Revisões. Aula lecionada dia 27 de maio, em conjunto com a Turma 13. Esta aula foi antecipada para antes da realização do 2º teste, que decorreu a 29 de maio, a pedido dos alunos.

Aula antecipada para dia 28 de Maio. Resolução de exercícios e esclarecimento de dúvidas.

Aula realizada no dia 28/05 (8h15-10h45): Correcção do TPC e resolução de alguns exercícios suplementares de integrais duplos. Esclarecimento de dúvidas.

Esta aula foi substituída pela aula extra dada no dia 28.05.2015.

Aula dada a 27/05/2015.

Revisões. Aula lecionada dia 27 de maio, em conjunto com a Turma 10. Esta aula foi antecipada para antes da realização do 2º teste, que decorreu a 29 de maio, a pedido dos alunos.

Resolução do segundo teste (realizado dia 29/5/15).

Os alunos não compareceram à aula, o que é compreensível uma vez que a matéria já estava toda dada e os alunos tinham já realizado o 2º teste à UC no dia 29 de Maio.

Esta aula foi substituída pela aula extra dada no dia 26.05.2015.

Revisões.

Nota: esta aula foi lecionada dia 21 de maio; foi antecipada para antes da realização do 2º teste (29 de maio). 

Resolução de exercícios e esclarecimento de dúvidas.

Revisões.

Revisões.

Resolução de exercícios de revisão. Esclarecimento de dúvidas.

Revisões.

Revisões.

Aula de dúvidas.

Resolução de exercícios e dúvidas. Resolução do segundo teste de 2013-14 (30 de Maio de 2014). Resolução de Exercício Suplementar 5 de integrais duplos. Resolução de exercícios variados de equações diferenciais.

Revisões.

Esclarecimento de dúvidas sobre a matéria/exercícios para o 2º teste (a ocorrer dia 29 Maio).

Resolução de exercícios.

Esclarecimento de dúvidas em exercícios de testes e exames de anos letivos anteriores.

Aula de dúvidas.

Revisões.

Resolução de exercícios sobre integral duplo. Esclarecimento de dúvidas em exercícios de exames e testes de anos letivos anteriores.

AVISO: Na próxima quarta feira, dia 27 de maio, das 14h30 às 17h haverá uma aula extra para resolução de exercícios, na sala P22 (piso 0 do Pavilhão Anexo).

Resolução de exercícios sobre integral duplo: exercícios 4 e 6 das páginas 58 e 59, exercício 3 dos exercícios suplementares de integrais duplos. Esclarecimento de dúvidas.

AVISO: no dia 28/05 haverá uma aula extra de exercícios, das 8h15 às 10h45, na sala de aula das estufas da Botânica.

Resolução de exercícios de integrais duplos: exemplos 38 e 39, exercícios 4 (pgs.58-59) 5c), 8. Exercícios Suplementares de integrais duplos Ex. 1b).

Correcção dos trabalhos de casa. Aplicações dos integrais duplos.

Integral duplo. Mudança de variável para coordenadas polares. Exercícios.

Resolução de exercícios sobre integral duplo. Esclarecimento de dúvidas em exercícios de exames e testes de anos letivos anteriores.

AVISO: Na próxima quarta feira, dia 27 de maio, das 14h30 às 17h haverá uma aula extra para resolução de exercícios, na sala P22 (piso 0 do Pavilhão Anexo).

Resolução de exercícios de integrais duplos, cálculo de volumes e áreas: Exercícios 4 (pg.58) 5b), 6,7,8 e 9. Exercícios Suplementares de integrais duplos Ex. 2 e 3.

Correcção dos trabalhos de casa. Aplicações dos integrais duplos.

Correção do TPC. Conclusão da matéria sobre coordenadas polares. Aplicações do integral duplo ao cálculo de volumes (simples) e de áreas - fim da matéria.

Integral duplo: aplicação ao cálculo de volumes.

Resolução de exercícios.

Integral duplo: mudança de variável para cordenadas polares. Aplicações do integral duplo ao cálculo de volumes e de áreas. Exemplos. Resolução de exercícios (2º teste de 2013/14 - ex.6; ex.4 - 7). TPC: Texto de apoio Funções de Várias Variáveis ex. 4 (pags. 58-59): 6, concluir 7, 8 e 9. Exercícios adicionais.

Correcção dos trabalhos de casa. Integração com coordenadas polares.

Resolução de exercícios sobre integral duplo: Exerc. 4 - 4e), 5b).
Mudança de variável para cordenadas polares - exemplos. Exerc. 5c) em coordenadas polares.
Aplicações do integral duplo ao cálculo de volumes e de áreas. Exemplo 38 (pág. 53).
TPC: Exercícios dados na aula sobre mudança de variável para coordenadas polares. Concluir Exerc. 4. Exercícios adicionais.

Esclarecimento de dúvidas e resolução de exercícios de revisão para o 2º teste.

Integral duplo: mudança de variável para coordenadas polares. Resolução de exemplos. Aplicação do integral duplo no cálculo volumes e de áreas. Resolução de exemplos. Resolução de exercícios (4): ex. 5a) , 5c) e 9. TPC: exercícios 3, 4 e 6.

Resolução de exercícios sobre integral duplo: Exerc. 4 - 4e), 5b).
Mudança de variável para cordenadas polares - exemplos.
Aplicações do integral duplo ao cálculo de volumes. Exemplo 38 (pág. 53).
TPC: Concluir os exercícios dados na aula sobre mudança de variável para coordenadas polares. Exerc. 4 - 5a)c) (passar para coorenadas polares); Exerc. 4 - 6,7,8. Exercícios adicionais 1, 2 e 4.

Integral duplo em domínios elementares. Mudança da ordem de integração. Exercícios.

Coordenadas polares: conceito, fórmulas de conversão de/para coordenadas Cartesianas, descrição de alguns tipos de regiões do plano em coordenadas polares. Mudança de variáveis para coordenadas polares em integrais duplos. Exemplo 37 (pg.52), Exercícios 4 (pg.58) 5a)c).

Aplicação do integral duplo no cálculo de volumes de regiões em R^3 e áreas de regiões em R^2 (pgs.52 e 56). Exemplo 38 (pg.53) e Exemplo 40 (pg.57)

Correcção dos trabalhos de casa. Integração com coordenadas polares.

Correção do TPC. Resolução de exercícos sobre integrais duplos envolvendo a mudança na ordem de integração. Mudança de variável no integral duplo para coordenadas polares.

Integral duplo sobre domínios elementares (conclusão); troca da ordem de intefração.

Resolução de exercícios. 

Integral duplo: mudança de variáveis para coordenadas polares.

Exercícios sobre integral duplo: Exerc. 4 - 1c)d), 2a)c)d)e), 3, 4b).
TPC: Conclusão dos Exerc. 4 - 1, 2, 4, 5.

Correcção do TPC (ex. 4-1. a) d)). Propriedades do integral duplo. Dominios elementares de tipo I e de tipo II (definição). Integrais duplos em domínios elementares. Troca da ordem de integração em domínios elementares. Exemplos e resolução do ex. 4-3. TPC: Texto de apoio Funções de Várias Variáveis ex. 4 (pags. 58-59) 2, 4 e 5.

O integral duplo: conceito, domínios de integração rectangulares, propriedades e exemplos. Resolução de exercícios (4): ex.1c) e 1d). Domínios de integração elementares. Troca de ordem de integração. Resolução de exercícios (4): ex.2a), b), c) e d). TPC: terminar exercício 1.

Correcção dos trabalhos de casa. Integração em domínios não rectangulares.

Integral duplo em domínios retangulares. Mudança da ordem de integração. Exercícios.

Exercícios sobre integral duplo: Exerc. 4 - 1c)d), 2c)d)e), 3, 4b)c).
TPC: Conclusão dos Exerc. 4 - 1, 2, 4, 5.

Integrais duplos em domínios de integração elementares de Tipo I e de Tipo II (Definição 8, pg.44). Troca de ordem de integração quando os domínios de integração são simultaneamente elementares de Tipo I e de Tipo II. Exercícios 4 (pg.58) 2a)c)d), 4a)b)e), 3. TPC: Exercícios 4 (pg.58) 2b)e), 4c)d).

Correcção dos trabalhos de casa. Integração em domínios não rectangulares.

Integral duplo: motivação, teorema de Fubini para funções contínuas definidas em retângulos e algumas propriedades. Extensão do integral duplo aos domínios elementares (do tipo I e II). Resolução de exercícios. 

Resolução de exercícios de extremos livres de funções de 2 variáveis.

Integral duplo sobre domínios retangulares.

Resolução dos exercícios 3-2 e 3-4 (extremos livres). Integrais duplos em domínios rectangulares: definição, troca da ordem de integração e exemplos. TPC: Texto de apoio Funções de Várias Variáveis ex. 4 (pag. 58) 1.

Correcção dos trabalhos de casa. Estudo local de uma função com duas variáveis no caso do critério da matriz Hessiana ser inconclusivo na classificação de um ponto crítico. Integral duplo e sua interpretação geométrica no caso da função integranda ser não negativa. Integração em domínios rectangulares.

Esclarecimento de dúvidas sobre exercícios de Extremos.
Integral duplo sobre domínios retangulares: definição, propriedades e exemplos. Integral duplo sobre domínios elementares. Troca da ordem de integração.
TPC: Exerc. 4 - 1, 2.

Extremos de funções de várias variáveis. Resolução dos exercícios 3, 4 e 5 da pág. 38. Exercícios de revisão sobre domínio e conjuntos de nível de funções reais de várias variáveis. TPC: fazer exercícios restantes das páginas 16 e 28.

(Nota: aula dada no dia 12/05, sala S5)

Esclarecimento de dúvidas sobre exercícios de Extremos.
Integral duplo sobre domínios retangulares: definição, propriedades e exemplos. Integral duplo sobre domínios elementares. Troca da ordem de integração.
TPC: Exerc. 4 - 1, 2.

Integral duplo em domínios retangulares. Interpretação geométrica. Exercícios.

Ainda os extremos de funções de duas variáveis: Exercícios 3 (pg.38) conclusão do 1e)  e  2.

O integral duplo: conceitos introdutórios e propriedades gerais (pg.43), incluindo a aditividade do integral. Integrais duplos em domínios rectangulares alinhados com os eixos; a troca da ordem de integração em domínios rectangulares .Exercícios 4 (pg.58) 1a)c)d). TPC: alínea 1b). AVISO: A matéria de extremos de funções de 3 variáveis não será dada (pg.36 e Exercícios 3 (pg.38) 5).

Correcção dos trabalhos de casa. Integral duplo e sua interpretação geométrica no caso da função integranda ser não negativa. Integração em domínios rectangulares. TPC: Exercícios 4 -2d); 4a)d); 5)a)b).

Correção do TPC. Resolução de exercícios sobre extremos livres.

Extremos livres de funções de duas e três variáveis: definição, pontos críticos e critério da matriz Hessiana. 

Resolução de exercícios.

[Aula extraordinária de substituição do feriado do dia 1 de Maio]

Revisão das curvas cónicas e introdução às superfícies quádricas (apêndices A e B). Correcção do TPC da semana anterior (ex. 1 - 1 e)f)g) e 5).  Resolução do exercício de extremos livres (3 - 2 a)).

Resolução de exercícios sobre Extremos livres. Exerc. 3 - 1a)b)c)e), 2a).
TPC: Concluir Exerc. 3.

Correcção dos trabalhos de casa. Extremos locais: definição e pontos críticos. Critério da matriz Hessiana para classificar os pontos críticos de funções com duas variáveis.

Extremos de funções de várias variáveis. Correcção do TPC (ex.1b), 1c), 1d) e 1e)) e resolução do exercício 2 da pág. 38.

(Nota: aula dada no dia 11/05, sala 47)

Extremos livres de funções de 2 variáveis. Definição de extremo, ponto critico e ponto de sela. Critério da Hessiana. Resolução de exercícios. TPC: Texto de apoio Funções de Várias Variáveis ex. 3 (pag. 38) 1 e 3.

Classificação de extremos livres de funções de 2 variáveis. Critério da matriz Hessiana. Exercícios.

Resolução de exercícios sobre Extremos livres. Exerc. 3 - 1, 2.
TPC: Concluir Exerc. 3.

Extremos em funções de duas variáveis. As definições de extremos (Def. 5, pg.29), ponto crítico (Def.6, pg.31) e ponto de sela (Def.7, pg.32). Condição necessária para a existência de extremos locais. O Critério da matriz Hessiana para a classificação de pontos críticos. Exercícios 3 (pg.38) 1a)b)e) (a alínea e) não foi concluída). TPC: Exercícios 3 (pg.38) 1c)d), 3, 4.

Correção do TPC. Extremo local/ponto sela. Ponto crítico e sistema de estacionaridade. Matriz hessiana e critério da matriz Hessiana (para funções de 2 variáveis) para a determinação da natureza dos pontos críticos de uma função. Exemplos. TPC: 3.1. a)b)c).

Correcção dos trabalhos de casa. Critério da matriz Hessiana para classificar os pontos críticos de funções com duas variáveis. Estudo local no caso do critério ser inconclusivo.

Vetor gradiente; matriz Jacobiana e matriz Hessiana.

Resolução de exercícios.

Resolução de exercícios (2 - 2. e 3.). Plano tangente ao gráfico duma função de duas variáveis. Exemplos e resolução do ex. 2 - 4 a). Derivadas parciais de ordem superior. Definição de matriz Jacobiana, vector gradiente e matriz Hessiana. Exemplos.  TPC: Texto de apoio Funções de Várias Variáveis ex. 2 (pag. 27-28) 4 b) c) e 5.

NOTA: Tal como combinado, vai realizar-se uma aula extraordinária na próxima terça-feira, dia 12 de Maio, das 14h30 às 17h00 (sala S3), para compensar o feriado

Correcção dos trabalhos de casa. Plano tangente. Derivadas de ordem superior a 1. Gradiente e matriz Hessiana. Anexo I (Domínios), Anexo II (Conjuntos de nível), Anexo III (Derivadas parcisis).

Vetor gradiente, matriz Jacobiana e matriz Hessiana. Exerc. 2 - 5b)c).
Extremos locais de funções de 2 ou 3 variáveis. Definição, pontos críticos e critério da Hessiana.
TPC: Exercícios 3.

Correcção do TPC (exercício 3 da pág. 28) e exercícios extra sobre plano tangente.

Extremos de funções de várias variáveis: definição de extremos, de ponto critico e de ponto de sela. Critério da matriz Hessiana para a classificação de extremos. Resolução de exemplos. Resolução dos exercícios 3 da pág. 38, 1a) e 1b) (incompleto). TPC: terminar exercício 1.

Vetor gradiente, matriz Jacobiana e matriz Hessiana. Exerc. 2 - 5b)c).
Extremos locais de funções de 2 ou 3 variáveis. Definição, pontos críticos e critério da Hessiana.
TPC: Exercícios 3.

Extremos livres de funções de 2 variáveis. Plano tangente e pontos críticos. Exercícios.

Ainda as derivadas parciais. Plano tangente ao gráfico duma função de duas variáveis: conceito, equação, condições de existência. Vector gradiente e matriz Jacobiana (Definição 3, pg.26). As derivadas parciais de ordem superior, em funções de duas e três variáveis. Matriz Hessiana (Definição 4,pg.27). Exercícios 2 (pg.27) 1f)g), 4a)c), 5b). TPC: Exercícios 2 (pg.27) 2, 3, 4b), 5a)e).

Correcção dos trabalhos de casa.  Derivadas de ordem superior a 1. Gradiente e matriz Hessiana. Extremos locais: definição e pontos críticos. Anexo I (Domínios), Anexo II (Conjuntos de nível), Anexo III (Derivadas parcisis).

Correção do TPC. Derivadas parciais de ordem superior. Matriz Jacobiana e vetor gradiente. Plano tangente ao gráfico de uma função. Extremos livres: recordatória sobre o caso de funções de uma variável. TPC: concluir  os grupos de exercícios 2.1-2.4

Esclarecimento de dúvidas.

Derivadas de ordem superior a 1. 

Resolução de exercícios.

Introdução às superfícies quádricas. Correção do TPC: Exerc. 1; Exerc. 2 - 1d)f), 3, 4c).
Derivadas parciais de ordem >1.
TPC: Calcular as derivadas parciais até 2ª ordem das funções do Exerc. 2 - 5.

Derivadas parciais de 1ª ordem: definição e interpretação geométrica. Plano tangente. Derivadas parciais de ordem superior. Vector gradiente, matriz Jacobiana e matriz Hessiana. Resolução de exemplos.

Resolução dos exercícios da pág. 28: 4c) e 5b). TPC: exercícios 1, 2, 3 e concluir 4 e 5.

Derivadas parciais e interpretação geométrica. Exercícios.

Funções reais de várias variáveis: conjunto de nível k e contradomínio. Resolução de exercícios (1 - 2 a) b) c) d) f). Derivadas parciais: definição e interpretação geométrica. Exemplos.
 TPC: Texto de apoio Funções de Várias Variáveis: ler secção sobre curvas em \( R^2\) e superfícies em \(R^3\) (pags. 12-14) e Apêndices A e B (pags.61-67); resolver ex. 1 (pag. 16-17) 2 e) g), 3, 4, 5, 6 e ex. 2 (pag. 27-28) 1 a) a g).

Correcção dos trabalhos de casa. Funções com duas e três variaveis: contradomínio.Gráfico de uma função com duas variáveis. Derivadas parciais de ordem 1.

Introdução às superfícies quádricas. Correção do TPC: Exerc. 1; Exerc. 2 - 1d)f), 3, 4c).
Derivadas parciais de ordem >1.
TPC: Calcular as derivadas parciais até 2ª ordem das funções do Exerc. 2 - 5.

Ainda as superfícies quádricas: os cilindros (elípticos, hiperbólicos e parabólicos). As extensões imediatas das equações canónicas. Exercícios 1 (pg.16) 5b)c). Derivadas parciais de funções de várias variáveis: definição e interpretação geométrica. Exercícios 2 (pg.27) 1a)b)d). TPC: Exercícios 1 (pg.16) 6, Exercícios 2 (pg.27) 1c)e).

Resolução de exercícios de: domínio, curvas de nível, contradomínio e gráfico de uma função real de duas variáveis.

Derivadas parciais de uma função de duas variáveis. Plano tangente ao gráfico de z=f(x,y). Derivadas de ordem superior.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Derivadas parciais de ordem 1. Plano tangente.

Correção do TPC. Derivada parcial e sua interpretação geométrica como a taxa de variação/declive na direção paralela aos eixos coordenados. TPC: concluir os grupos de exercícios 1.,  2.2 e 2.3.

Feriado Nacional

Feriado nacional.

Funções reais de várias variáveis.
Conjunto de nível e contradomínio: definição e exemplos. Exerc. 1 – 2.
Derivadas parciais: definição e exemplos. Plano tangente.
TPC: Exerc. 1 – 3, 4, 5 e 6. Exerc. 2 – 1, 2, 3, 4.

Resolução de exercícios sobre domínio, gráfico e conjuntos de nível de funções reais de várias variáveis e revisão de cónicas e quádricas: exercícios (pag.16 e 17): 1e) e f), 2e) e g), 3, 4, 5 e 6. TPC: concluir exercício. 2.

Funções reais de várias variáveis.
Conjunto de nível e contradomínio: definição e exemplos. Exerc. 1 – 2.
Derivadas parciais: definição e exemplos. Plano tangente.
TPC: Exerc. 1 – 3, 4, 5 e 6. Exerc. 2 – 1, 2, 3, 4.

Funções de várias variáveis. Domínio, gráfico e curvas de nível de uma função. Exercícios.

Ainda os conjuntos de nível. Exercícios 1 (pg.16) 2b)c)a)g), 3 (com a função de 2g),4a),5a). Revisão das curvas cónicas (Apêndice A, pg.61). As superfícies quádricas (Apêndice B, pg.65): esferas e elipsóides, hiperbolóides de 1 e de 2 folhas, cones, parabolóides elípticos e hiperbólicos. TPC: Exercícios 1 (pg.16) 2d)f), 3 com a função de 2f), 4b).

Correcção dos trabalhos de casa. Funções com duas e três variaveis: contradomínio.Gráfico de uma função com duas variáveis.

Tópicos de cálculo diferencial: gráfico e curvas de nível de uma função duas variáveis. Superfícies quádricas.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC. Breve revisão sobre as cónicas. Conjunto de nível de uma função e sua relação com o gráfico. Breve apontamento sobre as quádricas. TPC: 1.2 (concluir), 1.3-1.5

Correção do TPC: Exerc. 8 (conclusão), 4c)f) e 9. Modelo Malthusiano vs. curva logística - Exerc. 13.
Funções reais de várias variáveis: introdução, domínio e gráfico de funções de duas variáveis. Exemplos.
TPC: Concluir exercícios de Equações Diferenciais, incluindo os exercícios adicionais. Exerc. 1 - 1 das Folhas de Tópicos de Cálculo para Funções de várias Variáveis.

Resolução de exercícios extra de equações diferenciais.

Funções de várias variáveis: domínio, gráfico e conjuntos de nível. Exemplos e resolução de exercícios da pág. 16: 1a), b) c) e d). TPC: ex. 2. 3, 4 e 5.

Correcção dos trabalhos de casa. Funções com duas e três variaveis: domínio e conjunto de nível. Cónicas e quádricas.

Correção do TPC: Exerc. 7. Resolução de alguns dos exercícios adicionais (a e c). Modelo exponencial e modelo logístico.
Funções reais de várias variáveis: introdução, domínio e gráfico de funções de duas variáveis. Exemplos.
TPC: Texto de apoio Eq. Dif. exs. 12, 13, 14 a), 15 a); terminar exercícios adicionais. Texto de apoio Funções de Várias Variáveis (pag. 16) ex. 1 - 1.

Equações diferenciais. Modelos biológicos. Exercícios 7 - 10.

Correção do TPC: Exerc. 6, 9 e 11. Modelo Malthusiano vs. curva logística - Exerc. 13.
Funções reais de várias variáveis: introdução, domínio e gráfico de funções de duas variáveis. Exemplos.
TPC: Concluir exercícios de Equações Diferenciais, incluindo os exercícios adicionais. Exerc. 1 - 1 das Folhas de Tópicos de Cálculo para Funções de várias Variáveis.

Funções reais de várias variáveis: conceitos introdutórios (definição, domínio, contradomínio, gráfico, conjuntos de nível) para funções de 2 e 3 variáveis. Definições 1 (pg.6) e 2 (pg.8). Exemplos 1, 3, 4, 5, 6 e 7. Exercícios 1 (pg.16) 1a)b)c)e), 2e). TPC: Exercícios 1 (pg.16) 1d)f), 2f).

Correcção dos trabalhos de casa. Funções com duas e três variaveis: domínio e conjunto de nível. Cónicas e quádricas.

Equações diferenciais: modelo Malthusiano e curva logística.

Resolução de exercícios.

III. TÓPICOS DE CÁLCULO PARA FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Tópicos de cálculo diferencial: domínio e contradomínio de uma função duas variáveis. Revisão das cónicas.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC. Conclusão da matéria sobre equações diferenciais - breve apontamento sobre dinãmicas populacionais: modelo de Malthus (exponencial) e Verhulst (logístico). Função real de 2 ou mais variáveis reais: motivação e exemplos. Domínio, contradomínio e grafico de algumas funções simples de 2 variáveis. TPC: conclusão dos exercícios sobre equações diferenciais (excepto exerc que envolvem método de Euler)

Correcção do TPC (ex. 4 h), 5 a), 6). Exemplos de aplicação de eq. lineares de 1ª ordem: decaimento radioactivo, arrefecimento de um objecto aquecido, dinâmica populacional (modelos Malthusiano e logístico). TPC: texto de apoio exs. 7 a 11. Exercícios complementares.

Correcção dos trabalhos de casa. Resolução de equações diferenciais ordinárias de ordem 1 com variáveis separáveis.

Equações diferenciais com variáveis separáveis. Exemplos 10 e 9; Exerc. 4 – b)e)^(*)h)i), 5b), 8.
^(*) resolver como eq. linear e com variáveis separáveis.
TPC: Exerc. 4 (concluir), 5a), 6, 9 e 10.

Correcção do T.P.C.: exercícios (1.5), 4c) e d). Resolução de exercícios e problemas envolvendo equações diferenciais (1.5): 5a), 5b), 8, 10, e 11. TPC: concluir exercícios 3 e 4 e fazer exercício 13.

Equações diferenciais com variáveis separáveis. Exemplos 10 e 9; Exerc. 4 – b)e)^(*)h)i), 5b), 8.
^(*) resolver como eq. linear e com variáveis separáveis.
TPC: Exerc. 4 (concluir), 5a), 6, 8 (concluir), 9 e 10.

Equações diferenciais de 1.ª ordem. Separação de variáveis. Exercícios.

Modelos populacionais baseados em equações diferenciais: o modelo exponencial e o modelo Logístico (pg.12); as respectivas EDs e a sua resolução. Exercícios 1.5 (pg.19) 13, 8, 11, 10. TPC: Acabar os restantes Exercícios 1.5 (excepto o 12, 14b) e 15b)). AVISO: Estas duas últimas alíneas correspondem à secção 1.4 (pgs 16 a 18)  que não será dada.

Correção do TPC e resolução de exercícios/problemas envolvendo EDs: 3e), 4b),c),f), 5a), 6 e 11. TPC: restantes exercícios até ao 10 (inclusivé)

Correcção dos trabalhos de casa. Resolução de equações diferenciais ordinárias de ordem 1 com variáveis separáveis.

Equações diferenciais de variáveis separáveis: método de resolução e exemplos.

Resolução de exercícios.

Equações diferenciais. Correção do TPC: Exerc. 2, 3a)b)c)f) (sobre eq. lineares de 1ª ordem). Equações com variáveis separáveis: método de resolução e exemplos.

TPC: Exerc. 4, 5 e 6.

Resolução de exercícios (1.5): 3a) e f). Equações diferenciais com variáveis separáveis: método de resolução e exemplos. Modelo exponencial e modelo logístico. Resolução de exercícios (1.5): 4a), b), f) e h). TPC: concluir exercícios 3 e 4.

Correcção dos trabalhos de casa. Aplicações das equações diferenciais (ordinárias de ordem 1) lineares. Anexo: Mais exercícios de equações diferenciais.

Correcção do TPC (ex. 1, 2, 3). Eq. diferenciais com variáveis separáveis. Exemplos. TPC: texto de apoio exs. 4, 5 e 6.

Equações diferenciais lineares de 1.ª ordem. Método da variação das constantes. Exercícios.

Equações diferenciais. Correção do TPC: Exerc. 2, 3a)b)c)f) (sobre eq. lineares de 1ª ordem). Equações com variáveis separáveis: método de resolução e exemplos.

TPC: Exerc. 4, 5 e 6.

Correcção dos trabalhos de casa. Aplicações das equações diferenciais (ordinárias de ordem 1) lineares. Anexo: Mais exercícios de equações diferenciais.

Ainda as EDs lineares de 1a. ordem: Exercícios 1.5 (pg.19) 3f). Equações diferenciais de variáveis separáveis: conceito, forma de resolução. Exemplo 8 (pg.19). Exercícios 1.5 (pg.19) 4a)b)c)e)f)h), 5a). TPC: Exercícios 1.5 (pg.19) 3a)d)e), 4d)g)i), 5b).

Resolução de equações com variáveis separáveis. Resolução dos exercícios 1a)c), 2, 3a)c)e 4a). TPC: restantes exercícios da alínea 4.

Equações diferenciais lineares de 1ª ordem: método de resolução e exemplos.

Resolução de exercícios.

Esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios.

Equações diferenciais. Lei de Malthus (Parte 1 e Parte 2). Lei do crescimento e do decaimento exponenciais. Equações lineares ordinárias de ordem 1 (Resolução de equações lineares).

Esclarecimento de dúvidas. Resolução de exercícios.

Aula de resolução de exercícios variados (preparação para o teste).

Aula de revisões.

Esclarecimento de dúvidas

Esclarecimento de dúvidas. Resolução de exercícios.

Revisões.

Aula de resolução de exercícios variados (preparação para o teste).

Esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios.

Equações diferenciais: introdução, motivação com Exemplos 1 (decaímento exponencial), 2 (modelo de von Bertalanfly) e modelo Malthusiano. Equações lineares de 1ª ordem: método de resolução e exemplos. Exercício 1c).

Exercícios de revisão: Exerc. 20 - 1c).

TPC para a aula nº 16: Exerc. 1a), 2, 3 de Eq. Diferenciais.

Revisão TPC: Exercícios 16 (pg.75) 2. Equações Diferenciais: conceitos introdutórios e terminologia. Exemplos 1 e 2 (pg.4). Exercícios 1.5 (pg.19) 1a)c). As EDs lineares de primeira ordem e respectiva técnica de resolução. Exemplo 6 (pg.8). Exercícios 1.5 (pg.19) 2, 3b)c). TPC: Exercícios 1.5 (pg.19)1b), 3a), acabar 2.

Esclarecimento de dúvidas: Exerc. 12 - 1e); Exerc. 11 - 7, 8.

Equações diferenciais: introdução, motivação com Exemplos 1 (decaímento exponencial), 2 (modelo de von Bertalanfly) e modelo Malthusiano. Equações lineares de 1ª ordem: método de resolução e exemplos.

TPC para a aula nº 16: Exerc. 1, 2, 3 de Eq. Diferenciais.

Integral indefinido de funções descontínuas, exercícios.

Integrais impróprios, exercícios.

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Revisões: resolução de exercícios de provas de anos letivos anteriores.

Equações diferenciais: introdução, motivação com Exemplos 1 (decaímento exponencial), 2 (modelo de von Bertalanfly) e modelo Malthusiano. Equações lineares de 1ª ordem: método de resolução e exemplos. Exercício 1a)c).

Exercícios de revisão: Exerc. 20 - 11.

TPC para a aula nº 16: Exerc. 2, 3 de Eq. Diferenciais.

Equações diferenciais. Lei de Malthus (Parte 1 e Parte 2). Lei do crescimento e do decaimento exponenciais. Equações lineares ordinárias de ordem 1 (Resolução de equações lineares).

Equações diferenciais: motivação e terminologia. Resolução de equações diferenciais lineares de 1ª ordem pelo método do fator integrante. Resolução do exercício 3b de Equações Diferenciais. TPC: exercícios 1 e restantes alíneas do 3.

Revisão TPC: Exercícios 16 (pg.75) 8 e Exercícios 2 (pg.9) 1p). Equações Diferenciais: conceitos introdutórios e terminologia. Exemplos 1 e 2 (pg.4). Exercícios 1.5 (pg.19) 1a)c). As EDs lineares de primeira ordem e respectiva técnica de resolução. Exemplo 6 (pg.8). Exercícios 1.5 (pg.19) 2, 3b)c). TPC: Exercícios 1.5 (pg.19)1b), 3a).

Trabalhos de casa; esclarecimento de dúvidas.

II. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Equação diferencial: definição; tipos; ordem de uma ED; resolver uma ED; resolver um problema de valores iniciais.

Resolução de exercícios.

Os diferentes tipos de integrais impróprios. Correcção do TPC (ex. 16 - 1, 5, 7, 9). Resolução do ex. 20 - 1a. TPC: ex. 20 (texto de apoio, pags. 79-82).

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Correção do TPC:
Exerc. 16 - 1 a 5, 7, 9 (sobre integral impróprio);
Exerc. 12 – 1e) e 2 (sobre áreas).
TPC: continuação dos TPC ainda não resolvidos; 1º Teste 2013/14

Integral indefinido de funções contínuas, teorema fundamental do cálculo, exercícios

Integrais impróprios: conceito e definição. Os dois tipos de impropriedade. Inetgrais duplamente impróprios. Exemplos 34 (pg.72) 1,2,3. Proposição 3.11 (pg.73) e Exercício 15 (primeira parte). Exercícios 16 (pg.75) 1,3,5,7,9. TPC: Acabar Exercícios 16 (alíneas pares) e exercício extra.

Integral impróprio. Exerc. 16. Revisões. Exerc. 20.6.

Integral impróprio.

Resolução de exercícios.

Integrais impróprios: conceito e definição. Os dois tipos de impropriedade. Inetgrais duplamente impróprios. Exemplos 34 (pg.72) 1,2,3. Proposição 3.11 (pg.73) e Exercício 15 (primeira parte). Exercícios 16 (pg.75) 1,3,5,7,9. TPC: Acabar Exercícios 16 (alíneas pares) e exercício extra.

Correcção dos trabalhos de casa. Propriedades do integral indefinido. Integral impróprio: definição.

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Aula não leccionada - De acordo com o calendário escolar os alunos estão em Férias Páscoa.

Férias da Páscoa

Aula não leccionada

FÉRIAS DA PÁSCOA.

.

Férias da Páscoa.

ferias da pascoa

Férias da Páscoa.

Aula não leccionada

FÉRIAS DA PÁSCOA.

Férias da Páscoa

FÉRIAS DA PÁSCOA.

Férias da Páscoa

.

Aula não dada por corresponder às férias da Páscoa

Aula não leccionada - De acordo com o calendário escolar os alunos estão em Férias Páscoa.

Aula não dada por corresponder às férias da Páscoa

ferias da pascoa

Férias da Páscoa.

FÉRIAS DA PÁSCOA.

Integral indefinido: propriedades (monotonia, continuidade e derivabilidade). Resolução de exercícios (ex.14 3, 4, 6). Integral impróprio: definição e exemplos.

TPC: I) ex. 14 5), 15, 16, 17 (texto de apoio, pags. 69-70 e 75).  II) Determinar uma expressão para a função \( \int_0^x (1/\sqrt{(1+t^2)}dt\) sem recurso ao símbolo de integral. III) Calcular a área das seguintes regiões: a) \(\{(x,y)\in R: y\ge x^2, y\ge (x-2)^2, x+y\le 4\}\); b)\(\{(x,y)\in R: x\ge 0, y\ge x, y\le 4x, y\le 1/x \}\).

Integral indefinido: propriedades (monotonia, continuidade e derivabilidade). Resolução de exercícios (ex.14 1, 2, 3). Integral impróprio: definição e exemplos.

TPC: I) terminar ex. 14 e resolver exs. 15, 16, 17 (texto de apoio, pags. 69-70 e 75).  II) Determinar uma expressão para a função \( \int_0^x (1/\sqrt{(1+t^2)}dt\) sem recurso ao símbolo de integral. III) Calcular a área das seguintes regiões: a) \(\{(x,y)\in R: y\ge x^2, y\ge (x-2)^2, x+y\le 4\}\); b)\(\{(x,y)\in R: x\ge 0, y\ge x, y\le 4x, y\le 1/x \}\).

Cálculo de integrais [incluindo de funções definidas por ramos], exercícos.

Cálculo de áreas, exercícios.

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

C. Integral Impróprio; a) em intervalos não limitados; b) de funções não limitadas num dos extremos de integração. Natureza de um integral Impróprio.

Resolução de exercícios. 

Integral indefinido – Exemplo 33.
Correção do TPC: Exerc. 14 (sobre integral indefinido); Exerc. 12 – 1f) (sobre áreas).
Integral impróprio. Exemplos.
TPC: Exerc. 16, 17, 20 - exceto 7 e 13c); 1º Teste 2013/14 (distribuído na aula).

Ainda Exercícios de áreas: exercíco extra e Exercícios 12 (pg.60) 4. O integral indefinido: conceito e observações preliminares. Exemplos 32 (pg.66) 1,2. Propriedades do integral indefinido: Proposições 3.7, 3.8, 3.9 e 3.10 (pgs. 68-9). Exercícios 14 (pg.70) 1,2,3,4,5,6 (começado).

TPC: Exercícios 12 (pg.60) 2,3. Exercícios 20 (pg.75) 1, 2, 3, 5, 6.

Integral indefinido. Definição e propriedades.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Integral indefinido.

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

C. Integral Impróprio; a) em intervalos não limitados; b) de funções não limitadas num dos extremos de integração. Natureza de um integral Impróprio.

Resolução de exercícios. 

Integração por substituição. Resolução de exercícios. Aplicações do cáculo integral: cálculo de áreas. Resolução de exercícios (ex. 12 1. a) b) d)). Integral indefinido: definição e algumas propriedades (monotonia e continuidade). Resolução de exercícios. TPC: terminar exs. 11 e 12, ex. 14 a) b) (texto de apoio, pags. 56, 60 e 69-70).

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

B. Integral Indefinido: definição e propriedades.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC: Exerc. 11 - 3, 5 a 12 (integral definido) e Exerc. 12 - 1a)b) (áreas).

Integral indefinido: definição, propriedades, Exemplos 32. Exemplo 33 (início).

TPC: Exerc. 12 (concluir) e 14.

Integral definido: Exercícios 11 (pg.56) 3,5. Propriedades do integral definido: Proposições 3.1, 3.2 e 3.3. Convenções (pg.51). Exercícios 11 (pg.56) 8. A integração por partes e por substituição (Proposição 3.6, pg.55). Exercícios 11 (pg.56) 9,12. O cáluclo de áreas delimitadas pelo gráfico de 2 funções (pg.57). Exercícios 12 (pg.60): 1a)b)d)f). TPC: Exercícios 11 (pg.56) 1,2,4,6,7,10,11. Exercícios 12 (pg.60): 1c)e).

Integral definido. Cálculo de áreas. Exercícios 12.1 c), d); 12.2. Integral indefinido: Definição e algumas propriedades. Exercícios 14.1 e 14.2.

Motivação do cálculo integral.

2º teorema fundamental do cálculo, exercícios.

Cálculo de áreas de regiões planas.

Exercícios

Integral definido: Exercícios 11 (pg.56) 3,5, Exemplos 25 (pg.54) 4. Propriedades do integral definido: Proposições 3.1, 3.2 e 3.3. Convenções (pg.51). Exercícios 11 (pg.56) 8. A integração por partes e por substituição (Proposição 3.6, pg.55). Exercícios 11 (pg.56) 9,12. O cáluclo de áreas delimitadas pelo gráfico de 2 funções (pg.57). Exercícios 12 (pg.60): 1a)b)d)f). TPC: Exercícios 11 (pg.56) 1,2,4,6,7,10,11. Exercícios 12 (pg.60): 1c)e).

Correcção dos trabalhos de casa. Cálculo de áreas de regiões planas.

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

B. Integral Indefinido: definição e propriedades.

Resolução de exercícios.

Integral definido. Definição e propriedades. Fórmula fundamental do cálculo integral. Integração por substituição. Exemplos. Exercício 11.6, 11.7, 11.8, 11.11 e 11.12.

Integral definido: introdução, fórmula fundamental do cálculo integral, propriedades, teorema da média. Resolução de exercícios. TPC: ex. 11: 1 a 6 (texto de apoio, pag. 56).

Primitivação de funções racionais, exercícios.

Constante de primitivação, exercícios.

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

A. Integral Definido: definição; propriedades.

Cálculo de áreas planas.

Resolução de exercícios.

Esclarecimento de dúvidas sobre primitivas. P(x-3)/(x^3+x).
Breve nota sobre primitivação de funções elementares.
Integral definido: propriedades, teorema da média, fórmula fundamental do cálculo integral, integração por substituição. Exemplos
Cálculo de áreas de regiões definidas pelos gráficos de duas funções. Exemplo.
TPC: Exerc. 11, Exerc. 12 – 1a)b)c).

Revisão TPC (Exercícios 10, pg.42, 2y)w)III)IV)VII)). Primitiva (extra) de função racional própria, com raízes complexas no polinómio do denominador: P(x-3)/(x^3+x). Capítulo 3: Cálculo Integral (pg.47). O conceito intuitivo: partições, somas aproximadas, a passagem ao limite. O caso de integrais de funções não-positivas. A fórmula fundamental do cálculo integral (Teorema 3.5, pg.54). Exemplos 25 (pg.54) 3.

TPC: Exercícios 10 (pg.42) acabar o exercício 2: alíneas t)u)v)x)I)II)V)VI).

Introdução ao cálculo integral. Integral definido - definição e propriedades. Teorema da média. Formula fundamental do cálculo integral. Integração por partes e por substituição.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Integral definido. Fórmula fundamental do cálculo integral. Integração por substituição.

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

A. Integral Definido: definição; propriedades.

Cálculo de áreas planas.

Resolução de exercícios.

Correcção do TPC. Esquema do método de primitivação de funções racionais. Resolução de exercícios de primitivação. TPC: terminar ex. 10 (texto de apoio, pag. 42-43); exercícios adicionais de primitivas e de limites.

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Método de primitivação por substituição.

Resolução de exercícios.

CÁLCULO INTEGRAL. A. Integral Definido.

Correção do TPC: exercícios sobre primitivação. Exerc. 7 – 5; Exerc. 9; Exerc. 10 – 2 y, II, IV.
Integral definido: introdução.
TPC: Mais exercícios sobre primitivas

Revisão TPC: Exercícios 8, pg.36, 4,5; Exercícios 10,pg.42, 2n)o)). A primitivação de funções racionais: funções racionais proprias e impróprias; a decomposição destas últimas (Teorema 2.7 e Exemplo 19, pg.36). A decomposição de funções racionais próprias (Teorema 2.8, pg. 38). Exercícios 9 (pg.40) 1,2,3,4.  Exercícios 10 (pg.42) 2y)w). TPC: Exercícios 10 (pg.42) 2III)IV)VII), 3

Primitivas imediatas, por partes e por substituição. Método de decomposição para primitivação de funções racionais. Exercícios 10.1b), 10.2, 10.3, 10.4 e 10.5.

Primitivação por substituição, exercícios.

Primitivação de funções racionais, exercícios.

Constante de primitivação, exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Primitivação de funções racionais.

Resolução de exercícios.

Revisão TPC: Exercícios 8, pg.36, 4,5; Exercícios 10,pg.42, 2n)o)). primitivação: algumas pontas soltas: Observação 3.2 (pg.30), Teorema 2.2 (pg.32) e constantes de primitivação em intervalos diferentes do domínio. A primitivação de funções racionais: funções racionais proprias e impróprias; a decomposição destas últimas (Teorema 2.7 e Exemplo 19, pg.36). A decomposição de funções racionais próprias (Teorema 2.8, pg. 38). Exercícios 9 (pg.40) 1,2,3,4.  TPC: Exercícios 10 (pg.42) 2y)w)III)IV)VII)

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Método de primitivação por substituição.

Resolução de exercícios.

CÁLCULO INTEGRAL: A. Integral Definido

Primitivação por partes. Exercício 8.2. Primitivação por substituição. Exercício 8.3 e 8.5. Primitivação de funções racionais. Exercícios 9.3 e 9.4.

Exercícios de Revisão: Indeterminações, Primitivas

Esquema para primitivação de funções racionais

Correcção do TPC (primitivas por partes). Resolução de exercícios (primitivação por substituição). Funções racionais: classificação e decomposição em fracções simples. TPC: exs. 8 e 9 (texto de apoio, pags. 36 e 40).

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Primitivas por decomposição (conclusão).

Resolução de exercícios.

Primitivação por partes, exercícios.

Primitivação por substituição, exercícios.

Correção do TPC: exercícios sobre primitivação.
Primitivação de funções racionais (ver esquema). Exemplos.
TPC: Exerc. 9; Exerc. 10 – 2 até ao fim; Exercícios adicionais.

Revisão TPC (Exercícios 10 (pg.42) 1c). Primitivação por partes (Proposição 2.5, pg.33). Exemplos 17 (pg.34) 1,2,3,4. Exercícios 7 (pg.34) 1 a 5. Primitivação por substituição (Proposição 2.6, pg.35). Exemplos 18 (pg.35) 2,3. Exercícios 8 (pg.36) 1,2,3.

TPC: Exercícios 8 (pg.36) 4,5. Exercícios 10 (pg.42) 2n)o)p)q)r).

Funções primitiváveis. Propriedades das primitivas.

Decomposição de funções racionais (conclusão).

Primitivação por substituição.

Resolução de exercícios.

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Primitivas por decomposição (conclusão).

Resolução de exercícios.

Correcção do TPC (primitivas imediatas). Primitivação por partes e substituição. Resolução de exercícios. TPC: ex. 7 (texto de apoio, pags. 34-35); ex. 10 2. até v) (texto de apoio, pag. 42).

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Primitivação por partes. Primitivação por decomposição.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC: exercícios sobre primitivação. Exerc. 6, 10 - 1a)b), 2a)b), 3.
Primitivação por partes. Exemplos 17 - 1, 2, 4.
Primitivação por substituição. Exemplos 18 - 1, Exerc. 8 - 2.
TPC: Exerc. 7 – 1 a 4; 8; 10 – 2 até v); 10 – 4.

Revisão TPC (Exercícios 3 (pg.15) 6; Exercícios 6 (pg.30) 6,7,8,9,10). Algumas propriedades de primitivas: Observação 3.1 (pg.30), Teorema 2.1, Proposição 2.3, Proposição 2.4. Exemplos 14 (pg.31) 1,2. Exemplos 15 (pg.33) 1,3. Eemplos 16 (pg.33) 2. Exercícios 10 (pg.42) 2a) até j) + m). "Demonstração" que 0=1 (!) usando primitivas. TPC: Exercícios 10 (pg42) 1, 2k)l).

Primitivas imediatas. Exercícios 6.7 a 6.10. Primitivação por partes. Exercícios 7.1 a 7.3. Primitivação por substituição. Exercício 8.1.

Primitivas imediatas, exercícios.

Primitivação por partes, exercícios.

Primitiva da soma. Primitivação por partes. Decomposição de funções racionais.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Onde se usa a fórmula de Taylor/MacLaurin (conclusão). Primitiva de uma função: definição. Família das primitivas de uma função. Relação entre uma primitiva de uma função e a função do ponto de vista geométrico.

Revisão TPC (Exercícios 3 (pg.15) 6,9; Exercícios 6 (pg.30) 7,8,9,10). Algumas propriedades de primitivas: Observação 3.1 (pg.30), Teorema 2.1, Proposição 2.3, Proposição 2.4. Exemplos 14 (pg.31) 1,2. Exemplos 15 (pg.33) 1,3. Eemplos 16 (pg.33) 2. Exercícios 10 (pg.42) 2a) até j) + m). "Demonstração" que 0=1 (!) usando primitivas. TPC: Exercícios 10 (pg42) 1, 2k)l).

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Primitivação por partes. Primitivação por decomposição.

Resolução de exercícios.

Fórmula de Taylor. Exercícios 7(cont), 8. Primitivas. Definição. Propriedades. Exemplos. Primitivas imediatas. Exercícios 6.1 a 6.6.

Correcção do TPC (ex. 3. 6b), 7, 8 e 9). Primitivas: definição e propriedades. Resolução de exercícios. TPC: Exame Matemática e Informática (20-6-2008): exs. 1 e 2; ex. 6 (texto de apoio, pag. 30); ex. 10 2 a) a c) (texto de apoio, pag. 42).

Fórmula de Taylor, resto de Lagrange e exercícios.

Linearidade da primitiva, primitivas imediatas e exercícios.

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios de Fórmula de Taylor.

2. Primitivação. Definição de primitiva; propriedades; primitivas imediatas.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC: exercícios sobre fórmula de Taylor e de MacLaurin com resto de Lagrange. Exerc. 3 - 3, 5, 6 e 7.
Primitivação: definição, propriedades e exemplos.
TPC: Exerc. 6 (pg. 30), 10 – 1a)b), 2a)b), 3 (pg. 42).

Primitivas. Definição. Primitivas imediatas. Problemas com valores iniciais.

Resolução de exercícios.

Revisão TPC (Exercícios 3, pg.15: 2d)e),3) . O resto de Lagrange (Teorema 1.4). Exercícios 3 (pg.15) 8, 5, 7. Capítulo 2: Primitivação (pg.29 e seguintes). Definição 1 (pg.29). Exemplos 13 (pg.29) 1 a 6. Tabela de primitivas imediatas (pg.44). Exercícios 6 (pg.30) 1, 2, 3, 4, 5, 6.

TPC: Exercícios 3 (pg.15) 2a)c),6,9. Exercícios 6 (pg.30) 7,8,9,10.

Correcção dos trabalhos de casa. Propriedade do resto da fórmula de Taylor/MacLaurin. Resto de Lagrange. Onde se usa a fórmula de Taylor/MacLaurin.

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios de Fórmula de Taylor.

2. Primitivação. Definição de primitiva; propriedades; primitivas imediatas.

Resolução de exercícios.

Correcção do TPC (exerecícios 3: 1 e 2). Fórmula de Taylor (e de MacLaurin) com resto de Lagrange. Resolução dos exercícios 3: 3, 4, 5 e 6 a). TPC: terminar ex.3 (texto de apoio, pags. 15-16).

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios (revisão).

Correção do TPC (fórmula de Taylor e de MacLaurin): Exerc. 3 - 2a)c)e), 4.
Mais um exemplo: Determinar o polinómio de MacLaurin de ordem n de f(x)=1/(1-x).
Resto de Lagrange. Exemplos 8 (pg 14).
Exercício: Seja f(x)=arctg(1/x), x≠0.
a) Escreva o polinómio de Taylor de ordem 2 de f em a=1.
b) Prove que, para x>1, f(x)<P₂(x) em que P₂(x) é o polinómio da alínea anterior.
TPC: Concluir Exerc. 3 (pg 15,16). Mais exercícios aqui.

Revisão TPC (limites e assintotas). A fórmula de Taylor: conceitos introdutórios; Teorema 1.3. Exemplo 6 (pg.12). Exemplos 7 (pg.13) 3a)c). Ilustração gráfica das aproximações polnomiais das funções exponencial e seno. Exercícios 3 (pg.15) 1, 2b).

TPC: Exercícios 3 (pg.15)  2d)e), 4, 3

Fórmula de Taylor e de Mac Laurin. resto de Lagrange. Exercícios 3.5, 3.6, 3.7.

Fórmula de Taylor, resto de Lagrange e exercícios.

Fórmula de Taylor e de MacLaurin com resto de Lagrange.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Polinómio de Taylor. Propriedade do Polinómio de Taylor. Fórmula de Taylor. Resto de Taylor. Anexo: Mais Exercícios Fórmula de Taylor.

Revisão TPC (limites e assintotas). A fórmula de Taylor: conceitos introdutórios; Teorema 1.3. Exemplo 6 (pg.12). Exemplos 7 (pg.13) 3a)c). Ilustração gráfica das aproximações polnomiais das funções exponencial e seno. Exercícios 3 (pg.15) 1.

TPC: Exercícios 3 (pg.15)  2b)d)e), 4, 3

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios (revisão).

Funções inversas das funções trigonométricas. Regra de Cauchy. Exercicio 4.3 a), c) e).

Fórmula de Taylor e fórmula de Mac Laurin. Exercícios 3.1, 3.2 b), 3.4 e 3.3.

Revisão TPC (Exercícios 2, pg.8, 1d)f)b)c)m)l)). Exemplos 3 (pg.7) 3 (modificado).

Indeterminações do tipo ∞ - ∞. Exemplos 4 (pg.8) 1,2,3. Exercícios 2 (pg.8) 1 e)i)n).

Revisão de assíntotas de gráficos de funções. Exercícios 2 (pg.9) 2c).

TPC: Exercícios 2 (pg.8) 1g)h)j)k)o)p)q) , 2b)

Regra de Cauchy, levantamento de indeterminações, exercícios e derivadas de ordem superior.

Correcção do TPC. Fórmula de Taylor (e de MacLaurin). TPC: Mostrar que \(P_3(x)=x-x^3/3! \) e \( P_5(x)=x-x^3/3!+x^5/5! \) são os polinómios de MacLaurin de ordem 3 e 5, respectivamente, da função \( f(x)=sin(x)\). Utilizando a calculadora gráfica, compare os gráficos destas 3 funções perto da origem. Exercício 3, 1. e 2. (texto de apoio, pag. 15)

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Funções trigonométricas - seno, cosseno, tangente; suas inversas - arco seno, arco cosseno, arco tangente; suas recíprocas - cossecante, secante, cotangente (e inversas destas - arco cossecante, arco secante, arco cotangente).

Resolução de exercícios.

Correção do TPC: exercícios sobre limites e indeterminações.
Fórmula de Taylor. Exemplos (e^x para a=0 e lnx para a=1).
TPC: Exerc. 3 – 1, 2, 4 (pág. 15).

Revisão TPC (Exercícios 2, pg.8, 1d)f)b)c)m)). Exemplos 3 (pg.7) 3 (modificado).

Indeterminações do tipo ∞ - ∞. Exemplos 4 (pg.8) 1,2,3. Exercícios 2 (pg.8) 1 e)i)n).

Revisão de assíntotas de gráficos de funções. Exercícios 2 (pg.9) 2c)b) (parcial).

TPC: Exercícios 2 (pg.8) 1k)o)p)q) , 2b) (acabar), d)a)e)

Correcção dos trabalhos de casa. Anexos: Mais exercícios de Regra de Cauchy, Anexo I e Anexo II.

Derivada de uma função - interpretação geométrica e como taxa de variação.

Equação da recta tangente ao gráfico de uma função.

Derivadas de ordem superior à primeira.

Polinómios de Taylor e de Mac Laurin.

Resolução de exercícios.

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Funções trigonométricas - seno, cosseno, tangente; suas inversas - arco seno, arco cosseno, arco tangente; suas recíprocas - cossecante, secante, cotangente (e inversas destas - arco cossecante, arco secante, arco cotangente).

Resolução de exercícios.

Correcção do trabalho de casa. Regra de Cauchy (conclusão). Resolução de exercícios.

TPC: Exs. 2, 1. e 4, 3.  (texto de apoio, pags. 8-9 e 22).

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Derivadas de ordem superior à primeira. Fórmula de Taylor e Fórmula de MacLaurin; polinómio de Taylor e de MacLaurin; resto de Taylor e resto de Lagrange.

Resolução de exercícios.

Correção do TPC: Exerc. 1-1a)e); 2.
Indeterminações 0⁰, ∞⁰ e 1^∞. Exemplos. Indeterminações ∞−∞. Exemplos.
Exerc. 2 - 1b)c) (pág. 8).
TPC: Conclusão dos Exerc. 2-1 (pág. 8) e Exerc. 4-3 (pág. 22).

Revisão TPC. Advertências sobre a aplicação da Regra de Cauchy. Exercícios 4 (pg.22) 3d)e)f). Exercícios 1 (pg.7) 1c).

Proposição 1.2 (pg.6) e sua demonstração  (Exercícios 1, pg.7, 2).

As indeterminações do tipo 0 × ∞. Exemplos 2 (pg.7) 1,2. Exercícios 4 (pg.22) 3a).

As indeterminações do tipo 0⁰, ∞⁰ e 1^∞. Exemplos 3 (pg.7) 1,2.

TPC: Exercícios 2 (pg.8) 1 d)f)b)c)m)l).

Revisões de função real de variável real. Exercício 2.3 c). Funções inversas das funções trignométricas: arcsin, arccos, arctg. Exercício 4.1, 4.2.

Regra de Cauchy, levantamento de indeterminações e exercícios.

Novas indeterminações.

Resolução de exercícios.

Correcção dos trabalhos de casa. Regra de Cauchy.

Revisão TPC. Advertências sobre a aplicação da Regra de Cauchy. Exercícios 4 (pg.22) 3d)e)f). Exercícios 1 (pg.7) 1c).

Proposição 1.2 (pg.6) e sua demonstração  (Exercícios 1, pg.7, 2).

As indeterminações do tipo 0 × ∞. Exemplos 2 /pg.7) 1,2. Exercícios 4 (pg.22) 3a).

As indeterminações do tipo 0⁰, ∞⁰ e 1^∞. Exemplos 3 (pg.7) 1,2.

TPC: Exercícios 2 (pg.8) 1 d)f)b)c)m)l).

Trabalhos de casa: esclarecimento de dúvidas.

Derivadas de ordem superior à primeira. Fórmula de Taylor e Fórmula de MacLaurin; polinómio de Taylor e de MacLaurin; resto de Taylor e resto de Lagrange.

Resolução de exercícios.

Revisões sobre funções reais de variável real. Indeterminações. Regra de Cauchy. Exercício 2.

Resolução de exercícios sobre as inversas das funções trignométricas (exercícios 4: 1, 2a). Regra de Cauchy. Resolução de exercícios. TPC: Exs. 1 (texto de apoio, pags. 6-7).

Cáculo de derivadas, exercícios.

Indeterminações. Regra de Cauchy.

Resolução de exercícios.

Revisões sobre funções reais de uma variável real: domínio, assíntotas, continuidade e derivabilidade, monotonia e extremos, concavidade e pontos de inflexão, gráfico de uma função.

Resolução de exercícios sobre derivadas e sobre as funções inversas das funções trigonométricas. Exerc. 4 - 2a); 1.

Regra de Cauchy. Indeterminações 0/0 e ∞/∞. Indeterminações 0×∞. Exemplos.

TPC: Exerc. 1 – 1; 2.

Revisão TPC. Exercícios 4 (pg.22)  2a)

As funções arco-cosseno e arco-tangente e suas propriedades.  Exercícios 4 (pg.22) 1b)f) 2b)

Revisão de propriedades operatórias de limites e indeterminações. A Regra de Cauchy (Teorema 1.1, pg.4). Exemplos (pg.5) 4,1.

TPC: Exercícios 4 (pg.22) 1c) 2c). Exercícios 1 (pg.7) 1d)a)b)

Correcção dos trabalhos de casa. Revisões sobre operações com fracções, potências, radicais e logaritmos. Limites de funções racionais.

Cálculo de limites. Indeterminações. Regra de Cauchy.

Resolução de exercícios.

Indeterminações. Regra de Cauchy.

Resolução de exercícios.

Revisões sobre funções reais de uma variável real: domínio, assíntotas, continuidade e derivabilidade, monotonia e extremos, concavidade e pontos de inflexão, gráfico de uma função.

Apresentação: programa, regras de frequência e de avaliação e material de apoio.

Revisões sobre funções reais de variável real.

Funções inversas das funções trignométricas: arcsin, arccos, arctg. Resolução de exercícios.

TPC: Exercício 18 da UC Matemática I (cálculo de derivadas), Exs. 4 - 2 (texto de apoio, pag. 22).

Apresentação. Programa e material de apoio. Frequência e avaliação de conhecimentos. Horário de dúvidas.

I. CÁLCULO DIFERENCIAL, PRIMITIVAS E CÁLCULO INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL.

1. Complementos sobre derivadas. Cálculo de limites (revisões). Resolução de exercícios.

Apresentação: regras de frequência e de avaliação e material de apoio.

Revisões sobre funções reais de variável real.

Funções inversas das funções trignométricas: arcsin, arccos, arctg. Exerc. 4–2b)c) (pág. 22).

TPC: Exercício 18 da UC Matemática I. Exerc. 4 - 1; 2a).

Recapitulação sobre funções, funções trigonométricas, funções trigonométricas inversas e cálculo de derivadas.

 Apresentação da UC: programa, textos de apoio e bibliografia, métodos de avaliação, horários de dúvidas, página web.

Revisão de conceitos (funções, continuidade, derivabilidade, injectividade, inversas). Algumas classes de funções elementares e suas propriedades. A função arco-seno (pg. 17 do texto de apoio) e suas propriedades. Exercícios 4 (pg.22) 1a)g)c). TPC: 1d)e).

Revisões sobre funções reais de variável real. Regra de Cauchy. Indeterminações. Exercício 1.

Revisões sobre funçoes reais de uma variável real.

Funções trigonométricas inversas.

Resolução de exercícios.

Apresentação. Revisões de algumas famílias de funções. Revisões sobre derivadas. Funções arcoseno, arcocoseno, arcotangente. Anexo: Exercícios Derivadas

 Apresentação da UC: programa, textos de apoio e bibliografia, métodos de avaliação, horários de dúvidas, página web.

Revisão de conceitos (funções, continuidade, derivabilidade, injectividade, inversas). Algumas classes de funções elementares e suas propriedades. A função arco-seno (pg. 17 do texto de apoio) e suas propriedades. Exercícios 4 (pg.22) 1a)g)c). TPC: 1d)e).

Apresentação. Programa e material de apoio. Frequência e avaliação de conhecimentos. Horário de dúvidas.

I. CÁLCULO DIFERENCIAL, PRIMITIVAS E CÁLCULO INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL.

1. Complementos sobre derivadas. Cálculo de limites (revisões). Resolução de exercícios.