplo 38, Exercícios 4e), 6. Exercícios suplementares de integrais duplos.

Correção do TPC sobre integral duplo: Exerc. 4 – 2d)e) e 4b) (pg. 58).
Mudança de variável para coordenadas polares. Exemplo.
Aplicação do integral duplo ao cálculo de volumes e de áreas. Exemplos. Exerc. 4 – 9 (pg. 59).
TPC: Exerc. 4 – 5b), 6, 7, 8 (pg. 59). Exercícios suplementares sobre integral duplo.

Correcção dos trabalhos de casa. Mudança de variável para coordenadas polares.

Revisão TPC: Exercícios 4 (p.58) 2c), 4c)d). Ainda a troca de ordem de integração: Exercícios 4 (p.58) 5b). A mudança de variáveis para coordenadas polares (p.49). Exercícios 4 (p.58) 5a)c). Aplicação de integral duplo no cálculo de volumes (p.52). Exemplo 38 (p.53). TPC: Exercícios 4a)e), 6. Exercícios suplementares de integrais duplos.

Correcção do TPC: exercício 1d), pág. 38; exercícios 1a) e 1c), pág. 58. Integrais duplos: domínios de integração elementares. Troca de ordem de integração. Resolução dos exercícios 2a), 2b(, 2c), 2d), 4a)(pág. 58). TPC: exercícios 2, 3 e 4.

Revisão TPC: Exercícios 3 (p.38) 2, 4. Propriedades gerais dos integrais duplos (p.43 + aditividade). Os integrais duplos em domínios de integração elementares (de tipo I e de tipo II - p.44). Exercícios 4 (p.58) 2a)d)e), 3. A troca da ordem de integração em integrais duplos. Exercícios 4 (p.58) 4 b). TPC: Exercícios 4 (p.58) 2b)c), 4c)d).

Integral duplo sobre domínios retangulares [a,b]×[c,d]: propriedades e exemplos. Exerc. 4 – 1a)c) (pg. 58).
Integral duplo sobre domínios elementares. Inversão da ordem de integração. Exemplos. Exerc. 4 – 2c), 4a) (pg.58).
TPC: Concluir Exerc. 4 – 1, 2 e 4 (pg.58/59).

Correcção do TPC: exercício 1d), pág. 38; exercício 1d), pág. 58. Integrais duplos: domínios de integração elementares. Troca de ordem de integração. Resolução de exercícios (pág. 58): 2, 4a), 4b). TPC: exercício 3 e terminar exercício 4.

Correção do TPC (exercícios 3.2 e 3.4). Conceito de integral duplo em rectângulos. Teorema de Fubini. Cáculo do integral duplo nalguns exemplos e resolução dos exercícios 4.1a)c).

TPC: concluir as alíneas dos exercícios 3.1, 3.3 e 4.1. 

Atenção: aula suplementar de análise na 2ªfeira, dia 21 de maio, das 14h30-17h na sala S3

Integrais duplos em domínios elementares. Exemplos e exercícios.

Revisão TPC: Exercícios 3 (p.38) 2, 4. Propriedades gerais dos integrais duplos (p.43 + aditividade). Os integrais duplos em domínios de integração elementares (de tipo I e de tipo II - p.44). Exercícios 4 (p.58) 2a)d)e), 3. A troca da ordem de integração em integrais duplos. Exercícios 4 (p.58) 4a)b). TPC: Exercícios 4 (p.58)2b)c), 4c)d).

Correção do TPC: Exerc. 3 – 1d) (só pontos críticos) (pg.38). Exerc. 4 – 1a)c) (pg. 58).
Integral duplo sobre domínios elementares. Inversão da ordem de integração. Exemplos. Exerc. 4 – 2c), 4a) (pg.58).
TPC: Concluir Exerc. 4 – 1, 2 e 4 (pg.58/59).

Integrais duplos. Domínios de integração rectangulares e não rectangulares.

Resolução de exercícios sobre extremos de funções de duas variáveis (pág.38): 1e), 2, 3 e 4. O integral duplo: conceito, domínios de integração rectangulares, propriedades e exemplos. TPC: exercício 1 da página 58.

Resolução de exercícios sobre extremos de funções de duas variáveis (pág.38): 1e) (continuação), 2, 3 e 4. O integral duplo: conceito, domínios de integração rectangulares, propriedades e exemplo. Resolução dos exercícis 1a) e 1c) da página 58. TPC: terminar exercício 1.

Exercícios sobre extremos locais: Exerc. 3 – 1b)e) e 2 (pg.38).
Integral duplo sobre domínios retangulares [a,b]×[c,d]: definição e exemplos.
TPC: Concluir Exerc. 3 – 1, 3 e 4 (pg.38).
        Exerc: 4 – 1 (pg. 58).

Extremos livres de funções de duas variáveis. Exercícios.

Continuidade de funções de duas variáveis.

Critério da matriz Hessiana para determinar a natureza de um ponto crítico de funções de duas variáveis. Exemplos e resolução dos exercícios 3.1a)c) e e). 

TPC: concluir as restantes alíneas do exercício 3.1 e fazer os exercícios 3.2, 3.3 e 3.4.

Nota: o estudo de extremos locais de funções com 3 variáveis (exercício 3.5) não saem para o teste.

Exercícios sobre extremos locais: Exerc. 3 – 1e), 3 (pg. 38).
Integral duplo sobre domínios retangulares [a,b]×[c,d]: definição, propriedades e exemplos.
TPC: Concluir Exerc. 3 – 1 e 4 (pg.38).
        Exerc: 4 – 1 (pg. 58).

Revisão TPC: Exercícios 3 (p.38) 1c)d). Ainda um exercício de identificação de pontos críticos por inspecção directa: Exercícios 3 (p.38) 1)e). Integrais duplos (p.39): conceito; o caso de domínios de integração rectangulares (alinhados com os eixos). Exercícios 4 (p.58) 1)a)b)c)d). TPC: Exercícios 3 (p.38) 2,3,4.

Correcção dos trabalhos de casa.

Revisão TPC: Exercícios 2 (p.28) 5e). Exercícios 3 (p.38) 1c)d). Ainda um exercício de identificação de pontos críticos por inspecção directa: Exercícios 3 (p.38) 1)e). Integrais duplos (p.39): conceito; o caso de domínios de integração rectangulares (alinhados com os eixos). Exercícios 4 (p.58) 1)a)c). TPC: Exercícios 3 (p.38) 2,3,4. Exercícios 4 (p.58) 1b)d).

Extremos de funções de duas variáveis: definição de extremo, de ponto critico e de ponto de sela. Critério da matriz Hessiana para a classificação de pontos críticos. Exemplos. Resolução de exercícios (pág.38): 1a), 1b) e 1e) (incompleto). TPC: terminar exercício 1.

Extremos de funções de duas variáveis: definição de extremo, de ponto critico e de ponto de sela. Critério da matriz Hessiana para a classificação de pontos críticos. Exemplos. Resolução de exercícios (pág.38): 1a) e 1b). TPC: terminar exercício 1.

Revisão TPC: Exercícios 2 (p.27) 4b) 1)g). Derivadas parciais de ordem superior: conceito (funções de 2 e 3 variáveis). Matriz Hessiana (Definição 4, p.27). Exercícios 2 (p.28) 5)b).  Extremos em funções de duas variáveis: Definição de máximo (mínimo) local e global (Definição 5, p. 29); condição necessária para a existência dum extremo local (em pontos do interior dum domínio onde existe plano tangente ao gráfico); pontos críticos (Definição 6, p. 31); pontos de sela (Definição 7, p.32); o critério da Hessiana para a classificação de pontos críticos (p.32); a necessidade do estudo pela definição de extremos, quando não é aplicável o critério da Hessiana. Exercícios 3 (p.38) 1)a)b). TPC: Exercícios 2 (p.28) 5)a)c)d)e). Exercícios 3 (p.38) 1c)d).

Correção do TPC sobre derivadas parciais e plano tangente: Exerc. 2 – 1f)g); 4c); 5c) (pg. 27/28).
Extremos locais de funções de duas variáveis. Pontos críticos e critério da Hessiana. Exemplos. Exerc. 3 – 1a) (pg. 38).
TPC: Concluir Exerc. 3 – 1 (pg. 38).

Correção do TPC (2.2b)f) eg)) . Conceitos de gradiente e matriz Jacobiana de uma função de várias variáveis. Derivadas parciais de ordem superior. Função de classe C^k e o teorema de Schwarz. Matriz Hessiana. Plano tangente ao gráfico de uma função z=f(x,y) em (a,b,f(a,b)) (de class C¹), como o plano definido pelas retas tangentes às funções parciais z=f(x,b) e z=f(a,y). Ponto crítico, extremo local e ponto sela de uma função de duas variáveis.

TPC: concluir todos os exercícios do grupo de exercícios 2

.

Extremos livres de funções de duas variáveis: definição, pontos críticos, e critério da matriz Hessiana. Exemplos e exercícios.

Revisão TPC: Exercícios 2 (p.27) 4b). Derivadas parciais de ordem superior: conceito (funções de 2 e 3 variáveis). Matriz Hessiana (Definição 4, p.27). Exercícios 2 (p.28) 5)b).  Extremos em funções de duas variáveis: Definição de máximo (mínimo) local e global (Definição 5, p. 29); condição necessária para a existência dum extremo local (em pontos do interior dum domínio onde existe plano tangente ao gráfico); pontos críticos (Definição 6, p. 31); pontos de sela (Definição 7, p.32); o critério da Hessiana para a classificação de pontos críticos (p.32); a necessidade do estudo pela definição de extremos, quando não é aplicável o critério da Hessiana. Exercícios 3 (p.38) 1)a)b). TPC: Exercícios 2 (p.28) 5)a)c)d)e). Exercícios 3 (p.38) 1c)d).

Exercícios sobre extremos locais: conclusão do exemplo; Exerc. 3 – 1a)b); 2.
TPC: Concluir Exerc. 3 – 1; 3 e 4. (pg.38).

Correcção dos trabalhos de casa. Extremos locais. Critério da matriz Hessiana para uma função com duas variáveis.

Correcção do TPC: exercício 1 dos exercícios adicionais sobre domínio, gráfico e conjuntos de nível; exercício de equações diferenciais (alínea c) dos exercícios adicionais. Plano tangente (continuação). Resolução dos exercícios 4a) (página 28). Derivadas parciais de ordem superior. Vector gradiente, matriz Jacobiana e matriz Hessiana. Exemplos. Resolução do exercício 5b) e 5d)(incompleto), pág. 28. TPC: terminar exercício 5 da página 28.

Derivadas Parciais. Exerc. 2 – 3 e 1a) (pg.27/28).
Plano tangente. Exerc. 2 – 4a) (pg. 28).
Derivadas parciais de ordem superior. Vetor gradiente, matriz Jacobiana e matriz Hessiana. Exemplo.
TPC: Exerc. 2 – 1, 2, 4 e 5 (pg.27/28, concluir).

Derivadas parciais. Exercícios.

Plano tangente. Exercícios.

Matriz Jacobiana e Hessiana. Exercícios.

Correção do TPC: exercícios 1.3 e 1.4a). Conceito de derivada parcial, interpretação geométrica e exemplos. 

TPC: concluir as alíneas que faltam até ao exercício 1.4, 2.1 e 2.2 

Revisão TPC: Exercícios 2 (p.27) 5b), 6)d). As derivadas parciais de funções de 2 variáveis: conceito, definição e interpretação geométrica. Exercícios 2 (p.27) 1a)b), 2, 3. Plano tangente: conceito, equação, condição necessária e condição suficiente para a sua existência. Exercícios 2 (p.27) 4a)c). Definição 3 (p.26): vector gradiente e matriz Jacobiana (para funções de duas variáveis). Derivadas parciais de funções de 3 variáveis. TPC: Exercícios 2 (p.27) 1c)d)e)f)g), 4b).

Correção do TPC sobre derivadas parciais e plano tangente (pg. 27/28): Exerc. 2 – 1f)g); 4c).
Derivadas parciais de ordem superior. Vetor gradiente, matriz Jacobiana e matriz Hessiana. Exemplo.
Extremos locais de funções de duas variáveis. Pontos críticos e critério da Hessiana. Exemplos.
TPC: Exerc. 2 – 5 (pg. 28). Exerc. 3 – 1 (pg. 38).

Correcção dos trabalhos de casa. Planos tangentes ao gráfico de uma função com duas variáveis.

Revisão TPC: Exercícios 2 (p.27) 5b), 6)d). Ainda as derivadas parciais de funções de 2 e de 3 variáveis: Exercícios 2 (p.27) 1a)b)c)g), 2, 3. Plano tangente: conceito, equação, condição necessária e condição suficiente para a sua existência. Exercícios 2 (p.27) 4a)b). Definição 3 (p.26): vector gradiente e matriz Jacobiana (para funções de duas variáveis). TPC: Exercícios 2 (p.27) 1d)e)f), 4c).

Revisão TPC: Exercícios 1 (p.16) 2b), 4a)b). Mais exercícios de conjuntos de nível: Exercícios 1 (p.16) 6b)c). As superfícies quádricas em R^3 (Apêndice B, p.65): as nove formas canónicas; duas generalizações imediatas. Exercícios 1 (p.16) 5b). TPC: Exercícios 1 (p.16) 5b), 6d) ; estudar o conceito de derivadas parciais (p.18-21).

Resolução de exercícios sobre domínio, gráficos de funções e conjuntos de nível (pág.16 e 17): 4a), 5b), 5c), 6a), 6b). Derivadas parciais de 1ª ordem: definição e interpretação geométrica. Exemplos. Resolução dos exercícios 1c) e 3 (páginas 27 e 28). Plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis. Exemplo. Resolução do exercício 4c) (página 28). TPC: exercício 1, 2 e 4 das páginas 27 e 28.

Correção do TPC sobre domínio, conjunto de nível e gráfico (pg. 16/17): Exerc. 1 – 1a)b)e)f); 2a)e)g); 3 para g); 4a), 5, 6a)c).
TPC: Conclusão dos Exerc. 1 (pg. 16 e 17). Exercícios adicionais do fenix sobre domínio e conjunto de nível.

Correção do TPC sobre EDs e exercícios de domínios (1b), c) e e)). Resolução de exercícios sobre domínio/conjunto de nível/contradomínio. e gráfico (2a)b)c) e e) e 3 em relação à função da 2f). 

TPC: concluir as alíneas que faltam até ao 1.3 e resolver o 1.4. 

Revisão TPC: Exercícios 1 (p.16) 4a)b). As superfícies quádricas em R^3 (Apêndice B, p.65): as nove formas canónicas; duas generalizações imediatas. Exercícios 1 (p.16) 5b). Derivadas parciais: o conceito e sua interpretação geométrica. TPC: Exercícios 1 (p.16) 5b), 6d) ; estudar o conceito de derivadas parciais (p.18-21).

Correcção dos trabalhos de casa. Derivadas parciais de ordens 1 e 2.

Correção do TPC sobre domínio, conjunto de nível e gráfico (pg. 16/17): Exerc. 1 – 4b), 5, 6a)c).
Derivadas Parciais. Exerc. 2 – 3 e 1a) (pg.27/28).
Plano tangente. Exerc. 2 – 4a) (pg. 28)
TPC: Exerc. 2 – 1, 2 e 4 (pg.27/28, concluir).

Funções de várias variáveis: domínio, contradomínio, gráfico, e conjuntos de nível. Exemplos e exercícios.

Derivadas parciais e interpretação geométrica.

Feriado.

Feriado.

Feriado.

Feriado

.

Correção do TPC sobre domínio, conjunto de nível e gráfico de funções de 2 variáveis (pg. 16/17): Exerc. 1 – 1a)b)c)e)f); 2a)b)e)g); 3 para g); 4a).
TPC: Conclusão dos Exerc. 1 - 1, 2, 3 e 4 (pg. 16 e 17). Exercícios adicionais do fenix sobre domínio e conjunto de nível.

Revisão TPC: Exercícios 1 (p.16) 1f), 2d)f) + 3 para essas alíneas. Ainda conjuntos de nível e gráficos de funções de duas variáveis: Exercícios 1 (p.16) 2 c)a)g) + 3 para a função da alínea 2g). Conjuntos de nível e gráficos de funções de 3 variáveis. O quadro-resumo para domínios, conjuntos de nível e gráficos de funções de k=1,2,3 variáveis. Exercícios 1 (p.16) 5a).  TPC: Exercícios 1 (p.16) 2b), 4a)b), 6a).

Correcção dos trabalhos de casa. Gráfico de uma função com duas variáveis. Conjuntos de nível. Contradomínio. Cónicas e quádricas.

Revisão TPC: Exercícios 1 (p.16) 2d)f) + 3 para essas alíneas. Ainda conjuntos de nível e gráficos de funções de duas variáveis: Exercícios 1 (p.16) 2 c)a)g) + 3 para a função da alínea 2g). Conjuntos de nível e gráficos de funções de 3 variáveis. O quadro-resumo para domínios, conjuntos de nível e gráficos de funções de k=1,2,3 variáveis. Exercícios 1 (p.16) 5a), 6a).  TPC: Exercícios 1 (p.16) 2b), 4a)b), 6b)c)d).

Funções de várias variáveis: gráfico e conjuntos de nível. Revisão de cónicas e quádricas. Resolução de exercícios (pag.16 e 17): 1b), 1c), 1e), 2e), 2f), 2g), 3 e 4. Correcção do TPC: exercício de equações diferenciais (alínea b) dos exercícios adicionais. TPC: terminar exercícios 1 e 2.

Funções reais de várias variáveis. Domínio, conjunto de nível, contradomínio e gráfico: definição e exemplos.
TPC: Funções de várias variáveis: Exerc. 1 (pg. 16 e 17).
        Exercícios adicionais sobre domínio e conjunto de nível.

Revisão TPC: Exercícios 1.5 Equações Diferenciais 6, 11. Funções de várias variáveis: Exercícios 1 (p.16) 1a)b)c)e). Gráficos de funções de duas variáveis (Definição 1, p.6). Exemplos 6 e 7 (p.6 e 7). Conjuntos de nível de funções de duas variáveis: Definição 2, p.8. Exercícios 1 (p.16) 2e). TPC: Exercícios 1 (p.16) 1d)f), 2d)f) e 3 (no que respeita às funções das alíneas 2d)f)).

Funções de várias variáveis: domínio, gráfico e conjuntos de nível. Exemplos. Revisão de cónicas e quádricas. Resolução de exercícios (pag.16 e 17): 1b), 1c), 1e), 2e), 2f), 2g), 3. TPC: terminar exercícios 1 2 e fazer exercício 4.

Conclusão da matéria sobre equações diferenciais (crescimento exponencial e logístico). Funções reais de variás variáveis reais: motivação e exemplos.  Principais restrições ao domínio e exemplos. Conceitos de conjunto de nível, contra-domínio e gráfico de uma função de duas variáveis. 

TPC: exercício 1.1 

Funções reais de várias variáveis. Domínio, conjunto de nível, contradomínio e gráfico: definição e exemplos.
TPC: Funções de várias variáveis: Exerc. 1 (pg. 16 e 17).
        Exercícios adicionais sobre domínio e conjunto de nível.

Revisão TPC: Exercícios 1.5 Equações Diferenciais 6, 11. Funções de várias variáveis: Exercícios 1 (p.16) 1a)b)c)e). Gráficos de funções de duas variáveis (Definição 1, p.6). Exemplos 6 e 7 (p.6 e 7). Conjuntos de nível de funções de duas variáveis: Definição 2, p.8. Exercícios 1 (p.16) 2e). TPC: Exercícios 1 (p.16) 1d)f), 2d)f) e 3 (no que respeita às funções das alíneas 2d)f)).

Correcção dos trabalhos de casa. Funções com duas e três variáveis. Domínio.

Funções de várias variáveis: domínio, contradomínio, gráfico, e conjuntos de nível. Exemplos e exercícios.

Resolução de equações com variáveis separáveis. Correção do TPC: exercícios 2, 4a), c)d), 5a) e 11. 

TPC: concluir todos as alíneas e problemas que faltam até ao 9 inclusivé  e os PVI da ficha suplementar de exercícios que pode ser descarregada aqui.

Correção do TPC sobre equações diferenciais. Exerc. 4d)e)h), 5b), 6 e 11.
Modelo Malthusiano vs modelo logístico. Exerc. 13.

Exemplos de fenómenos modelados por equações diferenciais, formulação e resolução: exercícios 7, 8 (decaimento radiativo), e 13 (equação de Malthus e equação logística).

Revisão TPC: Exercícios EqDif 1.5 (p.19) 4h), 14a). Modelos populacionais: o modelo exponencial e o modelo logístico; as equações diferenciais e respectiva solução; condições iniciais. Exercícios EqDif 1.5 (p.19) 13, 7. Capítulo 3: Funções de várias variáveis. Definição, domínios. Exemplos 1 e 3 (p.4). TPC:  Exercícios EqDif 1.5 (p.19) 6, 11. Exercícios funções de várias variáveis: Exemplos 2, 4, 5 (p.4).

Correcção dos trabalhos de casa. Equações diferenciais com variáveis separáveis.

Correção do TPC sobre equações diferenciais. Exerc. 4d)e)h), 5b), 6 e 11.
Modelo Malthusiano vs modelo logístico. Exerc. 13.

Revisão TPC: Exercícios EqDif 1.5 (p.19) 4h), 14a). Modelos populacionais: o modelo exponencial e o modelo logístico; as equações diferenciais e respectiva solução; condições iniciais. Exercícios EqDif 1.5 (p.19) 13, 7. Capítulo 3: Funções de várias variáveis. Definição, domínios. Exemplos 1 e 3 (p.4). TPC:  Exercícios EqDif 1.5 (p.19) 6, 11. Exercícios funções de várias variáveis: Exemplos 2, 4, 5 (p.4).

Correcção do TPC: exercícios de equações diferenciais (1.5, pág.19): 3b) e 3 f). Equações diferenciais com variáveis separáveis: método de resolução e exemplos. Resolução de exercícios (1.5, pág.19): 4a), 4b), 4g), 4h) e 4i). TPC: concluir exercício 4 e fazer exercício 5.

Correcção do TPC: exercícios de equações diferenciais (1.5, pág.19): 3b) e 3 f). Equações diferenciais com variáveis separáveis: método de resolução e exemplos. Resolução de exercícios (1.5, pág.19): 4a), 4b), 4g), 4h), 4i), 5a) e 5b)(incompleto). TPC: concluir exercícios 4 e 5.

Correção do TPC: Exerc. 1a), 2 e 3b)c)f).
Equações com variáveis separáveis. Exemplos. Exerc. 4a)
TPC: Conclusão dos Exerc. 3 e 4. Exerc. 5 (pg. 19/20).
        Exercícios adicionais sobre PVI no fenix.

Revisão TPC: Exercícios 1.5 (p.19) 3a)d). Mais exercícios: Exercícios 1.5 (p.19) 2. Equações diferenciais com variáveis separáveis (p.9): definição; soluções constantes; a mnemónica para outras soluções. Soluções na forma implícita. Exemplo 8 (p.10). Exercícios 1.5 (p.19) 4a)b)c)e), 5a), 10. TPC: Exercícios 1.5 (p.19) 4f)h), 5b), 14a), 9.

Correção do TPC (exercícios 1a)c)). Ainda a resolução de equações diferenciais lineares de 1ª ordem pelo método do factor integrante: exemplos e resolução das alíneas 3a)b)c) e do problema 8. Resolução de equações com variáveis separáveis.

TPC: 1b), 2, 3d)e)f), 4a) (como equação linear e separável), e problemas 6,7,9 e 11. 

Método de resolução de equações diferenciais de 1ª ordem de variáveis separáveis.

Exercícios.

Correção do TPC: Exerc. 1a), 2 e 3b)c)f).
Equações com variáveis separáveis. Exemplos. Exerc. 4a)
TPC: Conclusão dos Exerc. 3 e 4. Exerc. 5 (pg. 19/20).
        Exercícios adicionais sobre PVI no fenix.

Revisão TPC: Exercícios 1.5 (p.19) 3a)d)e). Mais exercícios: Exercícios 1.5 (p.19) 2. Equações diferenciais com variáveis separáveis (p.9): definição; soluções constantes; a mnemónica para outras soluções. Soluções na forma implícita. Exemplo 8 (p.10). Exercícios 1.5 (p.19) 4a)b)c)e), 5a), 10. TPC: Exercícios 1.5 (p.19) 4f)h), 5b), 14a), 9.

Resolução de exercícios.

Equações diferenciais: introdução e exemplos. As equações lineares de 1ª ordem: método de resolução e exemplos. Resolução de exercícios (1.5, pag.19): 2, 3a), 3d) e 3e). TPC: exercício 1 e terminar exercício 3.

Introdução às equações diferenciais: introdução, exemplos. Modelos de decaímento radioativo, de von Bertalanffy e Malthusiano. Exerc. 1c) (pg. 19).
Resolução de equações lineares de 1ª ordem. Exemplo. Exerc. 8 (pg. 21), Exerc. 3a) (pg.19).
TPC: Exerc. 1a), 2 e 3 (pg. 19).

Equações diferenciais: introdução e exemplos. As equações lineares de 1ª ordem: método de resolução e exemplos. Resolução de exercícios (1.5, pag.19): 2, 3a), 3d) e 3e). TPC: exercício 1 e terminar exercício 3.

Equações diferenciais: introdução e exemplos.

Dedução da lei da queda de graves a partir da segunda lei de Newton.

Método de resolução de equações diferenciais de 1ª ordem lineares.

Exercícios.

Equações diferenciais. Motivação, terminologia e formulação de problemas. Resolução de equações diferenciais lineares de 1ª ordem pelo método do factor integrante.

TPC: Exercícios 1 (pág. 19) das folhas equações diferenciais.

Equações Diferenciais: conceitos introdutórios e terminologia. Os 3 tipos de taxas de variação. Exemplos 1 e 2 (p.4) Decaimento radioactivo e equação de von Bertalanffy. Exercícios 1.5 (p.19) 1 a)c). As EDs lineares de primeira ordem: forma canónica, factor integrante e forma de resolução. Exemplo 6 (p.8). Exercícios 1.5 (p.19) 3 b)c)f), 8. TPC: Exercícios 1.5 (p.19) 1 b), 3 a)d)f).

Introdução às equações diferenciais: introdução, exemplos. Modelos de decaímento radioativo, de von Bertalanffy e Malthusiano. Exerc. 1c) (pg. 19).
Resolução de equações lineares de 1ª ordem. Exemplo. Exerc. 8 (pg. 21), Exerc. 3a) (pg.19).
TPC: Exerc. 1a), 2 e 3 (pg. 19).

Equações diferenciais. Equações ordinárias de ordem 1 lineares.

Equações Diferenciais: conceitos introdutórios e terminologia. Os 3 tipos de taxas de variação. Exemplos 1 e 2 (p.4) Decaimento radioactivo e equação de von Bertalanffy. Exercícios 1.5 (p.19) 1 a)c). As EDs lineares de primeira ordem: forma canónica, factor integrante e forma de resolução. Exemplo 6 (p.8). Exercícios 1.5 (p.19) 3 b)c)f), 8. TPC: Exercícios 1.5 (p.19) 1 b), 3 a)d)f).

Esclarecimento de dúvidas para o 1º teste. 

Revisões.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios e esclarecimento de dúvidas: ex. 16.9, 11.6 e 11.9, 20.1 a) e c), ex. suplementares de Fórmula de Taylor (1, 6 c) e 9) e 1º teste de 2016/17 (tópicos de resolução dos ex. 1 - 5 e resolução do ex. 6).

Esclarecimento de dúvidas.
Resolução do 1º teste de 2016/17.

Correção do TPC (resolução de exercícios sobre o integral impróprio) e de exercícios do 1º teste do ano de 2017/18. Esclarecimento de dúvidas para o 1º teste. 

Esclarecimento de dúvidas.

Aula de preparação para o teste. Revisão TPC: Exercícios 14 (p.70) 6 ; Exercícios 16 (p.75) 2, 9. Resolução completa do primeiro teste de 2016-17.

Esclarecimento de dúvidas.
Resolução do 1º teste de 2016/17.

Revisões,

Correcção dos trabalhos de casa.

Integral impróprio – exemplos.
Correção do TPC: Exerc. 14 (pg. 70), Exerc. 16 (pg. 75).
Nota: Não é lecionada a matéria a partir da pág. 76.
TPC: Exerc. 20 (pg. 79 a 82) exceto 7 e 13c). Resolver o 1º teste de 2016-17 (Fenix, Secção AVALIAÇÃO: INFO ATUALIZADA)
AVISO: É obrigatória a inscrição para o teste, até dia 11 de abril, através do Fénix.

Correcção do TPC (Ex. 14: 1,2,3,4 e 6; ex. 16: 1 e 5). Esclarecimento de dúvidas. TPC: ex. 20 (excepto 20.7 e 20.13 c))(texto de apoio, pags. 79-82).

Correção do TPC: exercícios 14.2, 14.3 e 14.4 e alínea 2b) do 1º teste de 19/4/2017.  

Integrais impróprios de 1ª e 2ª espécie. Exemplos e resolução do exercício 16.2. 

TPC: concluir todos os exercícios até ao 20 (inclusivé), excepto 13, 18, 19 e 20.7. 

Integrais impróprios em ]-∞,+∞[. Exemplos e exercícios.

Integrais impróprios em ]a,b[. Exemplos e exercícios.

Exercícios sobre integrais indefinidos.

Integral impróprio – exemplos.
Correção do TPC: Exerc. 14 (pg. 70).
Nota: Não é lecionada a matéria a partir da pág. 76.
TPC: Exerc. 20 (pg. 79 a 82) exceto 7 e 13c). Resolver o 1º teste de 2016-17 (Fenix, Secção AVALIAÇÃO: INFO ATUALIZADA)
AVISO: É obrigatória a inscrição para o teste, até dia 11 de abril, através do Fénix.

Correção do TPC: exercícios 14.2 (conclusão), 14.3, 14.4 e 14.6. 

Integrais impróprios de 1ª e 2ª espécie. Exemplos e resolução dos exercícios 16.2, 16.3 e 16.7. 

TPC: concluir todos os exercícios até ao 20 (inclusivé), excepto 13, 18, 19 e 20.7. 

Integrais impróprios. Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa.

Revisão TPC: Exercícios 12  (p.60) 2, 3. Exercícios 14 (p.70) 1, 2, 3. Resolução dos Exercícios 14 (p.70) 5 e Exercícios 16 (p.75) 1, 5. Integrais duplamente impróprios e como lidar com eles. Exercícios 16 (p.75) 7, 9 (acabar em TPC). TPC: Exercícios 14 (p.70) 6. Exercícios 16 (p.75) 2,3,4,6. Exercícios 17 (p.75). Exercícios 20 (p.79) 1c)d), 2, 3, 4, 6.

Correção do TPC: 10.3 (pág. 42) e 12.1c) (pág 60) e  exemplos adicionais de cálculos de áreas. Integral indefinido: conceito, exemplos e propriedades fundamentais. Resolução do exercício 14.2 da pág (69/70) e da alínea 2b) do 1º teste de 19/4/2017.  

TPC: concluir as alíneas dos exerc. 11 (pág. 56), 12 (pág. 60), 14 (pág. 69/70) e 20 alíneas 1,2,3,4,5 e 15 (pág. 79).

Integral indefinido e integral impróprio. Propriedades do integral indefinido.

Integral indefinido. Definição e propriedades. Resolução de exercícios.

Correção do TPC: 10.3 (pág. 42) e 12.1c) (pág 60) e  exemplos adicionais de cálculos de áreas. Integral indefinido: conceito, exemplos e propriedades fundamentais. 

TPC: concluir as alíneas dos exerc. 11 (pág. 56), 12 (pág. 60), 14 (pág. 69/70) e 20 alíneas 1,2,3,4,5 e 15 (pág. 79).

Correção do TPC: Exerc. 11 – 12 (pg.56); Exerc. 12 – 1d)f), 2 (pg. 60).
Integral indefinido: definição, propriedades e exemplos. Exerc. 14 – 4 (pg. 70).
Integral impróprio – definição e exemplos.
TPC: Concluir Exerc. 14 (pg. 70); Exerc. 16 e 17 (pg.75).

Aviso: É obrigatória a inscrição para o teste, até dia 11 de abril, através do Fénix.

Correcção do TPC (Ex. 12.1 d) e), 2). Integral indefinido: definição e propriedades (monotonia, continuidade e derivabilidade). Exemplos. Integral impróprio: definição, os diferentes tipos e exemplos. Integrais duplamente impróprios. TPC: Calcular a área das seguintes regiões: a) \(\{(x,y)\in R^2: y\ge x^2, y\ge (x-2)^2, x+y\le 4\}\); b)\(\{(x,y)\in R^2: x\ge 0, y\ge x, y\le 4x, y\le 1/x \}\); ex. 14 (texto de apoio pag. 70); exs. 16, 17 (texto de apoio, pag. 75).

Exercícios: cálculo de áreas de regiões delimitadas pelo gráfico de funções.

Integral indefinido: definição e propriedades. Exemplos e exercícios.

Prova de que ln(ab) = ln(a) + ln(b) para a,b > 0.

Exemplos de funções elementares sem primitiva elementar.

Correção do TPC: Exerc. 11 – 12 (pg.56); Exerc. 12 – 1d)f), 2 (pg. 60).
Integral indefinido: definição, propriedades e exemplos. Exerc. 14 – 4 (pg. 70).
Integral impróprio – definição.
TPC: Concluir Exerc. 14 (pg. 70); Exerc. 16 e 17 (pg.75).

Aviso: É obrigatória a inscrição para o teste, até dia 11 de abril, através do Fénix.

Integral indefinido e integral impróprio. Propriedades do integral indefinido.

Férias da Páscoa.

Férias da Páscoa.

.

Férias da Páscoa

Férias da Páscoa. 

Férias da Páscoa.

Férias da Páscoa

Férias da Páscoa.

Férias da Páscoa.

Não houve aulas

Férias da Páscoa. 

Férias da Páscoa.

Férias da Páscoa.

Férias da Páscoa

Férias da Páscoa

Férias da Páscoa.

Férias da Páscoa.

Não houve aulas

.

Férias da Páscoa.

Correcção dos trabalhos de casa.

Correção do TPC: Exerc. 11 (pg 56) sobre integral definido.
Integração por substituição. Exemplos.
Áreas de regiões definidas pelos gráficos de duas funções. Exemplo. Exerc. 12 – 1a)b) (pg. 60).
TPC: Exerc. 11 – 12 (pg 56); concluir Exerc. 12 – 1, 2 e 3 (pg. 60).

Propriedades do integral definido e convenções. Integração por substituição. Resolução de exercícios. Aplicação do cáculo integral ao cálculo de áreas. Resolução de exercícios (ex. 12 - 1. a) b)). TPC: exs. 11 e 12 (texto de apoio, pags. 56, 60).

Correção do TPC. Classes de funções integráveis (funções limitadas com um número finito de descontinuidades) e propriedades do integral definido (linearidade, monotonia e aditividade do integral). Teorema fundamental do cálculo integral. Integração por substituição. Exemplos e resolução dos exercícios 11.7 e 11.12 (pág. 56). Aplicação do integral definido ao cálculo de áreas. Exemplos e resolução dos exercícios 12.1a)b) da pág. 60. 

TPF: concluir as alíneas dos exercícios sobre limites, Taylor e primitivas (até 10.2), e as alíneas dos exercícios sobre integrais 11 e 12 das folhas. Fichas adicionais sobre limites, Taylor e primitivas que podem ser encontrados na Secção Material de Apoio e o 1º teste de 2016-17 excepto alíneas 2b), 4 e 6, que pode ser encontrado na Secção Ano 2016-2017|Avaliação Info Actualizada. Podem encontrar aqui um esquema sobre primitivas que foi feito com a ajuda de duas alunas da turma 7. 

Motivação do integral definido.

Integral por substituição.

Cálculo de integrais definidos

Cálculo de áreas de regiões delimitadas pelo gráfico de funções.

Cálculo de áreas. Resolução de exercícios.

Correção do TPC: Exerc. 11 (pg 56) sobre integral definido.
Integração por substituição. Exemplos.
Áreas de regiões definidas pelos gráficos de duas funções. Exemplo. Exerc. 12 – 1a)b) (pg. 60).
TPC: Exerc. 11 – 12 (pg 56); concluir Exerc. 12 – 1, 2 e 3 (pg. 60).

Correção do TPC. Classes de funções integráveis (funções limitadas com um número finito de descontinuidades) e propriedades do integral definido (linearidade, monotonia e aditividade do integral). Teorema fundamental do cálculo integral. Integração por substituição. Exemplos e resolução dos exercícios 11.7 e 11.12 (pág. 56). Aplicação do integral definido ao cálculo de áreas. Exemplos e resolução dos exercícios 12.1a)b) da pág. 60. 

TPF: concluir as alíneas dos exercícios sobre limites, Taylor e primitivas (até 10.2), e as alíneas dos exercícios sobre integrais 11 e 12 das folhas. Fichas adicionais sobre limites, Taylor e primitivas que podem ser encontrados na Secção Material de Apoio e o 1º teste de 2016-17 excepto alíneas 2b), 4 e 6, que pode ser encontrado na Secção Ano 2016-2017|Avaliação Info Actualizada. Podem encontrar aqui um esquema sobre primitivas que foi feito com a ajuda de duas alunas da turma 7. 

Correcção dos trabalhos de casa.

Convenções no cálculo integral (p.51). Exercícios 11 (p.56) 4,5,6,8. A integração por partes. A integração por substituição (Proposição 3.6, p.55). Exercícios 11 (p.56) 9, 12, 7. Cálculo de áreas definidas pelo gráfico de 2 funções (p.57). Exercícios 12 (p.60) 1a)b)c) + um exercício extra. TPC: Exercícios 11 (p.56) 1,2,3,10,11 ; Exercícios 12 (p.60) f) ; Exercícios 20 (p.79) 1a)b), 2a)b)c).

Primitivação por substituição e resolução dos exercícios 8.1, 8.2,  8.3  e 8.4 da pág. 36; correção do TPC:  9.1, 9.2 e 9.4 da pág. 40; exemplos.

Cálculo integral: motivação, somas de Riemann e interpretação geométrica. 

TPC: concluir todas as alíneas que faltam até ao fim do 10.2 excepto 10.2.VII (pág. 42) e ficha suplementar de primitivas que pode ser descarregada aqui. 

Correcção dos trabalhos de casa. Cálculo Integral. Integral definido. Fórmula fundamental do Cálculo Integral. Cálculo de áreas. T.P.C. Exercícios 11, Exercícios12 1.a) b) d) 2. 3.

Correção do TPC:  8.1, 8.2 e 8.3  da pág. 36, 9.1, 9.2 e 9.4 da pág. 40 e exemplos.

Cálculo integral: motivação, somas de Riemann e interpretação geométrica. 

TPC: concluir todas as alíneas que faltam até ao fim do 10.2 (pág. 42) e ficha suplementar de primitivas que pode ser descarregada aqui.

Esclarecimento de dúvidas sobre primitivas.
Integral definido: definição, propriedades e convenções. Fórmula fundamental do cálculo integral.
Exemplos. Exercícios 11.
TPC: Conclusão dos Exerc. 11 (exceto 12, pg. 56).

Introdução ao cálculo integral. Integral definido. Propriedades. Teorema da média. Fórmula fundamental do cálculo integral. Integração por partes e por substituição.

Resolução de exercícios de primitivas. Integral definido: introdução (partição de um intervalo, norma de uma partição, somas de Riemann, definição de integral de Riemann). Fórmula fundamental do cálculo integral. TPC: calcular \(\int_0^{2\pi} sin x dx\) e estudar as propriedades do integral definido.

Revisão TPC: Exercícios 8 (p.36) 4 ; Exercícios 10 (p.42) 2n)s)u).  Ainda a primitivação de funções racionais: Exercícios 9 (p.40) 3, 4. Um exercício extra: P(x-3)/(x^3+x). Pontas soltas de primitivação: Observação 2 (p.30), Teorema 2.2 (p.32). Capítulo 3 (p.47) o Cálculo Integral. Discussão introdutória, terminologia e notação. Exemplo 24 (p. 49). O casdo de funções negativas. Propriedades do integral definido: Proposições 3.1, 3.2 e 3.3 (p.49 e 50). Teorema 3.5 (Fórmula Fundamental do Cálculo Integral). Exemplos 25 (p.54) 3. TPC: Exercícios 10 (p.42) acabar o Ex. 2 ; Exemplos 25 (p.54) 1,2,4.

Revisão das propriedades da primitiva. Exemplos e exercícios.

Integral definido e fórmula de Barrow. Cálculo de integrais.

Correcção dos trabalhos de casa. Cálculo Integral. Integral definido. Fórmula fundamental do Cálculo Integral. Propriedades do integral definido. Cálculo de áreas.

Esclarecimento de dúvidas sobre primitivas.
Integral definido: definição, propriedades e convenções. Fórmula fundamental do cálculo integral.
Exemplos. Exercícios 11.
TPC: Conclusão dos Exerc. 11 (exceto 12, pg. 56).

Correcção dos trabalhos de casa. Primitivação por substituição.

Correção do TPC: exercícios sobre primitivas.
TPC: Conclusão dos exercícios sobre primitivas, incluindo os exercícios adicionais.

Correção do TPC (exerc. 3.3 e 10.1a)b)). Decomposição de funções racionais próprias em frações simples (caso das raízes reais múltiplas e raizes complexas simples). Primitivação por substituição.

TPC: exerc.  8 (pág 36), 9 (pág. 40) e concluir todas as alíneas que faltam do 10 (pág. 42).

Correcção do TPC (primitivação por substituição e de funções racionais). Esquema do método de primitivação de funções racionais. Resolução de exercícios de primitivação. TPC: terminar ex. 10 (texto de apoio, pag. 42-43); exercícios adicionais de primitivas.

Primitivação de funções racionais. Exemplos e exercícios.

Primitivação por substituição. Resolução de exercícios.

Correção do TPC: exerc. 7.2, 7.4. e 7.5 da pág 34 e 10.1 a), 10.2 m) e 10.2 n) da pág. 42. Primitivação de funções racionais próprias por decomposição em frações simples (caso das raízes reais simples e múltiplas e das raízes complexas simples).

TPC: exerc. 9 da pág. 40  e concluir as alíneas que faltam do 10.1 e  do 10.2 a) até I) (alínea a seguir w)) da pág. 42. 

Correção do TPC: exercícios sobre primitivas.
TPC: Conclusão dos exercícios sobre primitivas, incluindo os exercícios adicionais.

Correcção dos trabalhos de casa. Primitivação por substituição.

Revisão TPC: Exercícios 7 (p.34) 5 ; Exercícios 10 (p.42) 2b) c) e) f) g) h) i) k) m) o) p). Exercícios 8 (p.36) 1, 3. A primitivação de funções racionais: Teorema 2.7 (p.36) e 2.8 (p.38). Exemplo 19. Exercícios 9 (p.40) 1, 2. TPC: Exercícios 8 (p.36) 4,5 ; Exercícios 10 (p.42) 2 l) n) q) r) s) t) u) x) y) w) I) II) VII).

Correção do TPC (Exercícios 6.3, 6.6, 6.9 e 6.10 da pág. 30). Primitivação por partes. Decomposição de uma função racional imprópria como soma de um polinómio e de uma função racional própria. 

TPC: exerc 7 (pág. 34) e exercícios 10.1 e 10.2a) até x) da pág. 42.

Correcção dos trabalhos de casa.Primitivação de funções racionais. Trabalhos para casa: Sebenta - Exercícios 9, 19- 2 até ao w).

Decomposição de funções racionais. Resolução de exercícios.

Correção de parte do TPC - exercícios sobre primitivação.
Primitivação de funções racionais. Exemplos.
TPC: Exerc. 7 – 5 (pg. 35); Exerc. 9 (pg. 40); Exerc. 10 – 2 (restantes) (pg. 42).
Exercícios adicionais sobre primitivas.

Correção do TPC (exerc. 7 da pág. 34). Decomposição de funções racionais próprias como soma de frações simples pelo método dos coeficientes indeterminados: caso das raízes reais simples.

TPC:  exercícios 10.1 e 10.2a) até y) da pág. 42.

Correcção do TPC (primitivas imediatas e por partes). Resolução de exercícios (primitivação por substituição). Funções racionais: classificação e decomposição na soma de um polinómio e de uma função racional própria. Definição de fracção simples e decomposição de uma função racional própria em frações simples. TPC: exs. 8 e 9 (texto de apoio, pags. 36 e 40).

Revisão TPC: Exercícios 6 (p.30) 10 ; Exercícios 10 (p.42) 1c). "Demonstração de 0=1". Mais primitivas: Exercícios 10 (p.42)2 d) j). A primitivação por partes (Proposição 2.5, p.33). Exemplos 17 (p.34) 1, 2, 3, 4. Exercícios 7 (p.34) 1, 2, 3, 4. A primitivação por substituição (Proposição 2.6, p.35). Exemplos 18 (p.35) 1,2,3. TPC:  Exercícios 7 (p.34) 5. Exercícios 10 (p.42) 2 b) c) h) m) o) v) VII).

Exercícios: cálculo de primitivas imediatas e por partes. Heurísticas.

Divisão de polinónios.

Funções racionais e primeiros exemplos de decomposição em funções racionais próprias simples.

Primitivação por substituição. Prova, exemplos e heurísticas.

Correção de parte do TPC - exercícios sobre primitivação.
Primitivação de funções racionais. Exemplos.
TPC: Exerc. 7 – 5 (pg. 35); Exerc. 9 (pg. 40); Exerc. 10 – 2 (restantes) (pg. 42).
Exercícios adicionais sobre primitivas.

Correcção dos trabalhos de casa.Primitivação de funções racionais. Trabalhos para casa:

Primitiva de uma função: definição; família das primitivas. Funções primitiváveis. Primitiva da soma, do produto escalar e do produto de duas funções. 

Correcção do TPC (primitivas imediatas). Primitivação por partes e por substituição. Resolução de exercícios de primitivação por substituição. TPC: ex. 7 (texto de apoio, pags. 34-35); ex. 10 - 2. d) a v) (texto de apoio, pag. 42).

Correção do TPC (Exercício 6 da pág. 30). Primitivação por partes. Decomposição de uma função racional imprópria como soma de um polinómio e de uma função racional própria. 

TPC: exerc 7 (pág. 34) e exercícios 10.1 e 10.2a) até v) da pág. 42.

Correção do TPC - exercícios sobre primitivação: Exerc. 6  (pg. 30); Exerc. 10 – 1a)b) (pg. 42). Propriedades de primitivas.
Primitivação por partes. Demonstração e exemplos.
Primitivação por substituição. Exemplos.
TPC: Exerc. 7- 1)2)3)4) (pg. 34/35); Exerc. 8 (pg. 36); Exerc. 10 – 2 a) a v) e 3 (pg. 42/43).

Exercícios: cálculo de primitivas imediatas e heurísticas.

Primitivação por partes. Prova, exemplos, heurísticas, e exercícios.

Correção do TPC (exerc 3.9 pág. 16). 

Primitivação: definição, exemplos, constantes de primitivação e problemas de valores iniciais. Primitivas imediatas que envolvem a derivada da função composta.  

TPC: exerc 6 da pág. 30 e 10.1, 10.2a) até n) excepto h) e i) da página 42. 

Correção do TPC - exercícios sobre primitivação: Exerc. 6  (pg. 30); Exerc. 10 – 1a)b) (pg. 42). Propriedades de primitivas.
Primitivação por partes. Demonstração e exemplos.
Primitivação por substituição. Exemplos.
TPC: Exerc. 7- 1)2)3)4) (pg. 34/35); Exerc. 8 (pg. 36); Exerc. 10 – 2 a) a v) e 3 (pg. 42/43).

Primitivação da soma e primitivação por partes. Funções racionais. Resolução de exercícios.

Primitiva de uma função: definição; família das primitivas. Funções primitiváveis. Primitiva da soma, do produto escalar e do produto de duas funções. 

Revisão TPC: Exercícios 3 (p.15) 6,9. Primitivas: Exercícios 6 (p.30) 1 até 8. Propriedades operatórias de primitivas: Proposições 2.3 e 2.4 (p.33). Exemplos 15 e 16 (p.33) Teorema 2.1 (p.31) e sua interpretação gráfica. Exemplos 14 (p.31) 1,2. Exercícios 10 (p.42) 2a).  TPC: Exercícios 6 (p.30) 9,10 ;  Exercícios 10 (p.42) 1, 2e)f)g)i) ; ver a "demonstração que 0=1".

Correção do TPC (3.2b)c)e) e  3.3 da pág. 15). Resto de Lagrange. Interpretação geométrica do resto de Lagrange no caso n=0.  Exemplos e resolução dos exercícios 3.6, 3.7 e 3.8 (pág. 15). 

TPC: 3.5 e 3.9 da pág. 15 e exercícios 1 até ao 7 da ficha suplementar de exercícios sobre a fórmula de Taylor que pode ser descarregada aqui.

Correcção dos trabalhos de casa. Comparar uma função não polinomial com o polinómio de Taylor.  Escrever um polinómio como soma de potências de (x-a). TPC: Acabar a ficha FTaylor; Exercício 3 da Sebenta.

Correção do TPC: exercícios sobre fórmula de Taylor e de MacLaurin com resto de Lagrange (Exerc. 3 – 3, 5, 7 e 9, pg. 15/16).
Primitivação: definição e teorema 2.1. Exemplos de problemas de valor inicial. Primitivas imediatas. Exemplos.
TPC: Exerc. 6 (pg. 6) e Exerc. 10 – 1a)b (sem calcular primitivas, pg. 42).

Primitivas. Definição. Primitivas imediatas. Problemas com valores iniciais. Resolução de exercícios.

Exemplificação do resto de Taylor para levantar indeterminações: exercício 9b) das folhas de exercícios suplementares. 

Primitivação: definição, exemplos, constantes de primitivação e propriedades operatórias que decorrem das propriedades das derivadas. Primitivas imediatas que envolvem a derivada da função composta.  Problemas de valores iniciais. 

TPC: exercício 6 da pág. 30 e exercícios 10.1 e 10.2a) até n) da pág. 42. Exercícios suplementares sobre a fórmula de Taylor que pode ser descarregada aqui. 

Correcção do TPC. Primitivas: definição e propriedades. Resolução de exercícios. TPC: ex. 6 (texto de apoio, pag. 30); ex. 10, 1, 2 a) b) c), 3 (texto de apoio, pag. 42-43).

Revisão TPC: Exercícios 3 (p.15) 2e), 3, 4. O Resto de Lagrange: Teorema 1.4 (p.14); Exercícios 3 (p.15) 8, 5, 7. Primitivas: Definição 1 (p.29). Exemplos 13 (p.29). Tabela de primitivas imediatas (p.44). TPC: Exercícios 3 (p.15) 2a)c), 6, 9. Estudo da tabela de primitivas imediatas.

Fórmula de Taylor e resto de Lagrange. Exercícios.

Primitivas: definição e propriedades. Exercícios: cálculo de primitivas imediatas.

Correção do TPC: exercícios sobre fórmula de Taylor e de MacLaurin com resto de Lagrange (Exerc. 3 – 3, 5, 6, 7 e 9, pg. 15/16).
Primitivação: definição e teorema 2.1. Exemplos de problemas de valor inicial. Primitivas imediatas. Exemplos.
TPC: Exerc. 6 (pg. 30) e Exerc. 10 – 1a)b (sem calcular primitivas, pg. 42).

Correcção dos trabalhos de casa. Comparar uma função não polinomial com o polinómio de Taylor.  Escrever um polinómio como soma de potências de (x-a). 

Correcção dos trabalhos de casa. Resto de Lagrange. Erro de aproximação. TPC Ficha FTaylor: 1d) 2c) 8).

Fórmula de Taylor (e de MacLaurin) com resto de Lagrange. Correcção do TPC. Resolução de exercícios (Exercícios 3: 1, 3, 4, 5 e ex. 2 do exame). TPC: terminar ex. 2 do exame; exercícios 3 (texto de apoio, pags. 15-16): 6, 7, 8 e 9; Determinar os polinómios de MacLaurin de ordem 3,5 e 7 da função f(x) = sinx. Utilizando a calculadora gráfica, compare os gráficos das 4 funções (f e os 3 polinómios anteriores) perto da origem.

Correção do TPC: Exerc. 3- 1, 2, 4 (pg. 15).
Resto de Lagrange. Exemplos.
TPC:  Concluir Exerc. 3 (pág. 15/16). Exercícios adicionais sobre fórmula de Taylor.

Fórmula de Taylor e resto de Lagrange. Exemplos e exercícios.

Fórmula de Taylor e de Mac Laurin com resto de Lagrange.

Resolução dos exercícios 5, 6, 7, 8 e 9.

Fórmula de Taylor e de Mac Laurin com resto de Lagrange. Resolução de exercícios.

Correção do TPC: Exerc. 3- 1, 2, 4 (pg. 15).
Resto de Lagrange. Exemplos.
TPC:  Concluir Exerc. 3 (pág. 15/16). Exercícios adicionais sobre fórmula de Taylor.

Correcção dos trabalhos de casa. Resto de Lagrange. Erro de aproximação.

Correção do TPC sobre limites. Fórmulas de Taylor/MacLaurin com resto de Taylor. Propriedades e exemplos.

TPC: concluir as alíneas dos exerc. 3.1,3.2, 3.3 e 3.4 (pág 15)

Revisão TPC: Exercícios 2 (p.8) 1 g) b) h) j). Fórmula de Taylor (Teorema 1.3, p.13): os polinómios de grau n, o resto de ordem n, e as suas propriedades. Notação e terminologia. Exemplo 6 (p.12), Exemplos 7 (p.13) 3a)c). Exercícios 3 (p.15) 1, 2 b) d). TPC: Exercícios 3 (p.15) 2 e), 4, 3.

Aproximação de funções por polinómios: motivação. Aproximação de uma função por um polinómo de 1º grau (reta tangente) e por um polinómio de 2ª grau (parábola tangente). Aproximação de funções por polinómios de grau n: fórmula de Taylor/Maclaurin. Exemplos. 

TPC: concluir os exercícios sobre limites incluindo o exercício 2.2 da página 9. Exercícios 3.1, 3.2 e 3.4 (pág. 15).

Correcção dos trabalhos de casa. Polinómio de Taylor. Fórmula de Taylor. TPC: Ficha da Fórmula de Taylor - 2a) b), 3 a), 4 a) 5, 6a) b).

Correção do TPC: exercícios sobre limites e indeterminações.
Fórmula de Taylor e de MacLaurin. Exemplos.
TPC: Exerc. 3 – 1, 2, 4 (pg. 15).

Derivada de uma função. Equação da recta tangente ao gráfico de uma função num ponto. Derivadas de ordem superior à primeira. Polinómios de Taylor e de Mac Laurin.

Correcção do TPC (ex. 2-1). Polinómio de Taylor (e de MacLaurin). Fórmula de Taylor (e de MacLaurin).

TPC: Exercícios 3: 1., 2., 3., 4. (texto de apoio, pag. 15).

Correção do TPC: 2e)i)l)n)q) (pág 8). Aproximação de funções por polinómios: motivação.  Aproximação de uma função por um polinómo de 1º grau (reta tangente) e por um polinómio de 2ª grau (parábola tangente). Polinómio de Taylor de ordem arbitrária. 

TPC: exercícios 3.1, 3.2 (a=0) e 3.4 (pág. 15). 

Exercícios: cálculo de limites.

Prova da regra de Cauchy no caso 0/0 quando x → a finito, usando a derivada segundo Carathéodory.

Fórmula de Taylor e de MacLaurin.

Relação entre a derivada segundo Carathéodory e a fórmula de Taylor de ordem 1.

Exemplos e exercícios.

Revisão TPC: Exercícios 4 (p.22) 3c)e). As indeterminações do tipo potencia: 0^0, infinito^0, 1^infinito e a sua técnica de resolução. As indeterminações do tipo +infinito-infinito e a sua técnica de resolução. Exemplos 3 (p.7) 1, 2, 3(modificado). Exemplos 4(p.8) 1,2. Exercícios 2 (p.8) 1d) f) c) m) l) e) i) n). TPC: Exercícios 2 (p.8) 1 g) a) b) h) j) k).

Correção do TPC: exercícios sobre limites e indeterminações.
Fórmula de Taylor e de MacLaurin. Exemplos.
TPC: Exerc. 3 – 1, 2, 4 (pg. 15).

Correcção dos trabalhos de casa. Polinómio de Taylor. Fórmula de Taylor.

Correcão dos trabalhos de casa. Regra de Cauchy. Indeterminações +∞-∞, ∞⁰, 0⁰,1^∞. TPC: Terminar a ficha de limites, e os exercícios 1, 2 e 4 da sebenta.

Exemplos de indeterminações 0×∞. Correção do TPC. Proposição 1.2 (demonstração de 2).
Indeterminações 0⁰, ∞⁰, 1^∞ e ∞ − ∞. Exemplos.
TPC: Exerc. 2 - 1 e) - q) (pg. 8/9). Exercícios adicionais sobre limites.

Correção do TPC: 1.1 a)c)e)  (pág. 6), 2.1.c)f)j) (pág. 8) e 4.3 a)e)f).

Aplicação da regra de Cauchy para levantar indeterminações do tipo 0⁰,1^inf, inf⁰ e inf-inf.  

Aproximação de uma função por uma função linear: motivação e aplicação ao cálculo de um valor aproximado de sqrt(2). 

TPC: concluir as restantes alíneas dos exercícios referidos acima e ainda o exercício 2.2 da página 9. 

Regra de Cauchy. Levantamento de indeterminações 0⁰, ∞⁰, 1^∞, e ∞−∞.

Exercícios: cálculo de limites.

Exemplos de indeterminações 0×∞. Correção do TPC. Proposição 1.2 (demosntração de 2).
Indeterminações 0⁰, ∞⁰, 1^∞ e ∞ − ∞. Exemplos.
TPC: Exerc. 2 - 1 e) - q) (pg. 8/9). Exercícios adicionais sobre limites.

Novas indeterminações. Resolução de exercícios.

Correção do TPC: 1.1 a)c)e)  (pág. 6), 2.1.c)f)j) (pág. 8) e 4.3 a)e)f).

Aplicação da regra de Cauchy para levantar indeterminações do tipo 0⁰,1^inf, inf⁰ e inf-inf 

TPC: concluir as restantes alíneas dos exercícios referidos acima e  resolver o exercício 2.2 da página 9.

 (Esta aula foi lecionada nos dias 28 fevereiro e 1 de março, consoante a disponibilidade dos alunos).

Correcão dos trabalhos de casa. Regra de Cauchy. Indeterminações ∞⁰, 0⁰,1^∞. 

Revisão TPC: Exercícios 1 (p.7) b)c)e).  Três observações relativas à aplicação da Regra de Cauchy. Exercícios 4 (p.22) 3d)f). Proposição 1.2 (p.6) e sua demonstração (que é o exercício 2 do bloco de Exercícios 1, p.7). As indeterminações do tipo 0 x infinto e a forma de as levantar. Exemplos 2 (p.7) 1,2. Exercícios 4 (p.22) 3 a)b). TPC: Exercícios 4 (p.22) 3 c)e).

Conclusão da matéria sobre funções trignométricas inversas (funções arccos e arctg) e correção dos exercícios 4.1 e 4.2 a) (pág. 22). Aplicação da regra da derivada da função composta para a determinação da derivada de arctg. Regra de Cauchy para levantamento de inderterminações 0/0 ou inf/inf. Aplicação ao caso de indeterminações do tipo 0xinf. 

TPC: Exercício 1 (pág. 6), 2.1 a)b)c)d)f)j)o)p) e 2.2 (pág. 8) e 4.2 b)c) e 4.3 (pág. 22). 

Correcção dos trabalhos de casa. Regra de Cauchy. Indeterminação 0∞.

TPC: Ficha de limites 1,3,5,6,7,8,10,11,16,17,18,19,20,21,22. Texto de apoio Exercícios 2 1f).

Anexo [após validação] Mas que cálculos são estes? em https://fenix.isa.ulisboa.pt/qubEdu/disciplinas/anmat-0/2014-2015/2-semestre/lateral/masquecalculossaoestes

Cálculo de limites. Indeterminações. Regra de Cauchy. Resolução de exercícios.

Conclusão da matéria sobre funções trignométricas inversas e correção dos exercícios 4.1 e 4.2. (pág. 22). Revisões sobre derivadas e regra de derivação da função composta. Aplicação à determinação da derivada de funções inversas. Regra de Cauchy para levantamento de inderterminações 0/0 ou inf/inf. Aplicação ao caso de indeterminações do tipo 0xinf. 

TPC: Exercício 1 (pág. 6), 2.1a)b)c)d)f)j)o)p) e 2.2 (pág. 8) e 4.3 (pág. 22). 

Esclarecimento de dúvidas sobre derivadas. Resolução de exercícios sobre as funções inversas das funções trigonométricas. Exerc. 4 – 1, 2a)b) (pág. 22).
Regra de Cauchy para Indeterminações 0/0 e ∞/∞. Exemplos.
Indeterminações 0×∞.
TPC: Exerc. 1 – 1 (pg. 6/7); Exerc. 2 - 1a)b)c)d) (pg. 8); Exerc. 4 - 3 (pg.22).

Revisão TPC: Exercícios 4 (pg.22) 1e), 2c) e, na alínea 2a) verificação dos valores de x que asseguram que a função arc sin((x-1)/(x+1)) esteja bem definida. Matéria nova: as funções arco-cosseno e arco-tangente: propriedades e cálculo das derivadas. Exercícios 4 (p.22) 1b)f) 2b). Revisão das propriedades operatórias de limites e suas extensões. Revisão dos sete tipos de indeterminações que podem surgir, no cálculo de limites. A Regra de Cauchy (Teorema 1.1, p.4) para o levantamento de indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito. Exemplos (pg.5) 4) e 3). Exercícios 1 (p.7) 1d).

TPC: Exercícios 1 (p.7) 1a)b)e)c)

Correcção dos trabalhos de casa. Regra de Cauchy. Indeterminações 0∞ e +∞-∞.

Esclarecimento de dúvidas sobre derivadas. Resolução de exercícios sobre as funções inversas das funções trigonométricas. Exerc. 4 – 1, 2a)b) (pág. 22).
Regra de Cauchy para Indeterminações 0/0 e ∞/∞. Exemplos.
Indeterminações 0×∞.
TPC: Exerc. 1 – 1 (pg. 6/7); Exerc. 2 - 1a)b)c)d) (pg. 8); Exerc. 4 - 3 (pg.22).

Propriedades dos limites. Álgebra dos limites. Tipos de indeterminações: 0/0, ∞/∞, 0×∞, 0⁰, ∞⁰, 1^∞, e ∞−∞.

A derivada segundo Carathéodory e a melhor aproximação linear na vizinhança de um ponto.

Regra de Cauchy e interpretação geométrica.

Levantamento de indeterminações do tipo 0/0, ∞/∞, e 0×∞.

Exercícios: cálculo de limites.

Apresentação. Revisões sobre derivadas. Funções arcoseno, arcocoseno, arcotangente. TPC: Terminar a ficha de derivadas. Texto de apoio: Exercício 4 - 1 e 2.

Apresentação: regras de frequência e de avaliação e material de apoio.
Revisões sobre funções reais de variável real. Funções inversas das funções trigonométricas: arcsin, arccos, arctg. Derivada.
TPC: Exercícios adicionais de derivadas (fenix); Exerc. 4 – 1, 2 (pg.22).

Apresentação. Revisões sobre derivadas. Funções arcoseno, arcocoseno, arcotangente.

Apresentação da UC. Revisões sobre funções, injetividade e inversa de uma função. Funções secante e cossecante. As funções inversas trignométricas arco-seno e arco-cosseno

TPC: exercício 4.1 e 4.2 (pág. 22 das folhas da disciplina). Podem ainda resolver a ficha suplementar de derivadas que se encontra na secção material de apoio ou aqui (têm que se validar primeiro no Fénix). 

Apresentação: regras de frequência e avaliação.

Revisões sobre funções elementares: potências, seno, coseno, tangente, exponencial, arcseno, arccoseno, arctangente e logarítmo. Domínios, gráficos, e limites.

Definição de derivada. Interpretação cinemática e geométrica.

A derivada segundo Cathéodory.

Notação de Lagrange e de Leibniz. Regras de derivação.

Exercícios: cálculo de derivadas.

Apresentação da UC. Revisões sobre funções, injetividade e inversa de uma função. Funções secante e cossecante. A função inversa trignométrica arcoseno. 

TPC: ficha suplementar de derivadas que se encontra na secção material de apoio ou aqui (tem que se validar primeiro no Fénix). 

Revisões sobre funções reais de uma variável real. Funções trigonométricas inversas.

Resolução de exercícios.

Apresentação. Revisões sobre derivadas. Funções arcoseno, arcocoseno, arcotangente.

Apresentação: regras de frequência e de avaliação e material de apoio.
Revisões sobre funções reais de variável real. Funções inversas das funções trigonométricas: arcsin, arccos, arctg. Derivada.
TPC: Exercícios adicionais de derivadas (fenix); Exerc. 4 – 1, 2 (pg.22).

Apresentação da disciplina: página web da disciplina; programa; métodos de avaliação (incluindo datas dos testes) e frequência; horários de dúvidas; bibliografia e material de apoio; considerações gerais. Uma breve revisão de alguns conceitos importantes e de classes de funções elementares (polinomiais, racionais, de tipo exponencial, logaritmos, potência, trigonométricas). A função arco-seno: conceito e definição; principais propriedades; derivada. Exercícios 4 (pg.22) 1a)g)c)d), 2a). TPC: Exercícios 4 (pg.22) 1e), 2c). No 2a), confirmar quais os valores de x que garantem que (x-1)/(x+1) esteja no domínio da função arco-seno.