Aulas teóricas

TEXTO DE APOIO
  • A sebenta que cobre toda a matéria lecionada nas aulas teóricas (com excepção da matéria sobre transformações lineares) pode ser descarregada aqui.


SLIDES DAS AULAS TEÓRICAS

1º Trimestre
    • Aula 1 [1-9] - O espaço IRn, exemplo em IR4 (conjunto dos lírios de R. Fisher) e operações com vetores
    • Slides [10-30] - Matéria sobre matrizes dada nas 2 primeiras aulas práticas
    • Aula 2 [31-40] - Terminologia sobre sistemas lineares e exemplificação do método de eliminação de Gauss aplicado à matriz ampliada de um sistema PD com 3 equações e 3 variáveis
    • Aula 3 [41-48] - Exemplificação do método de Gauss aplicado a sistemas lineares PI e IMP. Variáveis livres e determinadas. Classificação de um sistema em escada e formalização do algoritmo de eliminação de Gauss
    • Aula 4 [49-54] - Sistemas lineares e equações matriciais do tipo Ax=b. Interpretação geométrica de sistemas lineares
    • Aula 5 [55-62] - Interpretação geométrica de sistemas lineares (concl.). Conceito de inversa de uma matriz. Inversa de matrizes diagonais (ficámos aqui). Construção da inversa num exemplo 2x2 por redução simultânea de sistemas
    • Aula 6 [63-66] - Algoritmo da inversa e aplicação deste algoritmo na resolução de exercícios. 
    • Aula 7 [67-76] - Característica de uma matriz. Relação entre invertibilidade e característica. Resolução de sistemas lineares usando a inversa da matriz dos coeficientes. Propriedades da inversa (ficámos aqui). Conceito de subespaço vetorial. Exemplos.
    • Aula 8 [77-86] - Subespaço vetorial minimal e maximal. Condição necessária para ser subespaço vetorial. Espaço nulo de uma matriz - N(A) (ficámos aqui). Critério para N(A) ser minimal. Enumeração dos subespaços vetoriais de IRn. Conceito de combinação linear de vetores e exemplos. 
    • Aula-9 [87-90] - Relação entre combinação linear e resolução de sistemas lineares (ficámos aqui). Conceito de espaço gerado por um conjunto de vetores, <v1,...,vn> e exemplos. 
    • Aula 10 [91-100] - (nova versão dos slides) Conceito de espaço das colunas de uma matriz, C(A) e relação com o espaço gerado. Algoritmo para determinar o espaço gerado/espaço das colunas e exemplos. Combinação linear nula trivial e conceito de independência linear. Exemplos.
    • Aula 11 [101-110] - (nova versão dos slides) Critério para decidir sobre a independência linear de um conjunto de vetores baseado no método de Gauss. Cardinalidade máxima de um conjunto linearmente independente de vetores de IRm. Caracterização mais intuitiva de dependência linear. Conceitos de base e dimensão de um subespaço vetorial. Exemplos. Caso do subespaço minimal {0} e base canónica do subespaço maximal IRn. (ficámos aqui). Caracterização das bases de IRn.
    • Aula 12 [111-118] - (nova versão dos slides) Bases para o subespaço maximal IRn (concl.). Algoritmo para construir bases para o espaço gerado/espaço das colunas de uma matriz. Exemplo. Algoritmo para construir bases para o espaço nulo de uma matriz/CS de um sistema linear homogéneo. Exercícios. 
    • Aula 13 [119-122] - Relação entre as dimensões do espaço nulo e das colunas de uma matriz. Dimensão e tipo de subespaço. Critério para um conjunto de vetores definir uma base de um subespaço vetorial cuja dimensão se conhece.  
    2º Trimestre
    • Aula 14 [123-134] - Norma  de um vetor. Vetor unitátio e versor. Distância (euclideana) entre vetores. Ortogonalidade entre vetores. Vetor ortogonal a um subespaço vetorial. Resultado que estabelece que um vetor é ortogonal a um subespaço vetorial se e só se for ortogonal aos geradores desse espaço. Exemplos. 



    ESQUEMAS / QUADROS-RESUMO / ETC




    Aulas práticas

    EXERCÍCIOS SEM SOLUÇÕES 

    EXERCÍCIOS COM SOLUÇÕES 



    Outro material

    PROGRAMAÇÃO LINEAR



    Provas de avaliação 

    2026/27
    • 1º teste (26 de outubro de 2026) - versão A. Uma resolução completa deste teste pode ser encontrada aqui. Chamo a atenção que algumas alíneas podem admitir várias respostas possíveis e/ou resoluções distintas. Por exemplo, qualquer subespaço vetorial que não seja minimal admite uma infinidade de bases distintas. 


    2025/26


    2024/25 
    • 1º teste (28 de outubro de 2024). O teste com soluções (não são resoluções) pode ser descarregado aqui.
    • 2º teste (6 de janeiro de 2025) com soluções. 
    • 1ª Chamada do Exame (6 de janeiro de 2025) com soluções.
    • 2ª Chamada do Exame (20 de janeiro de 2025) com soluções.
    • Época Especial (5 fevereiro de 2025). 

    2023/24